คุณสมบัติของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง

หลักสูตรสถิติของฉันเพิ่งสอนฉันว่าตัวแปรสุ่มแบบแยกนั้นมีตัวเลือกจำนวนจำกัด ... ฉันไม่ได้ตระหนักถึงสิ่งนั้น ฉันคิดว่าคงมีจำนวนเต็มเป็นจำนวนอนันต์ Google และการตรวจสอบหน้าเว็บหลายหน้ารวมถึงบางส่วนจากหลักสูตรมหาวิทยาลัยไม่สามารถยืนยันได้โดยเฉพาะ อย่างไรก็ตามไซต์ส่วนใหญ่บอกว่าตัวแปรสุ่มแยกนั้นนับได้ - ฉันคิดว่านั่นหมายถึงการกำหนดหมายเลขอย่างถูกต้องหรือไม่

เป็นที่ชัดเจนว่าตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องไม่มีที่สิ้นสุดแม้ว่า (ส่วนใหญ่?) มักจะถูก จำกัด ขอบเขต

แต่ถ้าตัวแปรสุ่มแบบแยกนั้นมีความเป็นไปได้ที่แน่นอนแล้วการกระจายตัวของจำนวนเต็มที่ไม่สิ้นสุดคืออะไร? มันไม่ต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่อง? คำถามที่พบบ่อยนั้นเป็นเพราะตัวแปรมีแนวโน้มที่จะต่อเนื่อง & (ตามคำนิยาม) ไม่สิ้นสุดหรือไม่ต่อเนื่อง & จำกัด

ถ้านั่นคือสิ่งที่หลักสูตรของคุณพูดมันผิด

ในขณะที่การกระจายแบบไม่ต่อเนื่องสามารถมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จำนวน จำกัด แต่ไม่จำเป็นต้อง; คุณสามารถมีการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องที่มีจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ไม่ จำกัด จำนวนองค์ประกอบควรไม่เกินกว่าที่นับได้

ตัวอย่างทั่วไปคือการแจกแจงเชิงเรขาคณิต พิจารณาจำนวนการโยนเหรียญที่ยุติธรรมจนกว่าคุณจะได้รับหัว ไม่มีขอบเขตที่แน่นอนบนจำนวนของการโยนที่อาจจำเป็น อาจใช้เวลา 1 โยนหรือ 2 หรือ 3 หรือ 100 หรือหมายเลขอื่น ๆ

การกระจายแบบไม่ต่อเนื่องอาจเป็นค่าลบ (พิจารณาความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มสองตัวแปรที่กระจายแบบเรขาคณิตเช่นนั้นอาจเป็นจำนวนเต็มบวกหรือลบก็ได้)

การกระจายแบบไม่ต่อเนื่องไม่จำเป็นต้องมากกว่าจำนวนเต็มเหมือนในตัวอย่างของฉัน นั่นเป็นเพียงสถานการณ์ทั่วไปไม่ใช่ข้อกำหนด

ฉันกำลังเขียนคำตอบด้วยมุมมองที่ฉันมีเพียงความเข้าใจที่ไร้เดียงสามากเกี่ยวกับความน่าจะเป็นในการวัดตามทฤษฎี (ดังนั้นผู้เชี่ยวชาญโปรดแก้ไขฉันด้วย!)

ตัวแปรสุ่ม (มูลค่าจริง) เป็นฟังก์ชันโดยที่Sคือพื้นที่ตัวอย่าง$X: S \to \mathbb{R}$$S$

จะไม่ต่อเนื่องหาก X ( S )ซึ่งเป็นภาพของ S ที่เกิดจาก Xนั้นนับได้ Xอย่างต่อเนื่องถ้า XมีCDF อย่างต่อเนื่องแน่นอน (ฉันไม่รู้มากเกี่ยวกับฟังก์ชั่นต่อเนื่องดังนั้นฉันจึงไม่สามารถอธิบายรายละเอียดได้ในจุดนี้)$X$$X(S)$$S$$X$$X$$X$

อย่างไรก็ตามตัวแปรสุ่มทั้งหมดไม่ได้เป็นแบบแยกหรือแบบต่อเนื่อง มีตัวแปรสุ่ม "ผสม" ที่มี CDF ซึ่งเป็นผลรวมของฟังก์ชันขั้นตอนและฟังก์ชันต่อเนื่องพร้อมตัวบ่งชี้$X(s)$

นอกจากนี้คุณยังสามารถมีตัวแปรสุ่มที่มีค่าต่อเนื่องมิได้อย่างต่อเนื่องเช่นการกระจายต้นเสียง

หากต้องการอ้างอิงหน้าวิกิพีเดียเกี่ยวกับตัวแปรแบบต่อเนื่องและแบบแยก :

ถ้ามัน [ตัวแปร] สามารถรับค่าจริงสองค่าเช่นนั้นก็สามารถรับค่าจริงทั้งหมดระหว่างพวกเขา (แม้ค่าที่อยู่ใกล้กันโดยพลการ) ค่าตัวแปรนั้นจะต่อเนื่องในช่วงเวลานั้น

ดังนั้นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องจึงไม่จำเป็นต้องมี 'ตัวเลือกจำนวน จำกัด ' แต่จำเป็นต้องมีช่องว่างแบบไม่ จำกัด ระหว่างค่าที่เป็นไปได้ นี่เป็นกรณีที่มีการแจกแจงของจำนวนเต็มตั้งแต่ 'ระยะทาง' ระหว่างจำนวนเต็มสองตัวที่อยู่ใกล้เคียงคือ 1 และต้องไม่น้อยกว่านี้ ดังนั้นตัวแปรจึงไม่ต่อเนื่องเนื่องจากไม่ได้ 'ดำเนินการต่อ' ภายในช่องว่างเหล่านี้

แก้ไข: ฉันรู้ว่าอาจมีวิธีที่ดีกว่าและ / หรือแม่นยำกว่าในการตอบคำถามนี้ แต่นี่คือสิ่งที่ช่วยให้ฉันเข้าใจความแตกต่างเป็นการส่วนตัว