PDF ที่เหมือนกันของความแตกต่างของสอง rv

เป็นไปได้ไหมที่จะมี PDF ของความแตกต่างของรูปลักษณ์ของ iid rv สองอันที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (แทนที่จะบอกว่าสามเหลี่ยมที่เราได้รับถ้า rv ถูกนำมาจากการแจกแจงแบบเดียวกัน)

เช่นเป็นไปได้หรือไม่ที่ PDF f ของ jk (สำหรับสอง iid rv ที่นำมาจากการแจกแจงบางส่วน) ให้มี f (x) = 0.5 สำหรับ -1 ทั้งหมด <<<1?

ไม่มีข้อ จำกัด ในการแจกแจงที่เราใช้ j และ k ยกเว้นว่าค่าต่ำสุดคือ -1 และค่าสูงสุดคือ 1

หลังจากการทดลองฉันคิดว่ามันอาจเป็นไปไม่ได้

random-variable pdf iid

— นาธาน
แหล่งที่มา

ความแตกต่างของการแจกแจงแบบสองแบบคือการแจกแจงแบบสามเหลี่ยมดังนั้นถ้าคุณถามว่ามันเป็นไปได้ไหมที่จะได้ความเหมือนกันของความแตกต่างของชุดเครื่องแบบ iid คำตอบก็คือไม่

— ทิม

คำถามเดียวกันถามที่นี่: math.stackexchange.com/questions/2048939/… ยังไม่มีคำตอบ!

— kjetil b halvorsen

ดูเหมือนจะเป็นการยากที่จะหลีกเลี่ยงการรับรู้นอกเมื่อทั้งและมีมวลความน่าจะเป็นใกล้กับจุดสิ้นสุดเหล่านี้

[- 1, 1]

$[-1,1]$

j

$j$

k

$k$

— Christoph Hanck

มันเป็นไปไม่ได้. สำหรับความทรงจำของฉันนี่คือ (ในรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อย) แล้วตอบบางแห่งในเว็บไซต์ ฉันจะดูว่าฉันสามารถหาได้หรือไม่

— Glen_b

@Glen_b คุณอาจจะนึกถึงstats.stackexchange.com/questions/125360/... มันไม่ได้ซ้ำกันเลยทีเดียวเนื่องจากความแตกต่างของตัวแปร iid แม้ว่าจะแสดงเป็นผลรวมอาจเกี่ยวข้องกับผลรวมของตัวแปรที่มีการแจกแจงที่ไม่เหมือนกัน ฉันเชื่อว่าการดัดแปลงแก้ไขเล็กน้อยของฉันจะแก้ไขความแตกต่างนี้ ดูเหมือนว่าโซลูชันของ Silverfish จะนำไปใช้โดยตรงโดยแทบจะไม่มีการดัดแปลงใด ๆ แต่อย่างแรกต้องลบเนื้อหาที่ไม่เกี่ยวข้องเพื่อดูสิ่งนั้น

X - Y

$X-Y$

X + (- Y),

$X+(-Y),$

— whuber

คำตอบ:

ทฤษฎีบท:ไม่มีการจัดจำหน่ายเป็นที่เมื่อDist} $\text{Dist}$ $A-B \sim \text{U}(-1,1)$ $A, B \sim \text{IID Dist}$

พิสูจน์:พิจารณาสองตัวแปรสุ่มกับฟังก์ชั่นลักษณะทั่วไป\แสดงถึงความแตกต่างของพวกเขาโดยDฟังก์ชั่นลักษณะของความแตกต่างคือ: $A, B \sim \text{IID Dist}$ $\varphi$ $D=A-B$

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = E (\exp (i t (A - B))) \\ = E (\exp (i t A)) E (\exp (- i t B)) \\ = φ (t) φ (- t) \\ = φ (t) \bar{φ (t)} \\ = | φ (t) |^{2} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

(บรรทัดที่สี่ของการทำงานนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชั่นพิเศษคือ Hermitian ) ตอนนี้การใช้ให้รูปแบบเฉพาะสำหรับซึ่งก็คือ: $D \sim \text{U}(-1,1)$ $\varphi_D$

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = \int_{R} \exp (i t r) f_{D} (r) d r \\ = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} \exp (i t r) d r \\ = \frac{1}{2} [\frac{\exp (i t r)}{i t}]_{r = - 1}^{r = 1} \\ = \frac{1}{2} \frac{\exp (i t) - \exp (- i t)}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (- t) + i \sin (- t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (t) - i \sin (t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{2 i \sin (t)}{i t} \\ = \frac{\sin (t)}{t} = sinc (t) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

ที่หลังเป็น (unnormalised) ฟังก์ชั่น sinc ดังนั้นเพื่อให้เป็นไปตามข้อกำหนดสำหรับเราต้องการฟังก์ชันคุณสมบัติพร้อม squared-norm ที่กำหนดโดย: $\text{Dist}$ $\varphi$

| φ (t) |^{2} = φ_{D} (t) = sinc (t) .

$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$

ด้านซ้ายมือของสมการนี้เป็นบรรทัดฐานกำลังสองจึงไม่เป็นลบขณะที่ด้านขวามือเป็นฟังก์ชันที่มีค่าเป็นลบในหลาย ๆ ตำแหน่ง ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้สมการนี้ดังนั้นจึงไม่มีฟังก์ชั่นคุณสมบัติที่ตรงตามข้อกำหนดสำหรับการแจกแจง (Hat-tip ถึงFabianสำหรับการชี้ให้เห็นในคำถามที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ .) ดังนั้นจึงไม่มีการแจกแจงตามข้อกำหนดของทฤษฎีบท $\blacksquare$

— Ben - Reinstate Monica
แหล่งที่มา

นี่เป็นเรื่องของวิศวกรไฟฟ้าเกี่ยวกับเรื่องนี้โดยมีมุมมองที่เหมาะสำหรับ dsp.SE แทนที่จะเป็นสถิติ แต่ไม่ว่าจะเป็นเรื่องใดก็ตาม

สมมติว่าและมีความต่อเนื่องตัวแปรสุ่มที่มีรูปแบบไฟล์ PDF ที่พบบ่อย(x) จากนั้นถ้าหมายถึงเรามี Cauchy-อสมการ Schwarz บอกเราว่ามีจำนวนมากที่สุดที่ 0 ในความเป็นจริงเนื่องจากเป็นฟังก์ชั่น "autocorrelation" ของถือว่าเป็น "สัญญาณ" จึงต้องมีค่าสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันที่และทำให้ไม่สามารถกระจายอย่างสม่ำเสมอตามที่ต้องการ หรือถ้า $X$ $Y$ $f(x)$ $Z$ $X-Y$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) f (x + z) d x .

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$

f_{Z} (z)

$f_Z(z)$

z = 0

$z=0$

f_{Z}

$f_Z$

f

$f$

z = 0

$z=0$

Z

$Z$

f_{Z}

$f_Z$ เป็นความหนาแน่นสม่ำเสมอ (จำได้ว่ามันเป็นฟังก์ชั่น autocorrelation) จากนั้น "พลังความหนาแน่นสเปกตรัม" ของ (ถือว่าเป็นสัญญาณ) จะเป็นฟังก์ชัน sinc และไม่ใช่ฟังก์ชันเชิงลบเนื่องจากความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงานทั้งหมดจะต้องเป็น . ดังนั้น, สมมติฐานที่เป็นความหนาแน่นสม่ำเสมอนำไปสู่ความขัดแย้งและดังนั้นการสันนิษฐานต้องเป็นเท็จ

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z}

$f_Z$

การอ้างว่าเห็นได้ชัดว่าไม่ถูกต้องเมื่อการแจกแจงทั่วไปของและมีอะตอมตั้งแต่ในกรณีเช่นนี้การกระจายของจะมีอะตอมด้วย ฉันสงสัยว่าข้อ จำกัด ที่และมีไฟล์ PDFสามารถลบออกได้และการพิสูจน์เชิงทฤษฎีการวัดที่สร้างขึ้นสำหรับกรณีทั่วไปเมื่อและไม่จำเป็นต้องสนุกกับไฟล์ PDF (แต่แตกต่างกัน) $f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

ส่วนหนึ่งดูเหมือนจะไม่ถูกต้องสำหรับฉัน ฟังก์ชั่นลักษณะของ

U (- 1, 1)

$\text{U}(-1,1)$ กระจายเป็น

sinc

$\text{sinc}$ ฟังก์ชั่นอย่างชัดเจนว่าการแปลงฟูริเยร์เป็นสิ่งที่อนุญาต ตรรกะของคุณดูเหมือนว่าฉันจะนำไปสู่การพิสูจน์มากเกินไป - ดูเหมือนว่าจะพิสูจน์ไม่เพียงเท่านั้น

Z

$Z$ ไม่สามารถเป็นชุดได้ แต่การกระจายชุดนั้นไม่สามารถเกิดขึ้นได้เลย ฉันเข้าใจผิดหรือเปล่า?

— เบ็น - คืนสถานะโมนิก้า

ฟังก์ชั่นลักษณะของหรือไม่

U [- 1, 1]

$\mathcal U[-1,1]$ มีอยู่ไม่ได้เป็นปัญหา; มันมีอยู่จริง PDF ของ

Z

$Z$ เป็นฟังก์ชั่นความสัมพันธ์อัตโนมัติ Well, ความหนาแน่นพลังงานสเปกตรัมของใด ๆ ฟังก์ชั่นอัตต้องเป็นฟังก์ชั่นที่ไม่เป็นลบ ดังนั้นการสันนิษฐานว่า

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ นำไปสู่ความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานซึ่งเป็นฟังก์ชัน sinc (ซึ่งใช้ทั้งค่าบวกและค่าลบ) เนื่องจากนี่ไม่ใช่ความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานที่ถูกต้อง (โปรดจำไว้ว่า

f_{Z}

$f_Z$ เป็นฟังก์ชั่น autocorrelation ด้วย) ซึ่งสันนิษฐานว่า

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ จะต้องเป็นเท็จ

— Dilip Sarwate