ฉันพยายามสร้างแบบจำลองและคาดการณ์ชุดเวลาที่เป็นวงจรแทนที่จะเป็นฤดูกาล (เช่นมีรูปแบบคล้ายฤดูกาล แต่ไม่ใช่ในช่วงเวลาคงที่) สิ่งนี้ควรเป็นไปได้ที่จะใช้โมเดล ARIMA ตามที่กล่าวไว้ในส่วนที่ 8.5 ของการพยากรณ์: หลักการและการปฏิบัติ :

ค่าของมีความสำคัญหากข้อมูลแสดงรอบ เพื่อให้ได้การคาดการณ์แบบวนรอบจำเป็นต้องมีพร้อมกับเงื่อนไขเพิ่มเติมบางอย่างเกี่ยวกับพารามิเตอร์ สำหรับ AR (2) รูปแบบพฤติกรรมที่เกิดขึ้นหากเป็นวงกลม<0 $p$ $p\geq 2$ $\phi^2_1+4\phi_2<0$

เงื่อนไขเพิ่มเติมเหล่านี้เกี่ยวกับพารามิเตอร์ในกรณีทั่วไปของ ARIMA (p, d, q) คืออะไร ฉันไม่สามารถพบพวกเขาได้ทุกที่

— MånsT
แหล่งที่มา

คุณเคยดูรากที่ซับซ้อนของพหุนามบ้างไหม? ดูเหมือนว่านี่อาจเป็นสิ่งที่อ้างถึง

ϕ (B)

$\phi(B)$

— Jason

สัญชาตญาณกราฟิกบางอย่าง

ในแบบจำลอง ARพฤติกรรมวัฏจักรมาจากรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนไปจนถึงพหุนามลักษณะ ก่อนอื่นให้สัญชาตญาณฉันได้วางแผนฟังก์ชันการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นด้านล่างให้กับสองรุ่นตัวอย่าง AR (2)

กระบวนการถาวรที่มีรากที่ซับซ้อน
กระบวนการถาวรที่มีรูทจริง

สำหรับ , รากของลักษณะพหุนามคือโดยที่เป็นค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์กำหนดไว้ด้านล่าง ด้วยค่าสังยุคผันซับซ้อนที่ซับซ้อนและ ,ควบคุมการหน่วง (ที่ ) และควบคุมความถี่ของคลื่นโคไซน์ $j=1\,\ldots, p$ $\frac{1}{\lambda_j}$ $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$ $A$ $\lambda = r e^{i \omega t}$ $\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$ $r$ $r \in [0, 1)$ $\omega$

ตัวอย่าง AR แบบละเอียด (2)

สมมติว่าเรามี AR (2):

y_{t} = ϕ_{1} y_{t - 1} + ϕ_{2} y_{t - 2} + ϵ_{t}

$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$

คุณสามารถเขียนใด ๆ AR (P) เป็น VAR (ที่ 1) ในกรณีนี้การแทน VAR (1) คือ:

\underset{X_{t}}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} y_{t} \\ y_{t - 1} \end{matrix}]}} = \underset{A}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} ϕ_{1} & ϕ_{2} \\ 1 & 0 \end{matrix}]}} \underset{X_{t - 1}}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} y_{t - 1} \\ y_{t - 2} \end{matrix}]}} + \underset{U_{t}}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} ϵ_{t} \\ 0 \end{matrix}]}}

$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$ Matrix ควบคุมการเปลี่ยนแปลงของและด้วยเหตุนี้y_tสมการลักษณะของเมทริกซ์คือ: ค่าลักษณะเฉพาะของคือ: eigenvectors ของคือ:

A

$A$

X_{t}

$X_t$

y_{t}

$y_t$

A

$A$

λ^{2} - ϕ_{1} λ - ϕ_{2} = 0

$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$

A

$A$

λ_{1} = \frac{ϕ_{1} + \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{2} λ_{2} = \frac{ϕ_{1} - \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{2}

$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$

A

$A$

v_{1} = [\begin{matrix} λ_{1} \\ 1 \end{matrix}] v_{2} = [\begin{matrix} λ_{2} \\ 1 \end{matrix}]

$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$

โปรดทราบว่าa การขึ้นรูปการสลายตัว eigenvalue และเพิ่มกับอำนาจ th $\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$ $A$ $k$

A^{k} = [\begin{matrix} λ_{1} & λ_{2} \\ 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} λ_{1}^{k} & 0 \\ 0 & λ_{2}^{k} \end{matrix}] [\begin{matrix} \frac{1}{λ_{1} - λ_{2}} & \frac{- λ_{2}}{λ_{1} - λ_{2}} \\ \frac{- 1}{λ_{1} - λ_{2}} & \frac{λ_{1}}{λ_{1} - λ_{2}} \end{matrix}]

$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$

eigenvalue จริงนำไปสู่การสลายตัวในขณะที่คุณยก k ค่าลักษณะเฉพาะที่มีส่วนประกอบจินตภาพที่ไม่เป็นศูนย์จะนำไปสู่พฤติกรรมที่เป็นวงจร $\lambda$ $\lambda^k$

ค่าเฉพาะกับกรณีองค์ประกอบจินตภาพ: $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

ใน AR (2) บริบทเรามีลักษณะเฉพาะที่ซับซ้อนถ้า<0 ตั้งแต่เป็นจริงพวกเขาจะต้องมาเป็นคู่ที่มีสังยุคของแต่ละอื่น ๆ $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$ $A$

ตอนที่ 2 ของ Prado และ West (2010) ให้

c_{t} = \frac{λ}{λ - \bar{λ}} y_{t} - \frac{λ \bar{λ}}{λ - \bar{λ}} y_{t - 1}

$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$

คุณสามารถแสดงการคาดการณ์ได้รับจาก: $\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$

\begin{aligned} E [y_{t + k} ∣ y_{t}, y_{t - 1}, \dots] & = c_{t} λ^{k} + {\bar{c}}_{t} {\bar{λ}}^{k} \\ = a_{t} r^{k} \cos (ω k + θ_{t}) \end{aligned}

$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$

การพูดอย่างหลวม ๆ การเพิ่มความซับซ้อนของคอนจูเกตจะยกเลิกองค์ประกอบจินตภาพของพวกมันทำให้คุณมีคลื่นโคไซน์ที่ทำให้ชื้นในพื้นที่จำนวนจริง (หมายเหตุเราจะต้องมีสำหรับ stationarity) $0 \leq r < 1$

หากคุณต้องการหา , , ,ให้เริ่มโดยใช้สูตรของออยเลอร์ที่เราสามารถเขียน: $r$ $\omega$ $a_t$ $\theta_t$ $re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$

λ = r e^{i ω} \bar{λ} = r e^{- i ω} r = | λ | = \sqrt{- ϕ_{2}}

$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$

ω = atan2 (imag λ, real λ) = atan2 (\frac{1}{2} \sqrt{- ϕ_{1}^{2} - 4 ϕ_{2}}, \frac{1}{2} ϕ_{1})

$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$

a_{t} = 2 | c_{t} | θ_{t} = atan2 (imag c_{t}, real c_{t})

$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$

ภาคผนวก

หมายเหตุคำเตือนคำศัพท์ที่สับสน! เกี่ยวข้องกับพหุนามลักษณะของ A กับพหุนามลักษณะของ AR (p)

เคล็ดลับอนุกรมเวลาอีกข้อหนึ่งคือการใช้ตัวดำเนินการ lagเพื่อเขียน AR (p) เป็น:

(1 - ϕ_{1} L - ϕ_{2} L^{2} - \dots - ϕ_{p} L^{p}) y_{t} = ϵ_{t}

$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$

แทนที่ตัวดำเนินการล้าหลังด้วยตัวแปรและผู้คนมักอ้างถึงเป็นพหุนามลักษณะของแบบจำลอง AR (p) ในฐานะที่กล่าวถึงในคำตอบนี้ตรงนี้เป็นพหุนามลักษณะของที่แลมบ์ดา} รากเป็นส่วนกลับของค่าลักษณะเฉพาะ (หมายเหตุ: เพื่อให้โมเดลอยู่กับที่คุณต้องการ , ที่อยู่ในหน่วย cirlce หรือเทียบเท่าที่อยู่นอกวงกลมหน่วย) $L$ $z$ $1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$ $A$ $z = \frac{1}{\lambda}$ $z$ $|\lambda| < 1$ $|z|>1$

อ้างอิง

ปราโด, ราเคลและไมค์เวสต์, ซีรี่ส์เวลา: การสร้างแบบจำลอง, การคำนวณและการอนุมาน , 2010

— Matthew Gunn
แหล่งที่มา

ฉันประหลาดใจที่ฉันลงคะแนนเพียงครั้งเดียวในขณะนี้ คำตอบที่ดี!

— เทย์เลอร์

@Taylor เป็นคำถามเก่าที่ไม่ได้ใช้งาน :)

— Matthew Gunn

เงื่อนไขสำหรับพฤติกรรมแบบวงกลมของแบบจำลอง ARIMA