การกระจายตัวแบบพหุนามมีค่าประมาณเท่าไหร่?

หากมีการประมาณค่าที่เป็นไปได้หลายอย่างฉันกำลังมองหาพื้นฐานที่สุด

normal-distribution multinomial approximation

คำตอบ:

คุณสามารถประมาณค่าด้วยการแจกแจงปกติหลายตัวแปรในวิธีเดียวกับการแจกแจงทวินามโดยประมาณโดยการแจกแจงปกติแบบไม่แปร ตรวจสอบองค์ประกอบของทฤษฎีการแจกแจงและการแจกแจงพหุนามหน้า 15-16-17

ให้เป็นเวกเตอร์ของความน่าจะเป็นของคุณ จากนั้นเวกเตอร์เฉลี่ยของการกระจายปกติหลายตัวแปรคือnp_k) เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็นเมทริกซ์สมมาตร องค์ประกอบในแนวทแยงเป็นจริงความแปรปรวนของ 's; เช่น , k องค์ประกอบปิดเส้นทแยงมุมในแถวที่ i และคอลัมน์ jth เป็นที่ไม่เท่ากับเจ $P=(p_1,...,p_k)$ $np=(np_1,np_2,...,np_k)$ $k \times k$ $X_i$ $np_i(1-p_i)$ $i=1,2...,k$ $\text{Cov}(X_i,X_j)=-np_ip_j$ $i$ $j$

— สถิติ
แหล่งที่มา

ตรวจสอบข้อมูลอ้างอิงที่ 2

— สถิติ

สถิติเพื่อให้คำตอบนี้สามารถยืนด้วยตัวเอง (และทนต่อการเชื่อมโยงเน่า) คุณจะให้สรุปการแก้ปัญหาหรือไม่

— whuber

สิ่งนี้จำเป็นต้องมีการแก้ไขอย่างต่อเนื่องหรือไม่? คุณจะสมัครอย่างไร

— Jack Aidley

เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมนั้นไม่ได้เป็นค่าบวกแน่นอน แต่เป็นค่ากึ่งบวกแน่นอนและไม่ใช่อันดับเต็ม สิ่งนี้ทำให้การแจกแจงพหุคูณส่งผลไม่ได้กำหนด นี่คือปัญหาที่ฉันต้องเผชิญ มีความคิดวิธีจัดการกับมันอย่างไร?

— Mohammad Alaggan

@ M.Alaggan: หมายถึงการฝึกอบรม / แปรปรวนกำหนดที่นี่มีปัญหาเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่หนึ่ง: สำหรับการกระจายพหุนามกับตัวแปรเทียบเท่าหลายตัวแปรปกติมี variates เรื่องนี้เห็นได้ชัดในตัวอย่างทวินามซึ่งประมาณโดยการแจกแจงปกติ (ธรรมดา) สำหรับการอภิปรายต่อไปดูตัวอย่าง 12.7 ขององค์ประกอบของทฤษฎีการแพร่กระจาย

k

$k$

k - 1

$k-1$

— MS Dousti

ความหนาแน่นที่ให้ไว้ในคำตอบนี้แย่ลงดังนั้นฉันใช้สิ่งต่อไปนี้เพื่อคำนวณความหนาแน่นที่เป็นผลมาจากการประมาณปกติ:

มีทฤษฎีบทที่ระบุว่าได้รับตัวแปรสุ่มเป็น $X = [X_1, \ldots, X_m]^T \sim \text{Multinom}(n, p)$ , สำหรับ $m$ มิติเวกเตอร์ $p$ กับ $\sum_i p_i = 1$ และ $\sum_i X_i = n$ ที่;

X \overset{d}{\to} \sqrt{n} diag (u) Q [\begin{matrix} Z_{1} \\ ⋮ \\ Z_{m - 1} \\ 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} n p_{1} \\ ⋮ \\ n p_{m} \end{matrix}],

$X \xrightarrow{d} \sqrt{n} \, \text{diag}(u) \, Q \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_m \end{bmatrix},$

$n$

$u$ $u_i = \sqrt{p_i}$
$Z_i \sim N(0,1)$ $i = 1, \ldots, m-1$
$Q$ $u$

$m-1$ $m-1$ $X$ $X_m$

$Q$ $I - 2 v v^T$ $v_i = (\delta_{im} - u_i) / \sqrt{2(1 - u_m)}$

$m-1$ $Q$ $m-1$ $m-1$ $\hat{X}$ $\hat{Q}$

\hat{X} \overset{d}{\to} \sqrt{n} diag (\hat{u}) \hat{Q} [\begin{matrix} Z_{1} \\ ⋮ \\ Z_{m - 1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} n p_{1} \\ ⋮ \\ n p_{m - 1} \end{matrix}] \sim N (μ, n Σ),

$\hat{X} \xrightarrow{d} \sqrt{n} \text{diag}(\hat{u}) \hat{Q} \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_{m-1} \end{bmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \mu, n \Sigma \right),$

$n$

$\hat{u}$ $m-1$ $u$
$\mu = [ n p_1, \ldots, n p_{m-1}]^T$
$n \Sigma = n A A^T$ $A = \text{diag}( \hat{u} ) \hat{Q}$

ทางด้านขวามือของสมการสุดท้ายคือความหนาแน่นไม่เสื่อมที่ใช้ในการคำนวณ

ตามที่คาดไว้เมื่อคุณเสียบทุกอย่างคุณจะได้เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมต่อไปนี้:

(n Σ)_{i j} = n \sqrt{p_{i} p_{j}} (δ_{i j} - \sqrt{p_{i} p_{j}})

$(n\Sigma)_{ij} = n \sqrt{p_i p_j} (\delta_{ij} - \sqrt{p_i p_j})$

$i,j = 1, \ldots, m-1$ $m-1$ $m-1$

รายการบล็อกนี้เป็นจุดเริ่มต้นของฉัน

— stephematician
แหล่งที่มา

อีกแหล่งข้อมูลที่มีประโยชน์คือลิงค์ที่ให้ไว้ใน: stats.stackexchange.com/questions/2397/…

— stephematician

คำตอบที่ดี (+1) --- [textual description](hyperlink)หมายเหตุที่คุณสามารถฝังลิงค์กับไวยากรณ์ ฉันใช้เสรีภาพในการแก้ไขคำตอบนี้เพื่อฝังลิงก์ของคุณ

— เบ็น - คืนสถานะโมนิก้า