ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยแบบโลจิสติกแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลแตกต่างจากอัตราต่อรอง

ดังที่ฉันเข้าใจแล้วค่าเบต้าที่ยกกำลังจากการถดถอยโลจิสติกคืออัตราส่วนอัตราต่อรองของตัวแปรนั้นสำหรับตัวแปรตามความสนใจ อย่างไรก็ตามค่าไม่ตรงกับอัตราส่วนอัตราต่อรองที่คำนวณด้วยตนเอง แบบจำลองของฉันกำลังทำนายการสตัน (ตัวชี้วัดการขาดสารอาหาร) โดยใช้ตัวชี้วัดอื่น ๆ ในการประกัน

// Odds ratio from LR, being done in stata
logit stunting insurance age ... etc. 
or_insurance = exp(beta_value_insurance)

// Odds ratio, manually calculated
odds_stunted_insured = num_stunted_ins/num_not_stunted_ins
odds_stunted_unins = num_stunted_unins/num_not_stunted_unins
odds_ratio = odds_stunted_ins/odds_stunted_unins

เหตุผลทางความคิดสำหรับค่าเหล่านี้แตกต่างกันอย่างไร การควบคุมปัจจัยอื่น ๆ ในการถดถอยหรือไม่? เพียงแค่ต้องการที่จะสามารถอธิบายความแตกต่าง

หากคุณกำลังวางเดียวที่ทำนายคนเดียวในรูปแบบแล้วอัตราส่วนราคาต่อรองระหว่างทำนายและการตอบสนองจะตรงเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์การถดถอย exponentiated ฉันไม่คิดว่าจะได้รับผลลัพธ์นี้ในเว็บไซต์ดังนั้นฉันจะใช้โอกาสนี้ในการจัดหา

---

พิจารณาผลลัพธ์ไบนารีและตัวทำนายไบนารีคู่เดียวX :$Y$$X$

$$\begin{array}{c|cc} \phantom{} & Y = 1 & Y = 0 \\ \hline X=1 & p_{11} & p_{10} \\ X=0 & p_{01} & p_{00} \\ \end{array}$$

จากนั้นวิธีหนึ่งในการคำนวณอัตราต่อรองระหว่างและY iคือ$X_i$$Y_i$

$${\rm OR} = \frac{ p_{11} p_{00} }{p_{01} p_{10}}$$

ตามคำนิยามของความน่าจะเป็นเงื่อนไข ) ในอัตราส่วนเขาจะลดความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับXยกเลิกและคุณสามารถเขียนอัตราต่อรองในแง่ของความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขของY | X :$p_{ij} = P(Y = i | X = j) \cdot P(X = j)$$X$$Y|X$

$${\rm OR} = \frac{ P(Y = 1| X = 1) }{P(Y = 0 | X = 1)} \cdot \frac{ P(Y = 0 | X = 0) }{ P(Y = 1 | X = 0)}$$

ในการถดถอยโลจิสติกคุณจำลองความน่าจะเป็นเหล่านี้โดยตรง:

$$\log \left( \frac{ P(Y_i = 1|X_i) }{ P(Y_i = 0|X_i) } \right) = \beta_0 + \beta_1 X_i$$

ดังนั้นเราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเหล่านี้ได้โดยตรงจากตัวแบบ อัตราส่วนแรกในนิพจน์สำหรับด้านบนคือ:${\rm OR}$

$$\frac{ P(Y_i = 1| X_i = 1) }{P(Y_i = 0 | X_i = 1)} = \frac{ \left( \frac{1}{1 + e^{-(\beta_0+\beta_1)}} \right) } {\left( \frac{e^{-(\beta_0+\beta_1)}}{1 + e^{-(\beta_0+\beta_1)}}\right)} = \frac{1}{e^{-(\beta_0+\beta_1)}} = e^{(\beta_0+\beta_1)}$$

และที่สองคือ:

$$\frac{ P(Y_i = 0| X_i = 0) }{P(Y_i = 1 | X_i = 0)} = \frac{ \left( \frac{e^{-\beta_0}}{1 + e^{-\beta_0}} \right) } { \left( \frac{1}{1 + e^{-\beta_0}} \right) } = e^{-\beta_0}$$

${\rm OR} = e^{(\beta_0+\beta_1)} \cdot e^{-\beta_0} = e^{\beta_1}$

$Z_1, ..., Z_p$

$$\frac{ P(Y = 1| X = 1, Z_1, ..., Z_p) }{P(Y = 0 | X = 1, Z_1, ..., Z_p)} \cdot \frac{ P(Y = 0 | X = 0, Z_1, ..., Z_p) }{ P(Y = 1 | X = 0, Z_1, ..., Z_p)}$$

ดังนั้นมันคืออัตราส่วนอัตราต่อรองที่มีเงื่อนไขกับค่าของตัวทำนายอื่น ๆ ในแบบจำลองและโดยทั่วไปไม่เท่ากับ

$$\frac{ P(Y = 1| X = 1) }{P(Y = 0 | X = 1)} \cdot \frac{ P(Y = 0 | X = 0) }{ P(Y = 1 | X = 0)}$$

ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่คุณสังเกตความแตกต่างระหว่างค่าสัมประสิทธิ์เลขยกกำลังและอัตราส่วนอัตราต่อรองที่สังเกตได้

$\beta$

$\exp(\beta)$

$\mu$ในแบบจำลองของคุณ แต่ยังมีปัญหาหากความสัมพันธ์ที่แท้จริงแตกต่างกันไปตามระดับของ covariate อื่น แต่ไม่รวมคำที่มีปฏิสัมพันธ์เช่น) เมื่อเราได้กำหนดไว้แล้วว่ามันมีความหมายในการคำนวณอัตราส่วนอัตราต่อรองโดย exponentiating เบต้าจาก แบบจำลองการถดถอยโลจิสติกส์เราสามารถถามคำถามว่าอัตราส่วนอัตราต่อรองตามโมเดลและส่วนต่างจะแตกต่างกันเมื่อใดและคุณควรเลือกแบบไหนเมื่อพวกเขาทำ

$0/1$$r\ne0$$\exp(\beta)$

หากขอบเขตหรือและโมเดลตาม OR แตกต่างกันคุณควรใช้ / ตีความเวอร์ชันตามโมเดล เหตุผลก็คือว่าชายขอบหรือไม่ได้บัญชีสำหรับความสับสนในหมู่เพื่อนร่วมทุนของคุณในขณะที่รูปแบบไม่ ปรากฏการณ์นี้เกี่ยวข้องกับSimpson's Paradoxซึ่งคุณอาจต้องการอ่านเกี่ยวกับ (SEP ยังมีรายการที่ดีมีการสนทนาเกี่ยวกับประวัติย่อที่นี่: Basic-simpson's-paradoxและคุณสามารถค้นหาแท็กSimpsons-paradoxของ CV ได้ เพื่อความเรียบง่ายและใช้งานได้จริงคุณอาจต้องการใช้รุ่นที่ใช้ OR เท่านั้นเพราะมันจะเป็นที่นิยมมากกว่าหรือเหมือนกัน