Parametrizing การแจกแจงของเบห์น - ฟิชเชอร์

"ปัญหา Behrens - Fisher: บทวิจารณ์" โดย Seock-Ho Kim และ Allen S. Cohen

วารสารสถิติการศึกษาและพฤติกรรมเล่ม 23 หมายเลข 4 ฤดูหนาว 2541 หน้า 356–377

ฉันกำลังดูสิ่งนี้และมันบอกว่า:

ฟิชเชอร์ (1935, 1939) เลือกสถิติ

$$\tau = \frac{\delta-(\bar x_2 - \bar x_1)}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} = t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$$ [ที่ $t_i$ เป็นหนึ่งตัวอย่างปกติ $t$- สถิติสำหรับ $i=1,2$] ที่ไหน $\theta$ ถูกใช้ในจตุภาคแรกและ $$\tan\theta = \frac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}.\tag{13}$$ [. . . ] การกระจายของ$\tau$ คือการแจกแจงแบบ Behrens-Fisher และถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์สามตัว $\nu_1$, $\nu_2$และ $\theta$,

พารามิเตอร์ $\nu_i$ ก่อนหน้านี้เคยถูกนิยามว่าเป็น $n_i-1$ สำหรับ $i=1,2$.

ตอนนี้สิ่งที่ไม่สามารถสังเกตเห็นได้ที่นี่คือ $\delta$ และค่าเฉลี่ยประชากรสองค่า $\mu_1$, $\mu_2$ซึ่งแตกต่างกันคือ $\delta$และดังนั้น $\tau$ และทั้งสอง $t$-สถิติ. ตัวอย่างเอกสารความปลอดภัย$s_1$ และ $s_2$ สังเกตได้และใช้เพื่อกำหนด $\theta$, ดังนั้น $\theta$เป็นสถิติที่สังเกตได้ไม่ใช่พารามิเตอร์ของประชากรที่ไม่สามารถสังเกตเห็นได้ แต่เราเห็นว่ามันถูกใช้เป็นหนึ่งในพารามิเตอร์ของตระกูลการกระจายนี้!

เป็นไปได้ไหมที่พวกเขาควรจะบอกว่าพารามิเตอร์นั้นเป็นอาร์คแทนเจนต์ของ $\dfrac{\sigma_1/\sqrt{n_1}}{\sigma_2/\sqrt{n_2}}$ มากกว่า $\dfrac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}$?

การแจกจ่ายของ Behrens-Fisher ถูกกำหนดโดย $t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$ ที่ไหน $\theta$ เป็นจำนวนจริงและ $t_2$ และ $t_1$ มีความเป็นอิสระ $t$การกระจายที่มีองศาอิสระ $\nu_2$ และ $\nu_1$ ตามลำดับ

วิธีการแก้ปัญหาของ Behrens และ Fisher ของ Behrens-Fisher เกี่ยวข้องกับการกระจาย Behrens-Fisher ด้วย $\theta$ ขึ้นอยู่กับข้อสังเกตเพราะมันเป็นวิธีหลอกแบบเบย์ (อันที่จริงแล้วเป็นคำตอบแบบ fiducial): การแจกแจงแบบพึ่งพาข้อมูลนี้เป็นการแจกแจงแบบหลัง $\tau$ (กับ $\delta$ ส่วนที่สุ่มเท่านั้นในคำจำกัดความของ $\tau$ เพราะข้อมูลได้รับการแก้ไข)