สามารถขยายการทดสอบ Mantel เป็นเมทริกซ์แบบอสมมาตรได้หรือไม่?

การทดสอบหิ้งมักจะใช้กับเมทริกซ์ระยะทาง / ความแตกต่างสมมาตร เท่าที่ฉันเข้าใจสมมติฐานของการทดสอบก็คือการวัดที่ใช้ในการกำหนดความแตกต่างจะต้องเป็นอย่างน้อยกึ่ง - ตัวชี้วัด (ตรงตามข้อกำหนดมาตรฐานของตัวชี้วัด

สมมติฐานของความสมมาตรสามารถผ่อนคลายได้หรือไม่ (ให้ pre-metric)? เป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้การทดสอบการเปลี่ยนแปลงในกรณีนี้โดยใช้เมทริกซ์แบบเต็ม?

ไม่จำเป็นต้องขยาย การทดสอบ Mantel ดั้งเดิมตามที่นำเสนอในบทความของ Mantel ในปี 1967ช่วยให้การฝึกอบรมแบบอสมมาตร จำได้ว่าการทดสอบนี้เปรียบเทียบสองระยะเมทริกซ์XและY$n\times n$$X$$Y$

ขณะนี้เราอาจคาดการณ์การเปลี่ยนแปลงของสถิติของเราซึ่งจะทำให้ขั้นตอนทางสถิติง่ายขึ้นที่จะพัฒนาด้านล่าง การปรับเปลี่ยนคือการลบการ จำกัดและเพื่อแทนที่โดยการ จำกัดi ≠ jเท่านั้น โดยที่X i j = X j iและY i j = Y j iผลกระทบของการปรับเปลี่ยนคือการเพิ่มค่าผลรวมสองเท่า อย่างไรก็ตามขั้นตอนการพัฒนานั้นมีความเหมาะสมแม้ว่าความสัมพันธ์ระยะทางจะไม่สมมาตรนั่นคือเมื่อเป็นไปได้ที่$i\lt j$$i\ne j$$X_{ij} = X_{ji}$$Y_{ij} = Y_{ji}$และ Y ฉันj ≠ Y j i ; กรณีเฉพาะที่ถูกปกคลุมคือ X i j =- X j i , Y i j =- Y j i ...$X_{ij} \ne X_{ji}$$Y_{ij} \ne Y_{ji}$$X_{ij} = -X_{ji}, Y_{ij} = -Y_{ji}$

(ในส่วนที่ 4 เน้นการเพิ่ม)

สมมาตรดูเหมือนจะเป็นเงื่อนไขเทียมในซอฟต์แวร์จำนวนมากเช่นade4แพ็คเกจสำหรับRซึ่งใช้วัตถุของคลาส "dist" เพื่อจัดเก็บและจัดการเมทริกซ์ระยะทาง ฟังก์ชั่นการจัดการถือว่าระยะทางมีความสมมาตร ด้วยเหตุนี้คุณจึงไม่สามารถใช้mantel.rtestโพรซีเดอร์กับเมทริกซ์แบบไม่สมมาตร - แต่นั่นเป็นข้อ จำกัด ของซอฟต์แวร์อย่างแท้จริงไม่ใช่คุณสมบัติของการทดสอบ

$X$$Y$$n^2$

$n!$$Z$$Z$$Z$

[ อ้างแล้ว ]

ในความเป็นจริง Mantel ชี้ให้เห็นอย่างชัดเจนว่าการฝึกอบรมไม่จำเป็นต้องเป็นเมทริกซ์ระยะทางและเขาเน้นความสำคัญของความเป็นไปได้นี้ :

$X_{ij}$$Y_{ij}$$X_{ik} \le X_{ij} + X_{jk}$$X_{ij}$$Y_{ij}$

(ตัวอย่างแสดงความไม่เท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม)

$n$$n-1$

$Z=\sum\sum X_{ij}Y_{ij}$

โดยสรุปจากจุดเริ่มต้นจริงทุกสัจพจน์ของเมตริกได้รับการพิจารณาอย่างชัดเจนและปฏิเสธว่าไม่สำคัญต่อการทดสอบ:

1. "ระยะทาง" อาจเป็นลบ

2. "ระยะทาง" ระหว่างวัตถุกับตัวมันเองอาจไม่ใช่ศูนย์

3. ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมไม่จำเป็นต้องถือ

4. "ระยะทาง" ไม่จำเป็นต้องมีความสมมาตร

$Z=\sum_{i,j} X_{ij}Y_{ij}$

นี่คือตัวอย่างของการทดสอบRระบบ กำหนดระยะทางสองเมทริกซ์xและyมันส่งกลับตัวอย่างของการแจกแจงการเปลี่ยนแปลง (เป็นเวกเตอร์ของค่าของสถิติทดสอบ) ไม่ต้องการxหรือyมีคุณสมบัติใด ๆ เลย พวกเขาจะต้องมีขนาดเท่ากันของเมทริกซ์จตุรัส

mantel <- function(x, y, n.iter=999, stat=function(a,b) sum(a*b)) {
  permute <- function(z) {
    i <- sample.int(nrow(z), nrow(z))
    return (z[i, i])
  }
  sapply(1:n.iter, function(i) stat(x, permute(y)))
}