ทฤษฎีของความแปรปรวนขั้นต่ำการประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงในโรงเรียนระดับบัณฑิตศึกษามากเกินไปหรือไม่?

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันรู้สึกเขินอายมากเมื่อฉันให้คำตอบแบบชกมวยเกี่ยวกับการประมาณค่าความแปรปรวนขั้นต่ำที่ไม่เอนเอียงสำหรับพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบสม่ำเสมอที่ผิดอย่างสมบูรณ์ โชคดีที่ฉันได้รับการแก้ไขได้ทันทีโดยพระคาร์ดินัลและเฮนรี่กับเฮนรี่ให้คำตอบที่ถูกต้องสำหรับสหกรณ์

เรื่องนี้ทำให้ฉันคิดว่า ฉันเรียนรู้ทฤษฎีการประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงที่ดีที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษาของฉันที่ Stanford เมื่อ 37 ปีก่อน ฉันมีความทรงจำเกี่ยวกับทฤษฎีบท Rao-Blackwell, Cramer - Rao ซึ่งเป็นขอบเขตล่างและทฤษฎีบท Lehmann-Scheffe แต่ในฐานะนักสถิติประยุกต์ฉันไม่ได้คิดถึง UMVUE มากนักในชีวิตประจำวันของฉันในขณะที่การประเมินความเป็นไปได้สูงสุดจะเกิดขึ้นมากมาย

ทำไมถึงเป็นอย่างนั้น? เราเน้นทฤษฎี UMVUE มากเกินไปในบัณฑิตวิทยาลัยหรือไม่? ฉันคิดอย่างนั้น ประการแรกความเป็นกลางไม่ได้เป็นคุณสมบัติที่สำคัญ MLE ที่ดีอย่างสมบูรณ์แบบหลายลำเอียง ตัวประมาณการหดตัวของสไตน์นั้นมีอคติ แต่มีอิทธิพลเหนือ MLE ที่เป็นกลางในแง่ของการสูญเสียความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ย มันเป็นทฤษฎีที่สวยงามมาก (การประมาณค่า UMVUE) แต่ไม่สมบูรณ์มากและฉันคิดว่าไม่มีประโยชน์มาก คนอื่นคิดอย่างไร

เรารู้ว่า

ถ้าจะเป็นตัวอย่างที่สุ่มจากP o ฉันs s o n ( λ )แล้วสำหรับการใด ๆα ∈ ( 0 , 1 ) , T α = α ˉ X + ( 1 - α ) S 2คือ UE ของ$X_1,X_2, \dots X_n$$Poisson(\lambda)$$\alpha \in (0,1),~T_\alpha =\alpha \bar X+(1-\alpha)S^2$$\lambda$

ดังนั้นมีอยู่มากมายหลายเจ้าหน้าของ$\lambda$ λตอนนี้คำถามที่เกิดขึ้นที่เราควรเลือกสิ่งเหล่านี้? ดังนั้นเราจึงเรียก UMVUE ความเป็นกลางไม่ได้เป็นคุณสมบัติที่ดี แต่ UMVUE เป็นคุณสมบัติที่ดี แต่มันก็ไม่ดีมาก

$X_1,X_2, \dots X_n$$N(\mu, \sigma^2)$$T_\alpha =\alpha S^2$$(n-1)S^2=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$$\sigma^2$$\frac{n-1}{n+1}S^2=\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$ แต่มันมีอคติที่ไม่ใช่ UMVUE แม้ว่าจะดีที่สุดในแง่ของ MSE ขั้นต่ำ

สังเกตได้ว่า ทฤษฎีบท Rao-Blackwellกล่าวว่าการค้นหา UMVUE เราสามารถมุ่งเน้นไปที่ UE ซึ่งเป็นฟังก์ชันของสถิติที่เพียงพอนั่นคือ UMVUE เป็นตัวประมาณซึ่งมีความแปรปรวนน้อยที่สุดในบรรดา UE ทั้งหมดซึ่งเป็นฟังก์ชันของสถิติที่เพียงพอ ดังนั้น UMVUE จึงจำเป็นต้องมีฟังก์ชั่นของสถิติที่เพียงพอ

MLE และ UMVUE ทั้งคู่เป็นสิ่งที่ดีจากมุมมอง แต่เราไม่สามารถพูดได้ว่าหนึ่งในนั้นดีกว่าอย่างอื่น ในสถิติเราจัดการกับข้อมูลที่ไม่แน่นอนและสุ่ม ดังนั้นจึงมีขอบเขตสำหรับการปรับปรุงอยู่เสมอ เราอาจได้รับการประมาณที่ดีกว่า MLE และ UMVUE

ฉันคิดว่าเราไม่ได้เน้นทฤษฎี UMVUE มากเกินไปในบัณฑิตวิทยาลัยมันเป็นมุมมองส่วนตัวของฉันอย่างแท้จริง ฉันคิดว่าเวทีการสำเร็จการศึกษาเป็นเวทีการเรียนรู้ ดังนั้นนักศึกษาที่สำเร็จการศึกษาจะต้องมีพื้นฐานที่ดีเกี่ยวกับ UMVUE และผู้ประเมินอื่น ๆ

บางทีกระดาษโดยแบรดอีฟรอน“ ความเป็นไปได้สูงสุดและทฤษฎีการตัดสินใจ” อาจช่วยอธิบายเรื่องนี้ได้ แบรดกล่าวว่าปัญหาหลักอย่างหนึ่งของ UMVUE คือมันยากที่จะคำนวณโดยทั่วไปและในหลาย ๆ กรณีไม่มีอยู่จริง