ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างแบบเรียกซ้ำที่ค่อนข้างชัดเจนคือในกรณีที่ดีที่สุด (ในแง่ของน้ำหนัก ) แต่เป็นเลขชี้กำลังในกรณีเลวร้ายที่สุดO ( d)ωผม
สมมติว่าเราได้เลือกแล้วและความปรารถนาที่จะเลือก{i} เราจำเป็นต้องคำนวณ
และเลือกด้วยความน่าจะเป็น
ตัวหารจะไม่ใช่ศูนย์สำหรับทางเลือกที่ถูกต้องใด ๆ ของกลุ่มตัวอย่าง{i-1}x1, … ,xฉัน- 1xผม
w (x1, … ,xฉัน- 1,xผม) =Σxฉัน+ 1∈ { - 1 , 1 }⋯Σxd∈ { - 1 , 1 }(Σj = 1dωJxJ)+
xผม= 1w (x1, … ,xฉัน- 1, 1 )w (x1, … ,xฉัน- 1, 1 ) + w (x1, … ,xฉัน- 1, - 1 ).
x1, … ,xฉัน- 1
ตอนนี้แน่นอนคำถามคือวิธีการคำนวณx_i)w (x1, … ,xผม)
หากเรามีดังนั้นสำหรับใด ๆ ที่มีรายการนำหน้า , และดังนั้นจึงกลายเป็น:
ค: =Σผมj = 1ωJxJ≥Σdj = i + 1|ωJ|โอห์ม⋅ x ≥ 0xx1 : ฉันW
Σxฉัน+ 1⋯Σxdโอห์ม⋅ x= โอห์ม⋅ (Σxฉัน+ 1⋯Σxdx )=Σj = 1ผมωJ(Σxฉัน+ 1⋯ΣxdxJ)2d- ฉันxJ+Σj = i + 1dωJ(Σxฉัน+ 1⋯ΣxdxJ)0=2d- ฉันค.
ในกรณีที่ตรงกันข้ามเรามีและ0ค≤ -ΣdJ= i + 1|ωJ|โอห์ม⋅ x ≤ 0w (x1,… ,xผม) = 0
มิฉะนั้นเราจะต้อง recurse ใช้-1)W(x1, ...,xผม) = w (x1, ...,xผม, 1 ) + w(x1, ...,xผม, - 1 )
สมมติว่าหน่วยความจำไม่ใช่ปัญหาและเราสามารถแคชการคำนวณย่อยทั้งหมดใน ,ในทรี - จนถึงจุดที่เราเข้าสู่หนึ่งใน "ดี" กรณีหลังจากนั้น การโทรต้องใช้เวลาคงที่ (เราจะต้องคำนวณทรีทั้งหมดนี้เพื่อเลือก ) จากนั้นเมื่อการคำนวณทรีของนี้ถูกสร้างขึ้นเครื่องเก็บตัวอย่างจะใช้เวลาเท่านั้น คำถามคือใช้เวลานานแค่ไหนในการสร้างต้นไม้หรือเท่ากับขนาดของต้นไม้w ( 1 )w ( - 1 )x1WO( d)
แน่นอนว่าเราจะตี "ดี" กรณีได้เร็วขึ้นถ้าจะเรียง,\ωผมω1≥ω2≥ ⋯ ≥ωd
ในกรณีที่ดีที่สุด\ แล้วเราตี "ดี" กรณีทันทีสำหรับทั้งหรือดังนั้นก่อสร้างต้นไม้ต้องใช้เวลาอย่างต่อเนื่องและตัวอย่างทั้งหมดใช้เวลาเวลา|ω1| >Σdj = 2|ωJ|w(1)w(−1)wO(d)
ในที่เลวร้ายที่สุด (เรียงลำดับ) กรณีที่\ ถ้าอย่างนั้นคำถามคือต้นไม้ทั้งหมดมีขนาดใหญ่แค่ไหน?ω1=ω2=⋯=ωd
ดีเส้นทางแรกที่จะยุติแน่นอนและความยาว\ ดังนั้นต้นไม้จึงมีความสมบูรณ์จนถึงความลึกดังกล่าวและมีโหนดอย่างน้อย(มีมากกว่านั้นคุณอาจพบว่ามันมีข้อโต้แย้งเหมือนกับที่ใช้ในปัญหาความหายนะของนักพนัน แต่ฉันไม่สามารถหามันได้ในสองนาทีของ Googling และไม่สนใจเป็นพิเศษ - ไม่ดี พอ....)(1,1,…,1)(−1,−1,…,−1)⌈d/2⌉O(2d/2)2d/2
หากการตั้งค่าของคุณมีขนาดใหญ่มากนี่อาจเป็นวิธีการที่ใช้งานได้จริง ถ้ามีทั้งหมดของขนาดที่คล้ายกันก็อาจจะยังคงมีการชี้แจงและมีราคาแพงเกินไปสำหรับขนาดใหญ่dωiωid