“ ทฤษฎีขีด จำกัด กลาง” สำหรับผลรวมถ่วงน้ำหนักของตัวแปรสุ่มที่สัมพันธ์กัน

ฉันกำลังอ่านกระดาษซึ่งอ้างว่า

(เช่นการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง, DFT) โดย CLT มีแนวโน้มที่จะเป็นตัวแปรสุ่ม (ซับซ้อน) gaussian อย่างไรก็ตามฉันรู้ว่านี่ไม่เป็นความจริงโดยทั่วไป หลังจากอ่านอาร์กิวเมนต์ (ผิดพลาด) นี้ฉันค้นหาผ่านเน็ตและพบบทความนี้โดย Peligrad & Wu ปี 2010ที่พวกเขาพิสูจน์ว่าสำหรับกระบวนการคงที่บางคนสามารถพบ "ทฤษฎีบท CLT"

{\hat{X}}_{k} = \frac{1}{\sqrt{ยังไม่มีข้อความ}} Σ_{J = 0}^{ยังไม่มีข้อความ - 1} X_{J} {อี}^{- ผม 2 π k J / ยังไม่มีข้อความ},

$\hat{X}_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}X_je^{-i2\pi kj/N},$

คำถามของฉันคือ: คุณมีการอ้างอิงอื่น ๆ ที่พยายามแก้ไขปัญหาในการค้นหาการ จำกัด การกระจายของ DFT ของลำดับดัชนีที่กำหนด (ทั้งโดยการจำลองหรือทฤษฎี) หรือไม่? ฉันสนใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งในอัตราการบรรจบกัน (เช่นความรวดเร็วของ DFT ที่มาบรรจบกัน) เนื่องจากโครงสร้างความแปรปรวนร่วมของในบริบทของการวิเคราะห์อนุกรมเวลา $X_j$

time-series central-limit-theorem fourier-transform

— Néstor
แหล่งที่มา

$_j$ $_j$ $_j$

— Michael R. Chernick
แหล่งที่มา

เงื่อนไขเหล่านั้นคืออะไร? และทฤษฎีบทของเขาแตกต่างจากกระดาษที่ฉันอ้างถึงอย่างไร

— Néstor

มันอาจคล้ายกับผลลัพธ์ในกระดาษที่คุณอ้างถึง ฉันเงยหน้าขึ้นเพราะฟังดูเหมือนผลลัพธ์ที่ฉันได้เรียนรู้ในช่วงวันเรียนจบ ฉันจะไม่ท่องสมมติฐาน มันเกี่ยวข้องกับข้อ จำกัด ในฟังก์ชั่น autocorrelation สำหรับ Xj และλjไม่รวมเป็นคู่เพื่อทวีคูณของ2π

— Michael R. Chernick