ความน่าจะเป็นหลังอาจเป็น> 1 หรือไม่

ในสูตรของเบย์:

P (x | a) = \frac{P (a | x) P (x)}{P (a)}

$P(x|a) = \frac{P(a|x) P(x)}{P(a)}$

ความน่าจะเป็นหลังที่ $P(x|a)$ เกิน 1 ได้หรือไม่?

ฉันคิดว่ามันเป็นไปได้ถ้ายกตัวอย่างเช่นสมมติว่า $0 < P(a) < 1$ และ $P(a) < P(x) < 1$ และ $P(a)/P(x) < P(a|x) < 1$ 1แต่ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับเรื่องนี้เพราะความน่าจะเป็นที่จะมีค่ามากกว่าหนึ่งหมายความว่าอย่างไร

probability bayesian conditional-probability

— โทมัสมัวร์
แหล่งที่มา

หนึ่งควรมีความแม่นยำในการกำหนดสัญกรณ์ มันไม่ชัดเจนว่า

P (\cdot)

$P(\cdot)$ หมายถึงอะไร ถ้า

P (\cdot)

$P(\cdot)$ คือ (a) การแจกแจงความน่าจะเป็น (ในกรณีที่

a

$a$ และ

x

$x$ เป็นเซต) หรือ (b) ฟังก์ชั่นขนาดใหญ่บนพื้นที่ที่ไม่ต่อเนื่องคำตอบที่คุณมีอยู่นั้นถูกต้อง ถ้า

P (\cdot)

$P(\cdot)$ เป็นที่เข้าใจว่าจะเป็นฟังก์ชั่นความหนาแน่นแล้วมันไม่เป็นความจริงว่า

P (x ∣ a) \leq 1

$P(x \mid a) \le 1$ 1

เหตุผลในการ nitpicking คือฟังก์ชั่นทั้งสามประเภทเป็นไปตามกฎของเบย์ สัญกรณ์

P (\cdot)

$P(\cdot)$ มักจะใช้สำหรับการแจกแจง แต่การใช้อักขระตัวพิมพ์เล็กสำหรับการขัดแย้งแนะนำความหนาแน่น

— ผู้ชายที่

P (x ∣ a) = \frac{P (x, a)}{P (a)} \leq \frac{P (a)}{P (a)} = 1

$P(x\mid a) = \frac{P(x,a) }{P(a)} \le \frac{P(a) }{P(a)} =1$ ดังนั้นน่าจะเป็นหลังไม่เกิน1

1

$1$ (ความหนาแน่นด้านหลังเป็นเรื่องที่แตกต่าง - การแจกแจงแบบต่อเนื่องจำนวนมากมีความหนาแน่นเกิน

1

$1$ สำหรับค่าบางค่า)

— เฮนรี่

หากหลังที่คำนวณได้มีค่าเกินกว่าหนึ่งแสดงว่าคุณทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง

— Emil M Friedman

@EmilMFriedman คำตอบของคุณไม่ชัดเจน (และด้วยเหตุนี้อาจเป็นอันตราย) เพราะไม่ได้ระบุว่ามันหมายถึงความน่าจะเป็นหรือความหนาแน่นของ

— whuber

อุปสรรคความสามัคคีในความน่าจะเป็นสามารถและถูกทำลาย เห็นโพสต์ของฉันที่stats.stackexchange.com/questions/4220/...

— Mark L. Stone

คำตอบ:

เงื่อนไขที่สันนิษฐานนั้นไม่ถือ - มันไม่สามารถเป็นจริงได้ว่าโดยนิยามของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข : $P(a)/P(x) < P(a|x)$

$P(a|x) = P(a\cap x) / P(x) \leq P(a) / P(x)$

— Khol
แหล่งที่มา

ไม่มันเป็นไปไม่ได้สำหรับความน่าจะเป็นหลังที่จะเกินหนึ่ง นั่นจะเป็นการฝ่าฝืนสัจพจน์ปกติของทฤษฎีความน่าจะเป็น การใช้กฎความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคุณต้องมี:

P (a | x) = \frac{P (a, x)}{P (x)} ⩽ \frac{P (a)}{P (x)} .

$\mathbb{P}(a | x) = \frac{\mathbb{P}(a,x)}{\mathbb{P}(x)} \leqslant \frac{\mathbb{P}(a)}{\mathbb{P}(x)}.$

ซึ่งหมายความว่าคุณไม่สามารถมีเงื่อนไขความไม่เท่าเทียมที่คุณระบุ (โดยบังเอิญนี่เป็นคำถามที่ดี: เป็นเรื่องดีที่คุณกำลังตรวจสอบกฎหมายความน่าจะเป็นที่กำลังมองหาปัญหามันแสดงให้เห็นว่าคุณกำลังสำรวจเรื่องเหล่านี้ด้วยความเข้มงวดมากกว่านักเรียนส่วนใหญ่)

จุดเพิ่มเติม:มันเป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การเพิ่มอีกหนึ่งจุดเกี่ยวกับสถานการณ์นี้ซึ่งเกี่ยวกับลำดับความสำคัญแบบลอจิคัลของคุณลักษณะความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน โปรดจำไว้ว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มต้นด้วยชุดของสัจพจน์ที่อธิบายลักษณะของการวัดความน่าจะเป็นจริง จากสัจพจน์เหล่านี้เราสามารถได้รับ "กฎความน่าจะเป็น" ซึ่งเป็นทฤษฎีที่ได้มาจากสัจพจน์ กฎความน่าจะเป็นเหล่านี้จะต้องสอดคล้องกับสัจพจน์ที่ถูกต้อง หากคุณเคยพบว่ากฎความน่าจะเป็นนำไปสู่ความขัดแย้งกับหนึ่งในสัจพจน์ (เช่นความน่าจะเป็นของพื้นที่ตัวอย่างมากกว่าหนึ่ง) สิ่งนี้จะไม่ทำให้ความจริงเป็นเท็จ - มันจะปลอมแปลงกฎความน่าจะเป็น ดังนั้นแม้ว่าจะเป็นกรณีที่กฎของเบย์สามารถทำได้นำไปสู่ความน่าจะเป็นหลังที่มากกว่าหนึ่ง (ไม่ได้) นี่ไม่ได้หมายความว่าคุณจะมีความน่าจะเป็นหลังที่มากกว่าหนึ่ง เพียง แต่หมายความว่ากฎของ Bayes ไม่ใช่กฎความน่าจะเป็นที่ถูกต้อง

— Reinstate Monica
แหล่งที่มา

ตัวเศษสุดท้ายควรเป็น P (x) หรือไม่

— BallpointBen

ยังคงแสดง P (a) สำหรับฉัน

— BallpointBen

มันควรจะเป็น P (a) เป็นตัวเศษ ความไม่เท่าเทียมกันแสดง OP ว่าเขาไม่สามารถมี P (a | x)> P (a) / P (x) ตามที่เขาระบุไว้ในคำถามของเขา

— Reinstate Monica

สูตร The Bayes ไม่สามารถให้ค่าเกิน1วิธีที่ใช้งานง่ายเพื่อดูสิ่งนี้คือการแสดงผ่านกฎความน่าจะเป็นทั้งหมดเป็น ให้สิ่งนั้น $\displaystyle P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$ $P(B\mid A)$ $1$ $P(A)$

P (A) = P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ B^{c}) P (B^{c})

$P(A) = P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่าตัวเศษเป็นเพียงหนึ่งในเงื่อนไขในผลรวมในตัวหารดังนั้นเศษส่วนต้องไม่เกิน

ในค่า .

P (B ∣ A) = \frac{P (A ∣ B) P (B)}{P (A)} = \frac{P (A ∣ B) P (B)}{P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ B^{c}) P (B^{c})}

$P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)} = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)}$

1

$1$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

+1 นี่เป็นข้อพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดสำหรับฉัน

— user541686

P (B ∣ A)

$P(B\mid A)$

1

$1$

P (A ∣ B) P (B) = P \A \cap B)

$P(A\mid B)P(B) = P\A\cap B)$

P (A)

$P(A)$

A \cap B \subset A

$A\cap B \subset A$

P \A \cap B) \leq P (A)

$P\A\cap B) \leq P(A)$ และมีความสัมพันธ์เพียงเล็กน้อย ต่อสูตรสูตรของเบย์

— Dilip Sarwate