เราสามารถปฏิเสธสมมติฐานว่างที่มีช่วงความมั่นใจที่เกิดจากการสุ่มตัวอย่างมากกว่าสมมติฐานว่างได้หรือไม่?

ฉันได้รับการสอนว่าเราสามารถสร้างการประมาณค่าพารามิเตอร์ในรูปแบบของช่วงความมั่นใจหลังจากการสุ่มตัวอย่างจากประชากร ตัวอย่างเช่นช่วงความเชื่อมั่น 95% ที่ไม่มีการละเมิดสมมติฐานควรมีอัตราความสำเร็จ 95% ของการบรรจุสิ่งที่พารามิเตอร์จริงที่เราประเมินอยู่ในประชากร

กล่าวคือ

1. สร้างการประมาณจุดจากตัวอย่าง
2. สร้างช่วงของค่าที่ในทางทฤษฎีมีโอกาส 95% ในการเก็บค่าจริงที่เราพยายามประเมิน

อย่างไรก็ตามเมื่อหัวข้อได้เปลี่ยนเป็นการทดสอบสมมติฐานขั้นตอนต่าง ๆ ได้อธิบายไว้ดังต่อไปนี้:

1. สมมติว่าพารามิเตอร์บางตัวเป็นสมมติฐานว่าง
2. สร้างการแจกแจงความน่าจะเป็นของความน่าจะเป็นที่จะได้รับการประเมินจุดต่าง ๆ เนื่องจากสมมติฐานว่างนี้เป็นจริง
3. ปฏิเสธสมมติฐานว่างถ้าจุดประเมินที่เราได้รับนั้นจะเกิดขึ้นน้อยกว่า 5% ของเวลาถ้าสมมุติฐานว่างเป็นจริง

คำถามของฉันคือ:

จำเป็นหรือไม่ที่จะต้องสร้างช่วงความเชื่อมั่นของเราโดยใช้สมมติฐานว่างเพื่อปฏิเสธค่าว่าง? ทำไมไม่เพียงแค่ทำขั้นตอนแรกและรับค่าประมาณของพารามิเตอร์จริง (ไม่ได้ใช้ค่าที่เราตั้งสมมติฐานไว้ในการคำนวณช่วงความเชื่อมั่น) แล้วปฏิเสธสมมติฐานว่างถ้ามันไม่ได้อยู่ในช่วงนี้?

ดูเหมือนว่าจะมีเหตุผลเทียบเท่ากับฉันอย่างสังหรณ์ใจ แต่ฉันกลัวว่าฉันขาดอะไรบางอย่างที่เป็นพื้นฐานเพราะอาจมีเหตุผลที่สอนวิธีนี้

ปัญหาที่ง่ายโดยวิธีการเช่นจะได้รับจากการทดสอบค่าเฉลี่ยของประชากรปกติที่มีความแปรปรวนที่รู้จักกัน 1 จากนั้นหมุน - ปริมาณที่มีการกระจายตัวไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์จะได้รับจากn) ค่าวิกฤตตอบสนองในกรณีที่สมมาตรนี้และ 2$\sigma^2=1$$\bar{Y}-\mu\sim N(0,1/n)$$z_{\alpha/2}$$\Phi(-z_{\alpha/2})=\alpha/2$$\Phi(z_{\alpha/2})=1-\alpha/2$

ดังนั้น ดังนั้น เป็นช่วงความเชื่อมั่นระดับ1-

$$\begin{eqnarray*} 1-\alpha&=&\Pr\{(\bar{X}-\mu)/(1/\sqrt{n})\in(-z_{\alpha/2},z_{\alpha/2})\}\\ &=&\Pr\{-z_{\alpha/2}\leqslant(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}\leqslant z_{\alpha/2}\}\\ &=&\Pr\{z_{\alpha/2}\geqslant(\mu-\bar{X})\sqrt{n}\geqslant -z_{\alpha/2}\}\\ &=&\Pr\{-z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\leqslant\mu-\bar{X}\leqslant z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\}\\ &=&\Pr\{\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\leqslant\mu\leqslant \bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\}\\ &=&\Pr\{(\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n},\bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n})\ni\mu\} \end{eqnarray*}$$ $$(\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n},\bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n})$$ $1-\alpha$

ในเวลาเดียวกันเหตุการณ์ในบรรทัดแรกของจอแสดงผลก็เป็นเหตุการณ์ที่สมมติฐานที่ไม่ได้ถูกปฏิเสธสำหรับนี้ เนื่องจากส่วนที่เหลือมีเพียงการปฏิรูปที่เทียบเท่ากัน ci จึงมีทั้งหมดซึ่งไม่ได้รับการปฏิเสธและไม่มีการอ้างอิงถึง "ภายใต้ค่า null"$\mu$$\mu$

นี่คือพล็อตที่คล้ายคลึงกับการสร้างภาพ +1 ของ Martijn โดยมีจุดประสงค์เพื่อแสดงสิ่งที่เป็นที่รู้จักกันในชื่อความเป็นคู่ระหว่างช่วงความมั่นใจและการทดสอบ หมายถึงช่วงความเชื่อมั่นที่อยู่ในบางและภูมิภาคได้รับการยอมรับที่เป็นสมมติฐานบาง\$C$$\bar{x}^*$$A(\mu_0)$$\mu=\mu_0$

ใช่คุณสามารถแทนที่การทดสอบสมมติฐาน (เปรียบเทียบตัวอย่างกับการกระจายตัวของผลลัพธ์ทดสอบ) โดยการเปรียบเทียบกับช่วงความมั่นใจที่คำนวณจากตัวอย่าง แต่ทางอ้อมช่วงความเชื่อมั่นนั้นเป็นการทดสอบสมมติฐานอยู่แล้วเช่น:

• คุณอาจเห็นช่วงความเชื่อมั่นที่ถูกสร้างขึ้นเป็นช่วงของค่าซึ่งการทดสอบสมมติฐานระดับระดับจะประสบความสำเร็จ$\alpha$และอยู่นอกช่วงที่การทดสอบสมมติฐานระดับระดับจะล้มเหลว$\alpha$

ผลที่ตามมาของการทำช่วงดังกล่าวก็คือช่วงที่ไม่เพียงเศษส่วนของเวลา$\alpha$

ตัวอย่าง

ฉันใช้รูปภาพจากคำตอบของคำถามด้านล่าง: ช่วงเวลาความเชื่อมั่น: วิธีจัดการกับ$P(L(\textbf{X}) \leq \theta, U(\textbf{X})\geq\theta) = 1-\alpha$

มันเป็นรูปแบบของกราฟจากClopper เพียร์สัน ลองจินตนาการถึงกรณีของ 100 การทดลอง Bernoulli ที่น่าจะเป็นของความสำเร็จคือและเราสังเกตจำนวนรวมของความสำเร็จX$\theta$$X$

โปรดทราบว่า:

• ในแนวตั้งคุณจะเห็นการทดสอบสมมติฐาน เช่นสำหรับค่าที่ตั้งสมมติฐานคุณจะปฏิเสธสมมติฐานถ้าค่าวัดได้นั้นสูงกว่าหรือต่ำกว่าเส้นประสีแดงหรือสีเขียว$\theta$$X$

• ในทิศทางแนวนอนคุณจะเห็นช่วงความมั่นใจ Clopper-Pearson หากการสังเกต X ใด ๆ ที่คุณใช้ช่วงความมั่นใจเหล่านี้คุณจะผิดเพียง 5% ของเวลา

  (เพราะคุณจะสังเกต X เช่นนั้นซึ่งคุณใช้ช่วงเวลา 'ผิดปกติ' 5% ของเวลา)