สร้างเสียงที่สม่ำเสมอจากลูกบอล p-norm (

ฉันพยายามเขียนฟังก์ชั่นที่สร้างเสียงที่กระจายอย่างสม่ำเสมอซึ่งมาจากลูก p-norm ของมิติ : $n$

| | x | |_{พี} \leq R

$\begin{equation} ||x||_p \leq r \end{equation}$

ผมพบว่าการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สำหรับวงการ ( ) ( http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html ) แต่ฉันมีปัญหาในการขยายนี้สำหรับค่าที่แตกต่างกันของพี $p = 2$ $p$

ฉันได้ลองทำโดยเพียงแค่สุ่มตัวอย่างจากการแจกแจงแบบเดียวกันและวาดใหม่เมื่อไม่เป็นไปตามข้อ จำกัด ที่กำหนด อย่างไรก็ตามนอกจากจะเป็นวิธีการแก้ปัญหาที่น่าเกลียดมันยังกลายเป็นไปไม่ได้ที่คำนวณได้สำหรับมิติสูง

simulation noise

— Taeke de Haan
แหล่งที่มา

คำตอบสามารถพบได้ที่นี่สำหรับทรงกลมที่มีขนาด n โดยใช้ระยะทางแบบยุคลิด (p = 2) math.stackexchange.com/questions/87230/ ...... ฉันยังคงไม่แน่ใจว่าจะใช้สิ่งนี้อย่างไรกับ p-norms ที่แตกต่างกันฉันสามารถ เพียงแค่เปลี่ยนระยะทางแบบยุคลิดที่ใช้ในความสัมพันธ์ที่แตกต่างกันสำหรับระยะทาง?

— Taeke de Haan

มีเอกสารจำนวนมาก แต่ส่วนใหญ่อยู่เบื้องหลัง paywall: link.springer.com/article/10.1007/s00184-011-0360-x หรือดู google.com/th

— kjetil b halvorsen

"ชุดรูปแบบ" เกี่ยวกับเมตริกปริมาณใดบ้าง ท้ายที่สุดถ้าคุณใช้

ball ทำไมปริมาณยูคลิดจึงน่าสนใจ

p

$p$

— whuber

@ คนที่ฉันไม่แน่ใจโดยสุจริตเนื่องจากนี่ไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจนในการมอบหมาย แต่ฉันคาดหวังใน p-norm เนื่องจากการวัดอื่น ๆ ดูเหมือนว่าจะเป็นไปตามอำเภอใจในกรณีนี้

— Taeke de Haan

ปัญหามาจากการมอบหมายการเรียนรู้ของเครื่อง "ปัญหาคือปัญหาการจำแนกประเภทสองระดับใน 204 มิติชุดฝึกอบรมขนาดเล็กที่มีข้อความขนาด 50 ตัวอย่างต่อชั้นข้อมูลที่ไม่มีป้ายกำกับให้ตัวอย่างเพิ่มเติม 20,000 ตัวอย่างอย่างไรก็ตามตัวอย่างเหล่านี้มีความเสียหายบางประเภท เฉพาะข้อมูลเพิ่มเติมที่เรามีเกี่ยวกับการคอร์รัปชั่นนี้คือมันเป็นเสียงเพิ่มเติมที่เหมือนกันและเสียงดังมาจากลูกบอล p-norm แบบคงที่

ซึ่งทั้ง

และรัศมี

ไม่เป็นที่รู้จัก " ฉันต้องได้รับอัตราความผิดพลาดต่ำที่สุดในข้อมูลที่ไม่มีป้ายกำกับ

| | x | |_{p} \leq r

$||x||_p \leq r$

p

$p$

r

$r$

— Taeke de Haan

คำตอบ:

ฉันพบวิธีแก้ปัญหาแบบเต็มในกระดาษตามที่แนะนำโดย kjetil b halvorsen ( https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=758215 ) ฉันมีปัญหาในการทำความเข้าใจเกี่ยวกับคณิตศาสตร์โดยสุจริต แต่อัลกอริทึมในที่สุดก็ค่อนข้างง่าย ถ้าเรามีขนาด , รัศมีและ norm กว่า: $n$ $r$ $p$

1) สร้างสเกลาร์จริงแบบสุ่มอิสระโดยที่คือการแจกแจงแบบเกาส์ทั่วไป (มีอำนาจที่แตกต่างกันในแทน ของเพียง ) $n$ $\varepsilon_i = \bar{G}(1/p, p)$ $\bar{G}(\mu, \sigma^2)$ $e^{−|x|^p}$ $p=2$

2) สร้างเวกเตอร์ของส่วนประกอบโดยที่เป็นสัญญาณสุ่มอิสระ $x$ $s_i * \varepsilon_i$ $s_i$

3) สร้างโดยที่คือตัวแปรสุ่มที่กระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา [0, 1] $z = w^{1/n}$ $w$

4) ผลตอบแทน $y = r z \frac{x}{||x||_p}$

— Taeke de Haan
แหล่งที่มา

เพื่อความสมบูรณ์คุณสามารถบอกได้ว่า

คืออะไรในคำตอบของคุณ?

G

$G$

— Stéphane Laurent

ได้รับการอัปเดตแล้ว

— Taeke de Haan

G คือการแจกแจงแบบเกาส์ทั่วไป (ด้วยพลังที่แตกต่างกันในเลขชี้กำลัง

แทนที่จะเป็นแค่

) สิ่งนี้จะทำให้การแจกแจงสำหรับเวกเตอร์

ประกอบด้วยตัวแปรกระจายตัวแบบเกาส์อิสระทั่วไปหลายตัว

ซึ่งเป็นผลคูณของไฟล์ PDF เดียวขึ้นอยู่กับ p-norm

e^{- | x |^{p}}

$e^{-|x|^p}$

p = 2

$p=2$

x

$\mathbf{x}$

x_{i}

$x_i$

ฉ (x) α {อี}^{- | x |_{พี}^{พี}}

$f(\mathbf{x}) \propto e^{-\vert \mathbf{x} \vert_p^p}$

— Sextus Empiricus

@MartijnWeterings ขอบคุณมากมันได้รับการปรับปรุงแล้ว

— Taeke de Haan

ขอบคุณ สำหรับข้อมูลมีตัวอย่างของการกระจายนี้ในแพคเกจ R pgnorm

— Stéphane Laurent

การใช้ตัวแปรหลายตัวแปรที่กระจายตัวแบบเอกพันธ์

Taeke มีลิงก์ไปยังบทความที่ข้อความด้านล่างทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นโดยการอธิบายเฉพาะกรณี 2-norm และ 1-norm

2-norm $\Vert x \Vert_2 \leq r$

ทิศทางตัวอย่าง

คุณสามารถใช้ผลลัพธ์นี้http://mathworld.wolfram.com/HyperspherePointPicking.html

ตัวแปรกระจายแบบเกาส์ตัวแปรหลายตัวแปร (พร้อมเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเอกลักษณ์) ขึ้นอยู่กับระยะทางหรือผลรวมของกำลังสอง $X$

ฉ (X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}) = \underset{1 \leq ผม \leq n}{Π} \frac{1}{\sqrt{2 π}} {อี}^{\frac{1}{2} x_{ผม}^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} {อี}^{\frac{1}{2} \underset{1 \leq ผม \leq n}{Σ} x_{ผม}^{2}}

$f(X_1,X_2,...,X_n) = \prod_{1\leq i \leq n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}x_i^2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}\sum_{1 \leq i \leq n} x_i^2}$

ดังนั้นกระจายอย่างสม่ำเสมอบนพื้นผิวของมิติ n $\frac{X}{\Vert X \Vert_2}$

ระยะตัวอย่าง

ในการทำให้สมบูรณ์คุณเพียงแค่ต้องสุ่มตัวอย่างระยะทางเพื่อเปลี่ยนการกระจายตัวแบบเอกพันธ์บนทรงกลมเป็นการกระจายแบบเอกพันธ์ในลูกบอล (ซึ่งมีความคล้ายคลึงกันมากขึ้นหรือน้อยลงตามตัวอย่างที่เชื่อมโยงของคุณสำหรับการเลือกจุดดิสก์)

หากคุณต้องการตัวอย่างเพียงเป็นเครื่องแบบกระจายแล้วคุณจะมีความหนาแน่นค่อนข้างสูงอยู่ใกล้กับศูนย์กลาง (เครื่องชั่งปริมาณเป็นดังนั้นส่วนของจุดที่จะจบลงในปริมาณซึ่งเป็นความหนาแน่นมากขึ้นใกล้ จุดศูนย์กลางและจะไม่หมายถึงการกระจายแบบสม่ำเสมอ) $r$ $r^n$ $r$ $r^n$

หากคุณใช้รูท -th ของตัวแปรที่สุ่มตัวอย่างจากการแจกแจงแบบเดียวกันคุณจะได้การแจกแจงแบบสม่ำเสมอ $n$

1-norm $\Vert x \Vert_1 \leq r$

ทิศทาง

ในกรณีนี้คุณสุ่มตัวอย่างจากการแจกแจงเลซแทนการแจกแจงแบบเกาส์และหารด้วย 1 นอร์ม The $X$ มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในทรงกลม n-1 มิติ $\frac{X}{\vert X \vert_1}$

ฉันไม่มีข้อพิสูจน์ที่เป็นทางการเพียงแค่สัญชาตญาณ

^{(เนื่องจาก pdf มีความเป็นอิสระจากตำแหน่งคุณจะคาดหวังว่าพื้นที่ / ปริมาตรเล็ก ๆ ที่มี 1-norm เดียวกันจะมีความน่าจะเป็นแบบเดียวกันและเมื่อคุณยุบลงไปที่พื้นผิวหน่วยเดียวกัน ) $f(x) dV$ $f(x) dA$}

แต่การทดสอบด้วยแบบจำลองดูดี

library(rmutil)
x <- abs(rlaplace(20000))
y <- abs(rlaplace(20000))
z <- abs(rlaplace(20000))
rn <- abs(x)+abs(y)+abs(z)

xi <- (x/rn)
yi <- (y/rn)
zi <- (z/rn)
plot(sqrt(0.5)*(xi-yi),
     sqrt((0.5-0.5*(xi+yi))^2+zi^2),
     pc=21,bg=rgb(0,0,0,0.02), col=rgb(0,0,0,0),cex=1)

ระยะทาง

$r^n$

$\Vert x \Vert_p \leq r$

$f(x) \propto e^{\vert x \vert^p}$ $G()$

— Sextus Empiricus
แหล่งที่มา

p

$p$

n

$n$

r

$r$

p

$p$

z = w^{1 / n}

$z = w^{1/n}$

w

$w$

y = r z \frac{x}{| | x | |_{p}}

$y = r z \frac{x}{||x||_p}$

สร้างเสียงที่สม่ำเสมอจากลูกบอล p-norm (

การใช้ตัวแปรหลายตัวแปรที่กระจายตัวแบบเอกพันธ์

2-norm ∥ x ∥2≤ r‖x‖2≤R\Vert x \Vert_2 \leq r

ทิศทางตัวอย่าง

ระยะตัวอย่าง

1-norm ∥ x ∥1≤ r‖x‖1≤R\Vert x \Vert_1 \leq r

ทิศทาง

ระยะทาง

∥ x ∥พี≤ r‖x‖พี≤R\Vert x \Vert_p \leq r

2-norm $\Vert x \Vert_2 \leq r$

1-norm $\Vert x \Vert_1 \leq r$

$\Vert x \Vert_p \leq r$