ใครสามารถอธิบายแนวคิดของ 'การแลกเปลี่ยน' ได้บ้าง

ฉันเห็นแนวคิดของ 'การแลกเปลี่ยนได้' ที่ใช้ในบริบทต่าง ๆ (เช่นตัวแบบเบย์) แต่ฉันไม่เคยเข้าใจคำศัพท์นี้ดีนัก

1. แนวคิดนี้มีความหมายว่าอย่างไร?

2. แนวคิดนี้ถูกเรียกใช้ในสถานการณ์ใดและเพราะเหตุใด

ความสามารถในการแลกเปลี่ยนหมายถึงการจับภาพสมมาตรในปัญหาสมมาตรในแง่ที่ไม่ต้องการความเป็นอิสระ เป็นทางการลำดับสามารถแลกเปลี่ยนได้หากการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมของมันเป็นฟังก์ชันสมมาตรของอาร์กิวเมนต์ของมัน โดยสังหรณ์ใจหมายความว่าเราสามารถสลับไปมาหรือจัดลำดับใหม่ตัวแปรตามลำดับโดยไม่ต้องเปลี่ยนการกระจายข้อต่อ ตัวอย่างเช่นทุกลำดับ IID (อิสระกระจายเหมือนกัน) สามารถแลกเปลี่ยนได้ - แต่ไม่ใช่วิธีอื่น ๆ ทุกลำดับที่แลกเปลี่ยนได้มีการกระจายเหมือนกัน$n$

ลองนึกภาพโต๊ะที่มีโกศพวงอยู่ด้านบนแต่ละอันมีสัดส่วนของลูกบอลสีแดงและสีเขียวต่างกัน เราเลือกโกศที่สุ่ม (ตามการกระจายก่อนหน้านี้บางส่วน) จากนั้นนำตัวอย่าง (โดยไม่มีการแทนที่) จากโกศที่เลือก

โปรดทราบว่าสีแดงและสีเขียวที่เราสังเกตไม่เป็นอิสระ และอาจไม่ใช่เรื่องแปลกที่จะเรียนรู้ว่าลำดับของสีแดงและสีเขียวที่เราสังเกตเห็นนั้นเป็นลำดับที่แลกเปลี่ยนได้ สิ่งที่เป็นอาจจะน่าแปลกใจคือว่าทุกลำดับแลกเปลี่ยนสามารถคิดวิธีนี้เป็นทางเลือกที่เหมาะสมโกศและการจัดจำหน่ายก่อน (ดู Diaconis / Freedman (1980) "ลำดับที่แลกเปลี่ยนได้อย่าง จำกัด ", Ann. Prob.)

แนวคิดนี้ถูกเรียกใช้ในทุกสถานที่และเป็นประโยชน์อย่างยิ่งในบริบทของ Bayesian เพราะในการตั้งค่าเหล่านั้นเรามีการแจกแจงก่อนหน้า (ความรู้ของเราเกี่ยวกับการกระจายของโกศบนโต๊ะ) และเรามีโอกาสวิ่งไปรอบ ๆ แสดงให้เห็นถึงขั้นตอนการสุ่มตัวอย่างจากที่กำหนดถาวรโกศ) เราสังเกตลำดับของสีแดงและสีเขียว (ข้อมูล) และใช้ข้อมูลนั้นเพื่ออัปเดตความเชื่อของเราเกี่ยวกับโกศโดยเฉพาะในมือของเรา (เช่นหลังของเรา) หรือโดยทั่วไปคือโกศบนโต๊ะ

ตัวแปรสุ่มที่แลกเปลี่ยนได้นั้นยอดเยี่ยมโดยเฉพาะอย่างยิ่งเพราะถ้าเรามีพวกมันมากมายเหลือเกินเราก็มีเครื่องจักรทางคณิตศาสตร์ที่ปลายนิ้วของเราไม่ใช่อย่างน้อยซึ่งเป็นทฤษฎีบทของเดอฟินเนตติ ดู Wikipedia สำหรับการแนะนำ