การประมาณค่าเปอร์เซ็นต์เป็นตัวแปรตามในการถดถอย

ฉันมีคะแนนร้อยละของนักเรียนในการสอบ 38 ครั้งเป็นตัวแปรตามในการศึกษาของฉัน เปอร์เซ็นต์อันดับจะคำนวณโดย (อันดับของนักเรียน / จำนวนนักเรียนในการสอบ) ตัวแปรตามนี้มีการกระจายเกือบสม่ำเสมอและฉันต้องการที่จะประเมินผลกระทบของตัวแปรบางอย่างในตัวแปรตาม

ฉันใช้วิธีการถดถอยแบบใด

หากคุณทำงานกับ Stata ให้ดูตัวอย่างต่อไปนี้: http://www.ats.ucla.edu/stat/stata/faq/proportion.htm

นี่คือคำพูดจากหน้าเว็บนี้:

"เราจะถดถอยได้อย่างไรเมื่อตัวแปรตามเป็นสัดส่วน?

ข้อมูลสัดส่วนมีค่าที่อยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง โดยธรรมชาติแล้วจะเป็นการดีถ้าค่าที่ทำนายไว้นั้นลดลงระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง วิธีหนึ่งในการบรรลุเป้าหมายนี้คือการใช้โมเดลเชิงเส้นทั่วไป (glm) กับลิงก์ logit และตระกูลทวินาม เราจะรวมตัวเลือกที่แข็งแกร่งในโมเดล glm เพื่อรับข้อผิดพลาดมาตรฐานที่แข็งแกร่งซึ่งจะมีประโยชน์อย่างยิ่งหากเราพลาดการระบุตระกูลการแจกจ่าย "

สรุป

ผลลัพธ์การถดถอยอาจมีค่า จำกัด เมื่อตีความอย่างระมัดระวัง รูปแบบการเปลี่ยนแปลงที่ไม่สามารถหลีกเลี่ยงได้จะทำให้การประมาณค่าสัมประสิทธิ์ลดลงอย่างมีนัยสำคัญต่อศูนย์ จำเป็นต้องใช้แบบจำลองที่ดีกว่าซึ่งจะจัดการรูปแบบในวิธีที่เหมาะสมกว่า

(รูปแบบความน่าจะเป็นสูงสุดสามารถสร้างขึ้นได้ แต่อาจไม่สามารถทำได้เนื่องจากการคำนวณที่จำเป็นซึ่งเกี่ยวข้องกับการประเมินเชิงตัวเลขของปริพันธ์หลายมิติมิติจำนวนมิติเท่ากับจำนวนนักเรียนที่ลงทะเบียนในชั้นเรียน)

บทนำ

เพื่อเป็นการเล่าเรื่องที่จะบอกเราถึงสัญชาตญาณของเราลองจินตนาการว่าการสอบทั้ง 38 ข้อนั้นได้รับใน 38 หลักสูตรแยกกันในหนึ่งภาคเรียนที่โรงเรียนขนาดเล็กที่มีนักศึกษา 200 คน ในสถานการณ์จริงนักเรียนเหล่านั้นจะมีความสามารถและประสบการณ์ที่แตกต่างกัน ในฐานะตัวแทนการวัดความสามารถและประสบการณ์เหล่านี้เราอาจกล่าวคะแนนในการสอบคณิตศาสตร์และการทดสอบทางวาจาและปีในวิทยาลัย (1 ถึง 4)

โดยทั่วไปแล้วนักเรียนจะลงทะเบียนเรียนในหลักสูตรตามความสามารถและความสนใจของพวกเขา นักศึกษาใหม่จะเข้าเรียนหลักสูตรเบื้องต้นและหลักสูตรเบื้องต้นนั้นเป็นที่อยู่อาศัยของนักศึกษาเป็นหลัก Upperclassmen และนักศึกษาใหม่ที่มีความสามารถและรุ่นพี่เลี้ยงใช้หลักสูตรขั้นสูงและระดับบัณฑิตศึกษา การเลือกนี้แบ่งชั้นนักเรียนบางส่วนเพื่อให้ความสามารถโดยธรรมชาติของนักเรียนในชั้นเรียนใด ๆ มักจะเป็นเนื้อเดียวกันมากกว่าการแพร่กระจายความสามารถทั่วทั้งโรงเรียน

ดังนั้นนักเรียนที่มีความสามารถมากที่สุดอาจพบว่าตนเองให้คะแนนใกล้ด้านล่างของชั้นเรียนที่ยากและทันสมัยซึ่งพวกเขาลงทะเบียนในขณะที่นักเรียนที่มีความสามารถน้อยที่สุดอาจทำคะแนนใกล้ด้านบนของชั้นเรียนเบื้องต้นที่ง่าย สิ่งนี้อาจสร้างความสับสนให้กับความพยายามโดยตรงที่เกี่ยวข้องกับการจัดอันดับการสอบโดยตรงกับคุณลักษณะของนักเรียนและชั้นเรียน

การวิเคราะห์

ดัชนีนักเรียนที่มีและให้คุณลักษณะของนักเรียนได้รับโดยเวกเตอร์\ ดัชนีเรียนกับและให้คุณลักษณะของชั้นได้รับโดยเวกเตอร์\ ชุดของการลงทะเบียนเรียนในชั้นเรียนเป็นA_jฉันxฉัน j j z j j A $i$$i$$\mathbf{x}_i$$j$$j$$\mathbf{z}_j$$j$$A_j$

สมมติว่า "ความแข็งแกร่ง" ของนักเรียนแต่ละคนเป็นฟังก์ชั่นของคุณลักษณะของพวกเขาบวกกับค่าสุ่มบางอย่างซึ่งอาจมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์:$s_i$

เราทำแบบจำลองการสอบในชั้นเรียนโดยการเพิ่มค่าสุ่มอิสระเพื่อความแข็งแรงของนักเรียนแต่ละคนที่ลงทะเบียนในชั้นเรียนและแปลงให้อยู่ในอันดับ ดังนั้นถ้านักเรียนจะลงทะเบียนเรียนในระดับยศญาติของพวกเขาจะถูกกำหนดโดยตำแหน่งของพวกเขาในอาร์เรย์ที่เรียงลำดับของค่าi j r i , $j$$i$$j$$r_{i,j}$

ตำแหน่งนี้ถูกหารด้วยหนึ่งมากกว่าการลงทะเบียนคลาสทั้งหมดเพื่อให้ตัวแปรตามลำดับเปอร์เซ็นต์:$r_{i,j}$

ผมอ้างว่าผลการถดถอยขึ้นอยู่ (ไม่น้อย) เกี่ยวกับขนาดและโครงสร้างของการสุ่ม (สังเกต) ค่าและj} $\varepsilon_i$$\delta_{i,j}$ ผลลัพธ์ยังขึ้นอยู่กับวิธีการลงทะเบียนเรียนของนักเรียนอย่างแม่นยำ นี้ควรจะเป็นที่เห็นได้ชัดอย่างสังหรณ์ใจ แต่สิ่งที่ไม่ชัดเจนดังนั้น - และดูเหมือนยากที่จะวิเคราะห์ตามหลักวิชา - เป็นวิธีการและวิธีการมากค่าสังเกตและโครงสร้างชั้นส่งผลกระทบต่อการถดถอย

การจำลอง

เราสามารถจำลองสถานการณ์นี้เพื่อสร้างและวิเคราะห์ข้อมูลตัวอย่างโดยไม่ต้องใช้ความพยายามมากเกินไป ข้อดีอย่างหนึ่งของการจำลองคือสามารถรวมจุดแข็งที่แท้จริงของนักเรียนซึ่งในความเป็นจริงไม่สามารถสังเกตได้ อีกอย่างหนึ่งคือเราสามารถเปลี่ยนแปลงขนาดปกติของค่าที่ไม่ได้สังเกตเช่นเดียวกับการกำหนดชั้นเรียน สิ่งนี้ให้ "sandbox" สำหรับการประเมินวิธีการวิเคราะห์ที่เสนอเช่นการถดถอย

ในการเริ่มต้นให้ตั้งตัวสร้างตัวเลขสุ่มเพื่อผลลัพธ์ที่ทำซ้ำได้และระบุขนาดของปัญหา ฉันใช้Rเพราะทุกคนสามารถใช้ได้

set.seed(17)
n.pop <- 200      # Number of students
n.classes <- 38   # Number of classes
courseload <- 4.5 # Expected number of classes per student

เพื่อให้ความสมจริงสร้างn.classesคลาสของความยากลำบากที่แตกต่างกันในสองสเกล (คณิตศาสตร์และวาจาโดยมีความสัมพันธ์เชิงลบ) ดำเนินการในระดับวิชาการที่แตกต่างกัน (ตั้งแต่ 1 = เกริ่นนำถึง 7 = การวิจัย) และด้วยความง่ายตัวแปร (ในชั้นเรียน "ง่าย" ความแตกต่างระหว่างจำนวนการเรียนรู้ของนักเรียนอาจมีขนาดใหญ่และ / หรือการสอบอาจให้การเลือกปฏิบัติเล็กน้อยในหมู่นักเรียนนี่คือรูปแบบโดยคำศัพท์สุ่มที่สำหรับชั้นมีแนวโน้ม จะมีขนาดใหญ่ผลการสอบนั้นแทบจะไม่สามารถคาดเดาได้จากข้อมูลความแข็งแกร่งของนักเรียนเมื่อชั้นเรียนไม่ใช่ "ง่าย" คำศัพท์แบบสุ่มเหล่านี้มีขนาดเล็กมากและนักเรียนสามารถกำหนดระดับการสอบได้อย่างสมบูรณ์)$\delta_{i,j}$$j$

classes <- data.frame(cbind(
  math <- runif(n.classes), 
  rbeta(n.classes, shape1=(verbal <- (1-math)*5), shape2=5-verbal),
  runif(n.classes, min=0, max=7),
  rgamma(n.classes, 10, 10)))
rm(math, verbal)
colnames(classes) <- c("math.dif", "verbal.dif", "level", "ease")
classes <- classes[order(classes$math.dif + classes$verbal.dif + classes$level), ]
row.names(classes) <- 1:n.classes
plot(classes, main="Classes")

นักเรียนถูกแพร่กระจายในช่วงสี่ปีที่ผ่านมาและมอบให้โดยมีค่าสุ่มของคุณลักษณะของพวกเขา ไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างแอตทริบิวต์เหล่านี้ใด ๆ :

students <- data.frame(cbind(
  as.factor(ceiling(runif(n.pop, max=4))),
  sapply(rnorm(n.pop, mean=60, sd=10), function(x) 10*median(c(20, 80, floor(x)))),
  sapply(rnorm(n.pop, mean=55, sd=10), function(x) 10*median(c(00, 80, floor(x)))),
  rnorm(n.pop)
  ))
colnames(students) <- c("year", "math", "verbal", "ability")
plot(students, main="Students")

รูปแบบคือการที่นักเรียนแต่ละคนมีธรรมชาติ "ความแรง" กำหนดบางส่วนจากคุณลักษณะของพวกเขาและบางส่วนจาก "ความสามารถ" ของพวกเขาซึ่งเป็นค่า ค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งแกร่งซึ่งกำหนดความแข็งแกร่งในแง่ของคุณสมบัติอื่น ๆ เป็นสิ่งที่การวิเคราะห์ข้อมูลที่ตามมาจะพยายามที่จะประเมิน หากคุณต้องการที่จะเล่นกับจำลองนี้ทำได้โดยการเปลี่ยน ต่อไปนี้เป็นชุดค่าสัมประสิทธิ์ที่น่าสนใจและสมจริงที่สะท้อนการเรียนรู้ของนักเรียนอย่างต่อเนื่องทั่วทั้งวิทยาลัย (มีจำนวนมากระหว่างปี 2 และ 3) ที่ 100 คะแนนในแต่ละส่วนของ SAT มีค่าประมาณหนึ่งปีของโรงเรียน และความแปรปรวนประมาณครึ่งหนึ่งเกิดจากค่า "ความสามารถ" ที่ไม่ได้รับจากคะแนน SAT หรือปีในโรงเรียน$\varepsilon_i$betabeta

beta <- list(year.1=0, year.2=1, year.3=3, year.4=4, math=1/100, verbal=1/100, ability=2, sigma=0.01)
students$strength <- (students$year==1)*beta$year.1 + 
  (students$year==2)*beta$year.2 +
  (students$year==3)*beta$year.3 +
  (students$year==4)*beta$year.4 +
  students$math*beta$math + 
  students$verbal*beta$verbal + 
  students$ability*beta$ability
students <- students[order(students$strength), ]
row.names(students) <- 1:n.pop

(จำไว้ว่าstudents$abilityคือสำรวจ: มันเป็นความเบี่ยงเบนสุ่มเห็นได้ชัดระหว่างความแข็งแรงที่คาดการณ์ไว้จากคุณลักษณะที่สังเกตอื่น ๆ และความแรงที่เกิดขึ้นจริงในการสอบในการลบนี้ผลการสุ่มตั้ง. beta$abilityให้เป็นศูนย์. beta$sigmaจะคูณeaseค่า: มันเป็นพื้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของสัมพันธ์กับช่วงของจุดแข็งของนักเรียนในหลักสูตรที่กำหนดค่าประมาณ.ถึงหรือมากกว่านั้นดูสมเหตุสมผลสำหรับฉัน)$\delta_{i,j}$$.01$$.2$

ให้นักเรียนเลือกหลักสูตรเพื่อให้ตรงกับความสามารถของพวกเขา เมื่อพวกเขาทำเช่นนั้นเราสามารถคำนวณขนาดคลาสและสะสมผู้ที่มีclassesdataframe เพื่อใช้ในภายหลัง ค่าของspreadในassignments <-...บรรทัดกำหนดวิธีการอย่างใกล้ชิดนักเรียนจะแบ่งเป็นชั้นเรียนด้วยความสามารถ ค่าใกล้เคียงกับเป็นหลักจับคู่นักเรียนที่อ่อนแอที่สุดกับหลักสูตรที่ง่ายที่สุด ค่าใกล้เคียงกับจำนวนชั้นเรียนจะกระจายนักเรียนออกไปอีกเล็กน้อย คุณค่าที่มากกว่านั้นเริ่มที่จะไม่สมจริงเพราะพวกเขามีแนวโน้มที่จะทำให้นักเรียนอ่อนแอลงในหลักสูตรที่ยากที่สุด$0$

pick.classes <- function(i, k, spread) {
  # i is student strength rank
  # k is number to pick
  p <- pmin(0.05, diff(pbeta(0:n.classes/n.classes, i/spread, (1+n.pop-i)/spread)))
  sample(1:n.classes, k, prob=p)
}
students$n.classes <- floor(1/2 + 2 * rbeta(n.pop,10,10) * courseload)
assignments <- lapply(1:n.pop, function(i) pick.classes(i, students$n.classes[i], spread=1))
enrolment <- function(k) length(seq(1, n.pop)[sapply(assignments, function(x) !is.na(match(k, x)))])
classes$size <- sapply(1:n.classes, enrolment)
classes$variation <- by(data, data$Class, function(x) diff(range(x$strength)))

(เป็นตัวอย่างของสิ่งที่ทำตามขั้นตอนนี้สำเร็จดูรูปเพิ่มเติมด้านล่าง)

$n$$1/(n+1)$$n/(n+1)$$1/(n+1)$$0$$1$

exam.do <- function(k) {
  s <- seq(1, n.pop)[sapply(assignments, function(x) !is.na(match(k, x)))]
  e <- classes$ease[k]
  rv <- cbind(rep(k, length(s)), s, order(rnorm(length(s), students$strength[s], sd=e*beta$sigma*classes$variation[k])))
  rv <- cbind(rv, rv[,3] / (length(s)+1))
  dimnames(rv) <- list(NULL, c("Class", "Student", "Rank", "Prank"))
  rv
}
data.raw <- do.call(rbind, sapply(1:n.classes, exam.do))

ข้อมูลดิบเหล่านี้เราแนบแอตทริบิวต์ของนักเรียนและคลาสเพื่อสร้างชุดข้อมูลที่เหมาะสำหรับการวิเคราะห์:

data <- merge(data.raw, classes, by.x="Class", by.y="row.names")
data <- merge(data, students, by.x="Student", by.y="row.names")

ลองปรับทิศทางตัวเองโดยการตรวจสอบตัวอย่างข้อมูลแบบสุ่ม:

> data[sort(sample(1:dim(data)[1], 5)),]

Row Student Class Rank Prank math.dif verbal.dif  level  ease Size year math verbal ability strength n.classes
118      28     1   22 0.957  0.77997   6.95e-02 0.0523 1.032   22    2  590    380   0.576     16.9         4
248      55     5   24 0.889  0.96838   1.32e-07 0.5217 0.956   26    3  460    520  -2.163     19.0         5
278      62     6   22 0.917  0.15505   9.54e-01 0.4112 0.497   23    2  640    510  -0.673     19.7         4
400      89    10   16 0.800  0.00227   1.00e+00 1.3880 0.579   19    1  800    350   0.598     21.6         5
806     182    35   18 0.692  0.88116   5.44e-02 6.1747 0.800   25    4  610    580   0.776     30.7         4

ตัวอย่างเช่นบันทึก 118 กล่าวว่านักเรียน # 28 ลงทะเบียนเรียนในชั้น # 1 และทำคะแนน 22 (จากด้านล่าง) ในการสอบเพื่อให้ได้เปอร์เซ็นต์ที่ 0.957 ระดับความยากโดยรวมของคลาสนี้คือ 0.0523 (ง่ายมาก) มีนักเรียนทั้งหมด 22 คนลงทะเบียนเรียน นักเรียนคนนี้เป็นนักเรียนปีที่สอง (ปีที่ 2) ที่มี 590 คณิตศาสตร์, 380 คะแนนด้วยวาจา SAT จุดเด่นด้านวิชาการโดยรวมอยู่ที่ 16.9 พวกเขาลงทะเบียนเรียนในเวลาสี่ชั้น

ชุดข้อมูลนี้สอดคล้องกับคำอธิบายในคำถาม ตัวอย่างเช่นเปอร์เซ็นต์อันดับที่แน่นอนเกือบจะเหมือนกัน (ตามที่พวกเขาจะต้องมีสำหรับชุดข้อมูลที่สมบูรณ์ใด ๆ เพราะร้อยละอันดับสำหรับชั้นเดียวมีการกระจายชุดไม่ต่อเนื่อง)

โปรดจำไว้ว่าด้วยสัมประสิทธิ์ของสัมประสิทธิ์betaแบบจำลองนี้ได้เชื่อมโยงอย่างแน่นหนาระหว่างคะแนนการสอบและตัวแปรที่แสดงในชุดข้อมูลนี้ แต่การถดถอยแสดงอะไร ลองถอยหลังค่าลอจิสติกของเปอร์เซ็นต์โดยเทียบกับลักษณะของนักเรียนที่สังเกตได้ทั้งหมดซึ่งอาจเกี่ยวข้องกับความสามารถของพวกเขารวมถึงตัวบ่งชี้ความยากในชั้นเรียน:

logistic <- function(p) log(p / (1-p))
fit <- lm(logistic(Prank) ~ as.factor(year) + math + verbal + level, data=data)
summary(fit)

Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)      -2.577788   0.421579   -6.11  1.5e-09 ***
as.factor(year)2  0.467846   0.150670    3.11   0.0020 ** 
as.factor(year)3  0.984671   0.164614    5.98  3.2e-09 ***
as.factor(year)4  1.109897   0.171704    6.46  1.7e-10 ***
math              0.002599   0.000538    4.83  1.6e-06 ***
verbal            0.002130   0.000514    4.14  3.8e-05 ***
level            -0.208495   0.036365   -5.73  1.4e-08 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 1.48 on 883 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.0661, Adjusted R-squared: 0.0598 
F-statistic: 10.4 on 6 and 883 DF,  p-value: 3.51e-11 

วินิจฉัยแปลง ( plot(fit)) ดู fastastic: ส่วนที่เหลือเป็น homoscedastic และสวยงามปกติ (แม้ว่าหางสั้นเล็กน้อยซึ่งไม่มีปัญหา); ไม่มีค่าผิดปกติ; และไม่มีอิทธิพลไม่ดีต่อการสังเกตใด ๆ

อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างมีความสำคัญมากแม้ว่า R-squared ขนาดเล็กอาจจะน่าผิดหวัง สัมประสิทธิ์ทั้งหมดมีสัญญาณที่ถูกต้องและขนาดที่สัมพันธ์กัน ถ้าเราจะคูณพวกเขาโดยพวกเขาจะเท่ากับ-0.7) Betas ดั้งเดิมคือ (โดยหมายถึงสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้ระบุอย่างชัดเจน)$3.5$$(-9, 1.6, 3.4, 3.9, 0.009, 0.007, -0.7)$$(*, 1, 3, 4, 0.010, 0.010, *)$$*$

สังเกตเห็นความสำคัญสูงของlevelซึ่งเป็นคุณลักษณะของชั้นเรียนไม่ใช่ของนักเรียน ขนาดของมันค่อนข้างใหญ่: ระดับของคลาสอยู่ในช่วงตั้งแต่ใกล้ถึงถึงดังนั้นจึงคูณช่วงนี้ด้วยค่าสัมประสิทธิ์โดยประมาณของการแสดงว่ามันมีขนาดของเอฟเฟกต์เหมือนกับเงื่อนไขอื่น ๆ สัญญาณเชิงลบของมันสะท้อนถึงแนวโน้มที่นักเรียนจะทำสิ่งที่เลวร้ายลงเล็กน้อยในชั้นเรียนที่ท้าทายยิ่งขึ้น เป็นเรื่องที่น่าสนใจมากที่เห็นพฤติกรรมนี้เกิดขึ้นจากตัวแบบเพราะระดับนั้นไม่เคยมีส่วนร่วมอย่างชัดเจนในการกำหนดผลลัพธ์การสอบ: มันมีผลเฉพาะกับวิธีการที่นักเรียนเลือกชั้นเรียนของพวกเขา$0$$7$level

(โดยวิธีการใช้การจัดอันดับเปอร์เซ็นต์ไม่เปลี่ยนแปลงในการถดถอยไม่ได้เปลี่ยนผลการรายงานด้านล่าง)

ขอแตกต่างกันเล็กน้อย แทนที่จะตั้งค่าspreadเป็นเราต้องใช้ดังนั้นจึงทำให้มีการกระจายตัวของนักเรียนมากขึ้น (สมจริงยิ่งขึ้น) ตลอดทั้งชั้นเรียน รับทุกสิ่งใหม่จากด้านบนให้ผลลัพธ์เหล่านี้:$1$$38$

Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)      -4.902006   0.349924  -14.01  < 2e-16 ***
as.factor(year)2  0.605444   0.130355    4.64  3.9e-06 ***
as.factor(year)3  1.707590   0.134649   12.68  < 2e-16 ***
as.factor(year)4  1.926272   0.136595   14.10  < 2e-16 ***
math              0.004667   0.000448   10.41  < 2e-16 ***
verbal            0.004019   0.000434    9.25  < 2e-16 ***
level            -0.299475   0.026415  -11.34  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 1.3 on 883 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.282,  Adjusted R-squared: 0.277 
F-statistic: 57.9 on 6 and 883 DF,  p-value: <2e-16

( ในตารางกระจายของการมอบหมายชั้นเรียนด้วยspreadชุดที่นักเรียนจะถูกจัดเรียงโดยเพิ่มความแข็งแกร่งและชั้นเรียนจะถูกจัดเรียงตามระดับที่เพิ่มขึ้นเมื่อแรกเริ่มถูกกำหนดเป็นโครงงานที่มอบหมายจะตกอยู่ในวงดนตรีแนวทแยงแน่น และนักเรียนที่เข้มแข็งจะเรียนหนักขึ้น แต่ก็มีข้อยกเว้นมากมาย$38$spread1 )

เวลานี้ R-squared นั้นพัฒนาขึ้นมาก (แม้ว่ายังไม่ค่อยดีเท่าไหร่) อย่างไรก็ตามค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเพิ่มขึ้น 20 - 100% ตารางนี้เปรียบเทียบกับแบบจำลองเพิ่มเติม:

Simulation Intercept Year.2 Year.3 Year.4 Math Verbal Level R^2
Beta               *    1.0    3.0    4.0 .010   .010     *   *
Spread=1        -2.6    0.5    1.0    1.1 .003   .002 -0.21  7%
Spread=38       -4.9    0.6    1.7    1.9 .005   .004 -0.30 25%
Ability=1       -8.3    0.9    2.6    3.3 .008   .008 -0.63 58%
No error       -11.2    1.1    3.3    4.4 .011   .011 -0.09 88%

การรักษาspreadที่และเปลี่ยนจากเป็น (ซึ่งเป็นการประเมินในแง่ดีมากว่าจุดแข็งของนักเรียนคาดเดาได้อย่างไร) ให้ผลเป็นเส้นสุดท้าย ตอนนี้ค่าประมาณ (สำหรับปีของนักเรียนและคะแนน SAT ของนักเรียน) กำลังใกล้เคียงกับค่าที่แท้จริง ในที่สุดการตั้งค่าทั้งสองและเป็นเพื่อลบข้อผิดพลาดและรวมกันให้ R สูงและสร้างประมาณการใกล้เคียงกับค่าที่ถูกต้อง (เป็นที่น่าสังเกตว่าค่าสัมประสิทธิ์ลดลงตามลำดับความสำคัญ)$38$ability$2$$1$abilitysigma$0$$\varepsilon_i$$\delta_{i,j}$level

การวิเคราะห์อย่างรวดเร็วนี้แสดงให้เห็นว่าการถดถอยอย่างน้อยที่สุดเท่าที่ทำได้ที่นี่จะทำให้เกิดความสับสนในรูปแบบของการแปรผันกับสัมประสิทธิ์ นอกจากนี้สัมประสิทธิ์ยังขึ้นอยู่กับการกระจายตัวของนักเรียนในชั้นเรียนด้วย สิ่งนี้สามารถนำไปใช้ได้บางส่วนโดยรวมถึงคุณลักษณะของชั้นเรียนในตัวแปรอิสระในการถดถอยดังที่ทำไว้ที่นี่ แต่ถึงกระนั้นผลของการกระจายนักศึกษาก็ไม่ได้หายไป

หากขาดความสามารถในการคาดเดาผลการเรียนของนักเรียนที่แท้จริงและการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ในการเรียนรู้ของนักเรียนและการปฏิบัติจริงในการตรวจสอบ พวกเขาดูเหมือนจะทำอย่างสม่ำเสมอแนะนำว่าสัมประสิทธิสัมพัทธ์อาจยังมีความหมาย

การเสนอมาตรการ @ user13203 อาจถือได้ว่าเป็นคะแนนที่มีประสิทธิภาพต่ำกว่าขอบเขตอย่างต่อเนื่องยิ่งประสิทธิภาพการทำงานลดลง:นักเรียน i-th ที่มีประสิทธิภาพต่ำกว่าในการสอบ j-th$y_{ij}$

การใช้การแปลงเชิงเส้นของ logit โดยที่อาจขึ้นอยู่กับลักษณะของนักเรียนหรือข้อสอบที่สังเกตได้:$\mu_{ij}$

$\ln(y_{ij}/(1-y_{ij})) = \mu_{ij} + e_{ij} + v_i$

ทักษะที่ไม่ได้สังเกตการณ์ของนักเรียนนั้นถูกจำลองโดยการสุ่มส่วนประกอบในขณะที่แบบจำลองที่ไม่สามารถสังเกตได้อื่น ๆ ที่ไม่ใช่ระบบ ความสัมพันธ์ระหว่างการตอบสนอง (ตรวจสอบ) อาจจะ addresed โดย assming โครงสร้างแปรปรวนทั่วไป{IJ} ทำไมไม่โครงสร้างความแปรปรวนสีขาว (หรือแซนด์วิช / แข็งแกร่ง) ยิ่งไปกว่านั้นความสัมพันธ์ของการตอบสนองบางอย่างสามารถถูกรวมไว้ใน (การพึ่งพาแบบมีเงื่อนไข)$v_i$$e_{ij}$$e_{ij}$$\mu_{ij}$

(นี่เป็นเพียงความคิดจากประสบการณ์ที่มีอคติความคิดเห็นและคำวิจารณ์ของฉันเป็นมากกว่าการต้อนรับ)

ความสามารถในการสำรวจมีแนวโน้มที่จะมีความสัมพันธ์กับคุณลักษณะของนักเรียนหรือการสอบ observables ภายใน{IJ} สมมติฐานนี้จะทำให้รุ่นนี้อีกครั้งที่มีส่วนประกอบของข้อผิดพลาดที่มีลักษณะร่วมที่สามารถประมาณการโดย ML หรือประมาณการขั้นตอนที่สอง: ขั้นตอนแรก: ภายใน (หรืออะนาล็อก) การเปลี่ยนแปลงที่ช่วยลดv_iขั้นตอนที่สอง: OLS ในรูปแบบที่แปลงแล้ว v $\mu_{ij}$$v_i$

คุณอาจต้องการลองการถดถอยโลจิสติก Logit transformจะกระจายตัวแปรการตอบสนองของคุณออกไปตามบรรทัดจริงดังนั้นคุณจะไม่ได้รับเปอร์เซ็นต์การทำนายที่ไร้สาระเช่น -3% หรือ + 110%$\ln(\frac{p}{1-p})$

แบบจำลองที่สมบูรณ์แบบในกรณีนี้จะแมปอินพุต (โควาเรียอะไรก็ตามที่คุณมี) กับเอาต์พุต (อันดับของนักเรียนในชั้นเรียน) อีกวิธีหนึ่งในการคิดสิ่งนี้คือการจับคู่กับคะแนนก่อนแล้วจึงทำการแมปคะแนนเหล่านั้นกับอันดับ ตอนนี้ฉันจะเพิกเฉยต่อข้อผิดพลาด

$y = \sum \beta x$

$r = R(y)$

$R$$R$$y$$R(y)$

สิ่งนี้ดูเหมือนจะค่อนข้างคล้ายกับรูปแบบการทำงานของตัวแบบเชิงเส้นทั่วไป ฉันคิดว่านี่เป็นสาเหตุที่ @Mike Anderson เสนอวิธีการถดถอยแบบโลจิสติกส์ หากคะแนนการสอบของคุณกระจายไปแล้วฟังก์ชันลิงก์ที่ใช้จะเป็น logit (ส่วนกลับของมันคือฟังก์ชันความหนาแน่นสะสมที่เราสนใจ) ในทำนองเดียวกันถ้าคะแนนถูกแจกจ่ายตามปกติฟังก์ชัน probit จะเป็นฟังก์ชันลิงก์

สำหรับการถดถอยของคุณวิธีเดียวในการประมาณอันดับคือการพูดว่า "เนื่องจากข้อมูลของฉันถูกแจกจ่ายเป็น X แล้วจุดนี้จะอยู่ที่เปอร์เซ็นต์ไทล์ 34" มิฉะนั้นคุณจะรู้ได้อย่างไรว่าคะแนนการทดสอบของคุณเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าในแง่ของอันดับ ข้อแม้คือคุณต้องประเมินการกระจายนั้นเพื่อเลือกฟังก์ชั่นลิงค์ของคุณ (รูปแบบการทำงานบางอย่างจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก) ยิ่งไปกว่านั้นโมเดลนี้จะไม่พูดว่า "คุณเป็นคนที่ 6 ที่ดีที่สุดในชั้นเรียนที่ 38" แต่ "ถ้าคะแนนการทดสอบมีการกระจายตามที่เราคิดว่าพวกเขาเป็นแบบนั้นคะแนนของคุณจะทำให้คุณ