การถดถอยแบบมิติสูง: ทำไมพิเศษ?

ฉันพยายามอ่านงานวิจัยในเรื่องการถดถอยแบบมิติสูง เมื่อมีขนาดใหญ่กว่า , ที่อยู่,n ดูเหมือนว่าคำว่ามักปรากฏในรูปของอัตราการลู่เข้าสำหรับตัวประมาณค่าการถดถอย$p$$n$$p >> n$$\log p/n$

ตัวอย่างเช่นที่นี่สมการ (17) บอกว่ารูปทรงพอดีเชือกสอดคล้องกับ $\hat{\beta}$

ปกตินี้ยังแสดงให้เห็นว่า$\log p$ควรจะมีขนาดเล็กกว่าn$n$

1. มีสัญชาตญาณว่าทำไมอัตราส่วนของ$\log p/n$จึงโดดเด่นเช่นนี้?
2. นอกจากนี้ก็ดูเหมือนว่าจากวรรณกรรมปัญหาการถดถอยมิติสูงได้รับซับซ้อนเมื่อ$\log p \geq n$n ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น?
3. มีการอ้างอิงที่ดีที่กล่าวถึงปัญหาที่ว่า$p$และ$n$จะโตเร็วแค่ไหนเมื่อเปรียบเทียบกัน?

(ย้ายจากความคิดเห็นไปยังคำตอบตามที่ @Greenparker ร้องขอ)

ส่วนที่ 1)

คำว่ามาจากความเข้มข้นของการวัดแบบเกาส์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณมีตัวแปรสุ่มของ IID Gaussian [F1] ค่าสูงสุดของมันจะเรียงตามมีความน่าจะเป็นสูง$\sqrt{\log p}$$p$$\sigma\sqrt{\log p}$

ปัจจัยเพิ่งมาถึงความจริงที่ว่าคุณกำลังมองหาข้อผิดพลาดการคาดคะเนเฉลี่ย - นั่นคือตรงกับในอีกด้านหนึ่ง - หากคุณดูที่ข้อผิดพลาดทั้งหมดจะไม่อยู่ที่นั่น$n^{-1}$$n^{-1}$

ตอนที่ 2)

โดยพื้นฐานแล้วคุณมีสองกองกำลังที่คุณต้องควบคุม:

• i) คุณสมบัติที่ดีของการมีข้อมูลมากขึ้น (ดังนั้นเราต้องการให้มีขนาดใหญ่);$n$
• ii) ปัญหามีคุณสมบัติเพิ่มเติม (ไม่เกี่ยวข้อง) (ดังนั้นเราต้องการให้มีขนาดเล็ก)$p$

ในสถิติคลาสสิกเรามักจะแก้ไขและให้ไปที่อินฟินิตี้: ระบอบการปกครองนี้ไม่ได้มีประโยชน์สุดสำหรับทฤษฎีมิติสูงเพราะมันเป็น (asymptotically) ในระบอบการปกครองต่ำมิติโดยการก่อสร้าง$p$$n$

อีกวิธีหนึ่งเราสามารถปล่อยให้ไปที่อนันต์และคงอยู่ได้ แต่จากนั้นข้อผิดพลาดของเราก็จะระเบิดเพราะปัญหาจะกลายเป็นไปไม่ได้ ขึ้นอยู่กับปัญหาข้อผิดพลาดอาจไปไม่มีที่สิ้นสุดหรือหยุดที่ขอบเขตบนธรรมชาติบางอย่าง ( เช่นข้อผิดพลาดการแบ่งประเภท 100%)$p$$n$

เนื่องจากทั้งสองกรณีนี้ไม่มีประโยชน์เลยเราจึงพิจารณาทั้งสองจะไม่มีที่สิ้นสุดเพื่อให้ทฤษฎีของเรามีความเกี่ยวข้อง (อยู่ในมิติสูง) โดยไม่ต้องเป็นสันทราย (คุณสมบัติไม่มีที่สิ้นสุดข้อมูล จำกัด )$n, p$

การมี "ลูกบิด" สองอันโดยทั่วไปนั้นยากกว่าการมีปุ่มเดียวดังนั้นเราจึงแก้ไขสำหรับค่าคงที่และปล่อยให้ไปไม่มีที่สิ้นสุด (และจึงไปที่ไม่มีที่สิ้นสุดทางอ้อม) [F2] ตัวเลือกกำหนดพฤติกรรมของปัญหา สำหรับเหตุผลในคำตอบของฉันส่วน 1 ก็จะเปิดออกว่า "ความชั่วร้าย" จากคุณสมบัติพิเศษเพียงเติบโตเป็นขณะที่ "ความดี" จากข้อมูลพิเศษที่เติบโตขึ้นเป็นn$p=f(n)$$f$$n$$p$$f$$\log p$$n$

• ถ้าคงที่ (เท่ากัน,สำหรับ ), เราเหยียบน้ำและปัญหาคือการล้าง (ข้อผิดพลาดยังคงอยู่ที่ asymptotically);$\frac{\log p}{n}$$p=f(n)=Θ(C^n)$$C$
• ถ้า ( ) เราจะได้ศูนย์ข้อผิดพลาด asymptotically ศูนย์;$\frac{\log p}{n} \to 0$$p=o(C^n)$
• และถ้า ( ) ในที่สุดข้อผิดพลาดก็จะไม่มีที่สิ้นสุด$\frac{\log p}{n}→\infty$$p=\omega(C^n)$

ระบอบสุดท้ายนี้บางครั้งเรียกว่า "มิติสูงพิเศษ" ในวรรณคดี คำว่า "อัลตร้าสูงมิติ" ไม่มีคำจำกัดความที่เข้มงวดเท่าที่ฉันรู้ แต่มันเป็นเพียงแค่ "ทางการ" ระบอบที่ทำลายเชือกและตัวประมาณที่คล้ายกัน "

เราสามารถแสดงให้เห็นถึงสิ่งนี้ด้วยการศึกษาสถานการณ์จำลองขนาดเล็กภายใต้เงื่อนไขในอุดมคติ ที่นี่เราใช้แนวทางทฤษฎีในทางเลือกที่ดีที่สุดของจาก [BRT09] และเลือกn}$\lambda$$\lambda = 3 \sqrt{\log(p)/n}$

ก่อนพิจารณากรณีที่3n สิ่งนี้อยู่ในระบอบการปกครองมิติสูงที่เชื่อได้ซึ่งอธิบายไว้ข้างต้นและตามทฤษฎีคาดการณ์เราจะเห็นข้อผิดพลาดในการทำนายมารวมกันเป็นศูนย์:$p = f(n) = 3n$

รหัสที่จะทำซ้ำ:

library(glmnet)
library(ggplot2)

# Standard High-Dimensional Asymptotics: log(p) / n -> 0

N <- c(50, 100, 200, 400, 600, 800, 1000, 1100, 1200, 1300)
P <- 3 * N

ERROR_HD <- data.frame()

for(ix in seq_along(N)){
  n <- N[ix]
  p <- P[ix]

  PMSE <- replicate(20, {
    X <- matrix(rnorm(n * p), ncol=p)
    beta <- rep(0, p)
    beta[1:10] <- runif(10, 2, 3)
    y <- X %*% beta + rnorm(n)

    g <- glmnet(X, y)

    ## Cf. Theorem 7.2 of Bickel et al. AOS 37(4), p.1705-1732, 2009. 
    ## lambda ~ 2*\sqrt{2} * \sqrt{\log(p)/n} 
    ## is good scaling for controlling prediction error of the lasso
    err <- X %*% beta - predict(g, newx=X, s=3 * sqrt(log(p)/n))
    mean(err^2)
  })

  ERROR_HD <- rbind(ERROR_HD, data.frame(PMSE=PMSE, n=n, p=p))
}

ggplot(ERROR_HD, aes(x=n, y=PMSE)) + geom_point() + theme_bw() + 
xlab("Number of Samples (n)") + 
ylab("Mean Prediction Error (at observed design points)") + 
ggtitle("Prediction Error Converging to 0 under High-Dim Asymptotics") + 
scale_x_continuous(sec.axis = sec_axis(~ 3 * ., name="Number of Features (p)")) + 
scale_y_log10()

เราสามารถเปรียบเทียบสิ่งนี้กับกรณีที่อยู่ที่ค่าคงที่โดยประมาณ: ฉันเรียกสิ่งนี้ว่า "เส้นขอบ" ระบอบการปกครองมิติสูงพิเศษ "แต่นั่นไม่ใช่คำมาตรฐาน:$\frac{\log p}{n}$

P <- 10 + ceiling(exp(N/120))

ที่นี่เราจะเห็นว่าระดับความผิดพลาดในการคาดคะเน (ใช้การออกแบบเดียวกันกับด้านบน) แทนที่จะเป็นศูนย์ต่อไป

ถ้าเราตั้งค่าจะเติบโตได้เร็วกว่า ( เช่น , ) การเพิ่มขึ้นของข้อผิดพลาดการทำนายโดยไม่ต้องถูกผูกไว้ เหล่านี้เป็นอย่างน่าหัวเราะได้อย่างรวดเร็วและนำไปสู่ปัญหาใหญ่หลวง / ปัญหาตัวเลขดังนั้นนี่คือเล็กน้อยช้าลง แต่ยังคงตัวอย่าง UHD:$P$$e^n$$e^{n^2}$$e^{n^2}$

P <- 10 + ceiling(exp(N^(1.03)/120))

(ฉันใช้สุ่มแบบเบาบางสำหรับความเร็วดังนั้นอย่าพยายามเปรียบเทียบตัวเลขกับแปลงอื่น ๆ โดยตรง) มันยากที่จะเห็น uptick ใด ๆ ในกราฟนี้บางทีอาจเป็นเพราะเราทำให้ UHD เติบโตจากการเป็น "อัลตร้า" ใน ชื่อของเวลาการคำนวณ การใช้เลขชี้กำลังขนาดใหญ่กว่า (เช่น ) จะทำให้การเติบโตของซีมโทติคนั้นชัดเจนขึ้น$X$$e^{n^1.5}$

แม้จะมีสิ่งที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นและวิธีที่มันอาจปรากฏ แต่ระบอบการปกครองที่สูงมิติไม่ได้สิ้นหวังอย่างแท้จริง (แม้ว่ามันจะใกล้เคียง) แต่มันต้องการเทคนิคที่ซับซ้อนมากกว่าเพียงแค่ตัวแปรสุ่มแบบเกาส์เพื่อควบคุมข้อผิดพลาด จำเป็นต้องใช้เทคนิคที่ซับซ้อนเหล่านี้เป็นแหล่งที่มาของความซับซ้อนที่คุณทราบ

ไม่มีเหตุผลใดที่จะคิดว่าควรเติบโตด้วยกันในทางใดทางหนึ่ง ( กล่าวคือไม่มีเหตุผล "โลกแห่งความจริง" ที่ชัดเจนในการแก้ไข ) แต่โดยทั่วไปแล้วคณิตศาสตร์ขาดภาษาและเครื่องมือในการพูดคุย จำกัด ด้วยสอง "ดีกรีอิสระ" ดังนั้นจึงเป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่เราสามารถทำได้ (ตอนนี้!)$p, n$$p = f(n)$

ตอนที่ 3)

ฉันเกรงว่าฉันไม่รู้หนังสือในวรรณคดีเชิงสถิติที่เน้นการเติบโตของ vsอย่างชัดเจน (อาจมีบางอย่างในวรรณคดีการตรวจจับการบีบอัด)$\log p$$n$

การอ้างอิงที่ชื่นชอบในปัจจุบันของฉันสำหรับทฤษฎีประเภทนี้คือบทที่ 10 และ 11 ของการเรียนรู้ทางสถิติด้วย Sparsity [F3] แต่โดยทั่วไปจะใช้วิธีการพิจารณาคงที่และให้คุณสมบัติตัวอย่าง จำกัด (ไม่ใช่แบบอะซิมโทติค) " ผลลัพธ์. นี่เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น - เมื่อคุณได้ผลลัพธ์สำหรับ , มันง่ายที่จะพิจารณา asymptotics - แต่โดยทั่วไปผลลัพธ์เหล่านี้ยากที่จะหามาดังนั้นเราจึงมีเพียงตัวประมาณค่าแบบบ่วงบาศเท่าที่ฉัน ทราบ.$n, p$$n, p$

หากคุณรู้สึกสะดวกสบายและเต็มใจที่จะศึกษางานวิจัยฉันจะดูผลงานของ Jianqing Fan และ Jinchi Lv ผู้ซึ่งเคยทำงานพื้นฐานส่วนใหญ่เกี่ยวกับปัญหามิติสูงพิเศษ ("การคัดกรอง" เป็นคำที่ดีสำหรับการค้นหา)

[F1] ที่จริงแล้วตัวแปรสุ่มแบบsubgaussianใด ๆแต่นี่ไม่ได้เพิ่มสิ่งนี้ในการสนทนานี้มากนัก

[F2] นอกจากนี้เรายังอาจตั้ง sparsity "true"ขึ้นอยู่กับ ( ) แต่ที่ไม่เปลี่ยนสิ่งที่มากเกินไป$s$$n$$s = g(n)$

[F3] T. Hastie, R. Tibshirani และ M. Wainwright การเรียนรู้ทางสถิติด้วย Sparsity เอกสารเกี่ยวกับสถิติและความน่าจะเป็นประยุกต์ 143 CRC Press, 2015 ดาวน์โหลดได้ฟรีที่https://web.stanford.edu/~hastie/StatLearnSparsity_files/SLS.pdf

[BRT] Peter J. Bickel, Ya'acov Ritov และ Alexandre B. Tsybakov "การวิเคราะห์พร้อมกันของ Lasso และ Dantzig Selector" บันทึกสถิติ 37 (4), p. 1705-1732, 2009 http://dx.doi.org/10.1214/08-AOS620