ความเป็นอิสระของสถิติจากการแจกแจงแกมม่า

ให้เป็นตัวอย่างที่สุ่มจากการกระจายรังสีแกมมาขวา)$X_1,...,X_n$$\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)$

ให้และS ^ 2เป็นค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนตัวอย่างตามลำดับ$\bar{X}$$S^2$

จากนั้นพิสูจน์หรือพิสูจน์ว่า$\bar{X}$และ$S^2/\bar{X}^2$นั้นเป็นอิสระ

---

ความพยายามของฉัน: ตั้งแต่$S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2$เราต้องตรวจสอบความเป็นอิสระของ$\bar{X}$และ$\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}$ , แต่ฉันจะสร้างความเป็นอิสระระหว่างพวกเขาได้อย่างไร?

มีการสาธิตที่น่ารักเรียบง่ายและชัดเจนสำหรับอินทิกรั$\alpha.$ มันอาศัยเพียงคุณสมบัติที่รู้จักกันดีของการกระจายแบบสม่ำเสมอการแจกแจงแกมม่ากระบวนการปัวซองและตัวแปรสุ่มและไปเช่นนี้:

1. แต่ละคือเวลารอจนกระทั่ง points ของกระบวนการปัวซองเกิดขึ้น$X_i$$\alpha$

2. ผลรวมจึงเป็นเวลารอจนกระทั่ง points ของกระบวนการนั้นเกิดขึ้น เรียกจุดเหล่านี้ว่า$Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$$n\alpha$$Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n\alpha}.$

3. เงื่อนไขในจุดแรกมีการกระจายอย่างเป็นอิสระระหว่างและ$Y$$n\alpha-1$$0$$Y.$

4. ดังนั้นอัตราส่วนมีการกระจายอย่างเท่าเทียมกันอย่างอิสระระหว่างและ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการแจกแจงของพวกเขาไม่ขึ้นอยู่กับ$Z_i/Y,\ i=1,2,\ldots, n\alpha-1$$0$$1.$$Y.$

5. ดังนั้นฟังก์ชันใด ๆ ที่วัดได้ของจึงไม่ขึ้นกับ$Z_i/Y$$Y.$

6. ในบรรดาฟังก์ชันดังกล่าวคือ (โดยที่วงเล็บแสดงถึงสถิติการสั่งซื้อของ )

   $$\eqalign{X_1/Y &= Z_{[\alpha]}/Y\\ X_2/Y &= Z_{[2\alpha]}/Y - Z_{[\alpha]}/Y\\ \ldots\\ X_{n-1}/Y &= Z_{[(n-1)\alpha]}/Y - Z_{[(n-2)\alpha]}/Y\\ X_n/Y &= 1 - Z_{[(n-1)\alpha]}/Y}$$ $[]$$Z_i$

ณ จุดนี้เพียงสังเกตว่าสามารถเขียนได้อย่างชัดเจนว่าเป็นฟังก์ชั่น (วัดได้) ของและดังนั้นจึงเป็นอิสระจาก$S^2/\bar X^2$$X_i/Y$$\bar X = Y/n.$

คุณต้องการพิสูจน์ว่าค่าเฉลี่ยและ rv.s นั้นมีความเป็นอิสระหรือเท่ากับว่า sum และอัตราส่วนคือ อิสระ. เราสามารถพิสูจน์ผลเล็กน้อยทั่วไปมากขึ้นโดยสมมติว่ามีรูปร่างที่แตกต่างกันอาจจะเป็นแต่ระดับเดียวกันซึ่งสามารถสันนิษฐานว่าจะเป็น1$\bar{X}$$n$$X_i/\bar{X}$$U := \sum X_i$$n$$W_i := X_i / U$$X_i$$\alpha_i$$\beta>0$$\beta = 1$

พิจารณาการแปลง Laplace ร่วมของและ นั่นคือ สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าอินทิกรัลแบบ -dimensional เหนือ โดยที่ค่าคงที่สัมพันธ์กับถ้าเราแนะนำตัวแปรใหม่ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัลโดยการตั้งค่า $U$$\mathbf{W}=[W_i]_{i=1}^n$

$$\psi(t,\,\mathbf{z}) := \text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}\} = \text{E}\left\{ \exp\left[-t \sum_i X_i - \sum_i z_i \,\frac{X_i}{U} \right] \right\}$$ $n$$(0, \infty)^n$
$$%% \psi(t,\,\mathbf{z} = \text{Cst} \, \int \exp \left[- (1 + t)(x_1 + \dots + x_n) - \frac{z_1 x_1 + \dots + z_n x_n}{x_1 + \dots + x_n} \right] \, x_1 ^{\alpha_1 - 1} \dots \, x_n^{\alpha_n - 1} \text{d}\mathbf{x}$$ $\mathbf{x}$$\mathbf{y} := (1 + t)\, \mathbf{x}$เราจะเห็นได้อย่างง่ายดายว่าอินทิกรัลสามารถเขียนเป็นผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชันขึ้นอยู่กับอีกอันหนึ่งขึ้นอยู่กับเวกเตอร์ . นี่เป็นการพิสูจน์ว่าและเป็นอิสระ$t$$\mathbf{z}$$U$$\mathbf{W}$

คำปฏิเสธ คำถามนี้เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบท Lukacs' อิสระสัดส่วนผลรวมจึงยังบทความโดยยูจีน Lukacs ลักษณะของการกระจายรังสี ฉันเพิ่งแยกส่วนที่เกี่ยวข้องของบทความนี้ (คือหน้า 324) ที่มีการเปลี่ยนแปลงบางอย่างในสัญกรณ์ ฉันได้แทนที่การใช้ฟังก์ชั่นลักษณะโดยการแปลง Laplace เพื่อหลีกเลี่ยงการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน

Letx_i โปรดทราบว่าเป็นสถิติเสริมของคือการกระจายของมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับ\$U=\sum_i X_i$$(X_i /U)_i$$\beta$$\beta$

เนื่องจากเป็นสถิติที่สมบูรณ์เพียงพอของจึงเป็นอิสระต่อโดยทฤษฎีบทของ Basu ดังนั้นข้อสรุปดังต่อไปนี้$U$$\beta$$(X_i /U)_i$

ผมไม่แน่ใจว่าในการก่อสร้างของสถิติเสริมเพราะมันเป็นเพียงอิสระจากไม่\$\beta$$\alpha$