ปรีชาหลังสูตรสำหรับความแปรปรวนของผลรวมของสองตัวแปร

ฉันรู้จากการศึกษาก่อนหน้าว่า

$Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov (A,B)$

อย่างไรก็ตามฉันไม่เข้าใจว่าทำไม ฉันสามารถเห็นได้ว่าเอฟเฟกต์จะ 'ผลักดัน' ความแปรปรวนเมื่อ A และ B มีโควารีสูง ทำให้รู้สึกว่าเมื่อคุณสร้างคอมโพสิตจากสองตัวแปรที่มีความสัมพันธ์สูงคุณจะมีแนวโน้มที่จะเพิ่มการสังเกตที่สูงจาก A ด้วยการสังเกตที่สูงจาก B และการสังเกตที่ต่ำจาก A กับการสังเกตที่ต่ำจาก B นี้จะมีแนวโน้มที่ สร้างค่าสูงสุดและต่ำสุดในตัวแปรคอมโพสิตเพิ่มความแปรปรวนของคอมโพสิต

แต่ทำไมมันไม่ทำงานคูณแปรปรวนโดยตรง 2?

คำตอบง่ายๆ:

ความแปรปรวนเกี่ยวข้องกับจตุ :

$$Var(X) = E[(X - E[X])^2]$$

ดังนั้นคำถามของคุณจะทวีคูณลงถึงปัจจัยที่ 2 ในข้อมูลประจำตัวของสแควร์:

$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$

ซึ่งสามารถที่จะเข้าใจสายตาเป็นการสลายตัวของพื้นที่ของตารางด้านข้างได้เข้ามาในพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนาดเล็กของด้านและนอกเหนือไปจากสองรูปสี่เหลี่ยมด้านและ :$(a+b)$$a$$b$$a$$b$

คำตอบที่เกี่ยวข้องเพิ่มเติม:

ถ้าคุณต้องการคำตอบที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์มากกว่าความแปรปรวนร่วมนั้นเป็นรูปแบบ bilinear ซึ่งหมายความว่ามันเป็นเส้นตรงในอาร์กิวเมนต์แรกและตัวที่สองสิ่งนี้นำไปสู่:

$$\begin{aligned} Var(A+B) &= Cov(A+B, A+B) \\ &= Cov(A, A+B) + Cov(B, A+B) \\ &= Cov(A,A) + Cov(A,B) + Cov(B,A) + Cov(B,B) \\ &= Var(A) + 2 Cov(A,B) + Var(B) \end{aligned}$$

ในบรรทัดสุดท้ายฉันใช้ความจริงที่ว่าความแปรปรวนร่วมนั้นสมมาตร:

$$Cov(A,B) = Cov(B,A)$$

เพื่อสรุป:

มันเป็นสองเพราะคุณจะต้องบัญชีสำหรับทั้งและA)$cov(A,B)$$cov(B,A)$

ชุดของตัวแปรสุ่มคือปริภูมิเวกเตอร์และคุณสมบัติหลายอย่างของปริภูมิแบบยุคลิดสามารถนำมาเปรียบเทียบกับพวกมันได้ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานทำหน้าที่เหมือนความยาวและความแปรปรวนเช่นความยาวยกกำลังสอง ความเป็นอิสระสอดคล้องกับ orthogonal ในขณะที่ความสัมพันธ์ที่สมบูรณ์แบบสอดคล้องกับการคูณสเกลาร์ ดังนั้นความแปรปรวนของตัวแปรอิสระตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:(B)
$var(A+B) = var(A)+var(B)$

หากพวกมันสัมพันธ์กันอย่างสมบูรณ์
$std(A+B) = std(A)+std(B)$

โปรดทราบว่าสิ่งนี้เทียบเท่ากับ
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2\sqrt{var(A)var(B)}$

หากพวกเขาไม่เป็นอิสระจากนั้นพวกเขาปฏิบัติตามกฎหมายที่คล้ายกับกฎของโคไซน์:
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2cov(A,B)$

โปรดทราบว่ากรณีทั่วไปเป็นหนึ่งในระหว่างความเป็นอิสระอย่างสมบูรณ์และความสัมพันธ์ที่สมบูรณ์แบบ ถ้าและเป็นอิสระจากนั้นเป็นศูนย์ ดังนั้นกรณีทั่วไปคือว่ามักจะมีระยะและระยะและจากนั้นจะมีการเปลี่ยนแปลงบางอย่างเกี่ยวกับระยะ ; ยิ่งมีความสัมพันธ์กับตัวแปรมากเท่าใดเทอมที่สามนี้ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น และนี่คือสิ่งที่แม่นยำคือมันเป็นครั้งของและB$A$$B$$cov(A,B)$$var(A,B)$$var(A)$$var(B)$$2\sqrt{var(A)var(B)}$$2cov(A,B)$$2\sqrt{var(A)var(B)}$$r^2$$A$$B$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+MeasureOfCorrelation*PerfectCorrelationTerm$

โดยที่และ$MeasureOfCorrelation = r^2$$PerfectCorrelationTerm=2\sqrt{var(A)var(B)}$

ใส่คำอื่น ๆ ถ้าดังนั้น$r = correl(A,B)$

$\sigma_{A+B} = \sigma_A^2+\sigma_B^2+ 2(r\sigma_A)(r\sigma_B)$

ดังนั้นนั้นคล้ายคลึงกับในกฎของ Cosines$r^2$$cos$

ฉันจะเพิ่มว่าสิ่งที่คุณอ้างไม่ได้เป็นความหมายของแต่เป็นผลของคำนิยามของและCovดังนั้นคำตอบว่าทำไมสมการที่ถือเป็นการคำนวณที่ดำเนินการโดยbyouness คำถามของคุณอาจเป็นเหตุผลที่เหมาะสม อย่างไม่เป็นทางการ:$Var(A+B)$$Var$$Cov$

จะ "แตกต่าง" เท่าใดขึ้นอยู่กับปัจจัยสี่ประการ:$A+B$

1. เท่าใดจะแตกต่างกันในของตัวเอง$A$
2. จะแตกต่างกันไปมากแค่ไหน$B$
3. เท่าใดจะแตกต่างกันเมื่อเคลื่อนที่ไปรอบ ๆ (หรือเปลี่ยนแปลง)$A$$B$
4. เท่าไหร่จะแตกต่างกันเป็นย้ายรอบ$B$$A$

ซึ่งนำเราไปยัง เพราะเป็นตัวดำเนินการแบบสมมาตร= V a r ( A ) + V a r ( B ) + 2 C o v (

$$Var(A+B)=Var(A)+Var(B)+Cov(A,B)+Cov(B,A)$$ C o $$=Var(A)+Var(B)+2Cov(A,B)$$ $Cov$