การ จำกัด ผลรวมของตัวแปร iid Gamma

ให้ $X_1,X_2,\ldots$ เป็นลำดับของตัวแปรสุ่มแบบอิสระและแบบกระจายที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{2} x^{2} e^{- x} & if x > 0; \\ 0 & otherwise . \end{cases}

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}x^2 e^{-x} & \mbox{if $x>0$};\\ 0 & \mbox{otherwise}.\end{array} \right.$

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] \geq \frac{1}{2}

$\lim_{n\to \infty} P[X_1+X_2+\ldots+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] \ge \frac{1}{2}$

สิ่งที่ฉันพยายาม

ที่เห็นครั้งแรกผมคิดว่ามันควรจะใช้ความไม่เท่าเทียมกันเซฟเป็นคำถามที่จะขอแสดงขอบเขตล่าง+ อย่างไรก็ตามฉันคิดเกี่ยวกับเครื่องหมายขีด จำกัด ซึ่งบ่งชี้อย่างชัดเจนว่าปัญหานั้นอาจเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง (CLT) $X_1+X_2+\ldots +X_n$

ให้ $S_n=X_1+X_2+\ldots +X_n$

E (S_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} E (X_{i}) = 3 n (since E (X_{i}) = 3) V (S_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} V (X_{i}) = 3 n (since V (X_{i}) = 3 and X_{i} are i.i.d)

$E(S_n)=\sum_{i=0}^{n} E(X_i)=3n \ (\text{since } E(X_i)=3) \\ V(S_n)=\sum_{i=0}^{n} V(X_i)=3n \ (\text{since } V(X_i)=3 \text{ and } X_i \text{ are i.i.d})$

ตอนนี้ใช้ CLT สำหรับขนาดใหญ่ , หรือ $n$ $X_1+X_2+........+X_n \sim N(3n,3n)$

z = \frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \sim N (0, 1) as n \to \infty

$z=\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \sim N(0,1) \text{ as } n\to \infty$

ตอนนี้

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = lim_{n \to \infty} P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \geq - \sqrt{3}) = P (z \geq - \sqrt{3}) = P (- \sqrt{3} \leq z < 0) + P (z \geq 0) = P (- \sqrt{3} \leq z < 0) + \frac{1}{2} \dots (1)

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] = \lim_\limits{n\to \infty}P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n}) = \lim_\limits{n\to \infty} P\left(\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \ge -\sqrt{3}\right) =P(z\ge -\sqrt{3}) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+P(z\ge 0 ) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+\frac{1}{2}\cdots(1)$

เนื่องจากดังนั้นจาก , $P(-\sqrt{3}\le z<0) \ge 0$ $(1)$

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] \geq \frac{1}{2}

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})]\ge \frac{1}{2}$

ฉันถูกไหม?

probability self-study

CLT ดูเหมือนเป็นวิธีที่สมเหตุสมผล แต่ " "ไม่เข้าท่าเลย ..

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n})

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] =P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n})$

— P.Windridge

ฉันคิดว่ามันควรเป็น

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = lim_{n \to \infty} P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \geq - \sqrt{3}) = P (z \geq - \sqrt{3})

เป็นทางเลือกให้พิจารณาว่า IID และอื่น ๆ1) เฉลี่ยของตัวแปรสุ่มแกมมาไม่เป็นที่รู้จักในรูปแบบปิด แต่ก็เป็นที่รู้จักกัน (cf วิกิพีเดีย ) ที่มีขนาดใหญ่สำหรับค่ามัธยฐานของที่ตัวแปรสุ่มอยู่ระหว่างและ3nตั้งแต่นั้นจะต้องเป็นไปได้ว่าในครึ่งน้อยที่สุดของการโกหกมวลความน่าจะเป็นไปทางขวาของ{n})

X_{i} \sim Γ (3, 1)

$X_i \sim\Gamma(3,1)$

X_{1} + X_{2} + \cdot + X_{n} \sim Γ (3 n, 1)

$X_1+X_2+\cdot+X_n \sim \Gamma(3n,1)$

n

$n$

Γ (3 n, 1)

$\Gamma(3n,1)$

3 n - \frac{1}{3}

$3n-\frac 13$

3 n

$3n$

3 (n - \sqrt{n}) < 3 n - \frac{1}{3}

$3(n-\sqrt{n}) < 3n-\frac 13$

3 (n - \sqrt{n})

$3(n-\sqrt{n})$

— Dilip Sarwate

คำตอบ:

คุณถูกต้องที่ความไม่เท่าเทียมของ Chebyshev จะใช้ได้ มันมีค่อนข้างดิบ แต่มีประสิทธิภาพที่ถูกผูกไว้ที่ใช้กับลำดับดังกล่าวจำนวนมากแสดงให้เห็นว่าคุณลักษณะที่สำคัญของลำดับนี้คือความแปรปรวนของผลรวมบางส่วนที่เติบโตขึ้นอย่างมากเป็นเส้นตรงกับn $n$

พิจารณาจากนั้นกรณีทั่วไปที่สุดของลำดับของตัวแปรที่ไม่เกี่ยวข้องใด ๆ ที่มีค่าเฉลี่ยและผลต่าง จำกัด แน่นอน ให้เป็นผลรวมของแรกของพวกเขา $X_i$ $\mu_i$ $\sigma_i^2.$ $Y_n$ $n$

Y_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} .

$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i.$

ดังนั้นค่าเฉลี่ยของคือ $Y_n$

m_{n} = \sum_{i = 1}^{n} μ_{n}

$m_n = \sum_{i=1}^n \mu_n$

และความแปรปรวนของมันคือ

s_{n}^{2} = Var (Y_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} Var (X_{i}) + 2 \sum_{j > i} Cov (X_{i}, X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} σ_{i}^{2} .

$s_n^2 = \operatorname{Var}(Y_n) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{j > i}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2.$

สมมติว่าเติบโตอย่างเป็นเส้นตรงที่สุดด้วย : $s_n^2$ $n$ นั่นคือมีจำนวนเช่นนั้นสำหรับทั้งหมดที่มีขนาดใหญ่พอ ให้ (ยังไม่ได้กำหนด) สังเกตว่า $\lambda\gt 0$ $n,$ $s_n^2 \le \lambda^2 n.$ $k\gt 0$

m - k \sqrt{n} \leq m - \frac{k}{λ} s_{n},

$m - k \sqrt{n} \le m - \frac{k}{\lambda}s_n,$

และใช้ความไม่เท่าเทียมของ Chebyshev กับเพื่อรับ $Y_n$

\begin{aligned} Pr (Y_{n} \geq m_{n} - k \sqrt{n}) & \geq Pr (Y_{n} \geq m_{n} - \frac{k}{λ} s_{n}) \\ \geq Pr (| Y_{n} - m_{n} | \leq \frac{k}{λ} s_{n}) \\ \geq 1 - \frac{λ^{2}}{k^{2}} . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Y_n \ge m_n - k\sqrt{n}) &\ge \Pr(Y_n \ge m_n - \frac{k}{\lambda}s_n) \\ &\ge \Pr(|Y_n - m_n| \le \frac{k}{\lambda} s_n) \\ &\ge 1 - \frac{\lambda^2}{k^2}. }$

ความไม่เท่าเทียมกันสองประการแรกเป็นพื้นฐาน: พวกเขาปฏิบัติตามเพราะเหตุการณ์ต่อเนื่องแต่ละเหตุการณ์เป็นส่วนย่อยของเหตุการณ์ก่อนหน้านี้

ในกรณีที่อยู่ในมือโดยที่เป็นอิสระ (และไม่เกี่ยวข้องกัน) ด้วยวิธีการและความแปรปรวนเรามีและ $X_i$ $\mu_i=3$ $\sigma_i^2=3,$ $m_n=3n$

s_{n} = \sqrt{3} \sqrt{n},

$s_n = \sqrt{3}\sqrt{n},$

เราอาจจะเล็กเท่า เหตุการณ์ในคำถามสอดคล้องกับที่ $\lambda$ $\sqrt{3}.$ $3(n-\sqrt{n}) = \mu_n - 3\sqrt{n}$ $k=3,$

Pr (Y_{n} \geq 3 n - 3 \sqrt{n}) \geq 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} = \frac{2}{3} > \frac{1}{2},

$\Pr(Y_n \ge 3n - 3\sqrt{n}) \ge 1 - \frac{\sqrt{3}^{\ 2}}{3^2} = \frac{2}{3}\gt \frac{1}{2},$

QED

— whuber
แหล่งที่มา

เพื่อเป็นทางเลือกของคำตอบที่ดีเลิศของ whuber ฉันจะพยายามหาขีด จำกัด ที่แน่นอนของความน่าจะเป็นในคำถาม หนึ่งในคุณสมบัติของการแจกแจงแกมม่าคือผลรวมของตัวแปรสุ่มแกมมาอิสระที่มีพารามิเตอร์อัตรา / มาตราส่วนเดียวกันก็เป็นตัวแปรสุ่มแกมมาที่มีรูปร่างเท่ากับผลรวมของรูปร่างของตัวแปรเหล่านั้น (สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายโดยใช้ฟังก์ชันการสร้างการแจกแจง) ในกรณีปัจจุบันเรามีดังนั้นเราจึงได้รับผลรวม: $X_1,...X_n \sim \text{IID Gamma}(3,1)$

S_{n} \equiv X_{1} + \dots + X_{n} \sim Gamma (3 n, 1) .

$S_n \equiv X_1 + \cdots + X_n \sim \text{Gamma}(3n, 1).$

ดังนั้นเราสามารถเขียนความน่าจะเป็นที่แน่นอนโดยใช้ CDF ของการแจกแจงแกมม่า การให้แสดงถึงพารามิเตอร์รูปร่างและแสดงถึงอาร์กิวเมนต์ที่น่าสนใจเรามี: $a = 3n$ $x = 3(n-\sqrt{n})$

\begin{aligned} H (n) & \equiv P (S_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})) \\ = \frac{Γ (a, x)}{Γ (a)} \\ = \frac{a Γ (a)}{a Γ (a) + x^{a} e^{- x}} \cdot \frac{Γ (a + 1, x)}{Γ (a + 1)} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &\equiv \mathbb{P}(S_n \geq 3(n-\sqrt{n})) \\[12pt] &= \frac{\Gamma(a, x)}{\Gamma(a)} \\[6pt] &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

เพื่อหาขีด จำกัด ของความน่าจะเป็นนี้เราทราบครั้งแรกที่เราสามารถเขียนพารามิเตอร์ที่สองในแง่ของการเป็นครั้งแรกที่ที่{3/2} การใช้ผลลัพธ์ที่แสดงในTemme (1975) (Eqn 1.4, p. 1109) เรามีความเท่าเทียมกันเชิงเส้นกำกับ: $x = a + \sqrt{2a} \cdot y$ $y = -\sqrt{3/2}$

\begin{aligned} \frac{Γ (a + 1, x)}{Γ (a + 1)} & \sim \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot erf (- y) + \sqrt{\frac{2}{9 a π}} (1 + y^{2}) \exp (- y^{2}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} &\sim \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf}(-y) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} (1+y^2) \exp( - y^2). \end{aligned}$

การใช้การประมาณของ Stirling และการจำกัดความหมายของเลขชี้กำลังมันสามารถแสดงให้เห็นว่า:

\begin{aligned} \frac{a Γ (a)}{a Γ (a) + x^{a} e^{- x}} & \sim \frac{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (a - 1)^{a - 1 / 2}}{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (a - 1)^{a - 1 / 2} + x^{a} \cdot e^{a - x - 1}} \\ = \frac{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (1 - \frac{1}{a})^{a - 1 / 2}}{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (1 - \frac{1}{a})^{a - 1 / 2} + \sqrt{x} \cdot (\frac{x}{a})^{a - 1 / 2} \cdot e^{a - x - 1}} \\ = \frac{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot e^{- 1}}{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot e^{- 1} + \sqrt{x} \cdot e^{x - a} \cdot e^{a - x - 1}} \\ = \frac{\sqrt{2 π} \cdot a}{\sqrt{2 π} \cdot a + \sqrt{x}} \\ \sim \frac{\sqrt{2 π a}}{\sqrt{2 π a} + 1} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} &\sim \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2} + x^a \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2} + \sqrt{x} \cdot (\tfrac{x}{a})^{a-1/2} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1} + \sqrt{x} \cdot e^{x-a} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a}{\sqrt{2 \pi} \cdot a + \sqrt{x}} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1}. \\[6pt] \end{aligned}$

ดังนั้นเราจึงได้รับ:

\begin{aligned} H (n) & = \frac{a Γ (a)}{a Γ (a) + x^{a} e^{- x}} \cdot \frac{Γ (a + 1, x)}{Γ (a + 1)} \\ \sim \frac{\sqrt{2 π a}}{\sqrt{2 π a} + 1} \cdot [\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot erf (\sqrt{\frac{3}{2}}) + \sqrt{\frac{2}{9 a π}} \cdot \frac{5}{2} \cdot \exp (\frac{3}{2})] . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1} \cdot \Bigg[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} \cdot \frac{5}{2} \cdot \exp \Big( \frac{3}{2} \Big) \Bigg]. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

สิ่งนี้ทำให้เรามีขีด จำกัด :

lim_{n \to \infty} H (n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot erf (\sqrt{\frac{3}{2}}) = 0.9583677.

$\lim_{n \rightarrow \infty} H(n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) = 0.9583677.$

สิ่งนี้ทำให้เรามีขีด จำกัด ที่แน่นอนของความน่าจะเป็นของดอกเบี้ยซึ่งมากกว่าครึ่งหนึ่ง

— Ben - Reinstate Monica
แหล่งที่มา