“ เนื่องจากใกล้เคียงกับเกาส์เซียนไฟล์ PDF จึงสามารถเขียนเป็น…”

คำถามสั้น ๆ :ทำไมถึงเป็นจริง

คำถามยาว:

ง่ายมากฉันพยายามหาว่าอะไรที่ทำให้สมการแรกนี้เป็นจริง ผู้เขียนหนังสือที่ฉันกำลังอ่าน (บริบทที่นี่หากคุณต้องการ แต่ไม่จำเป็น) อ้างสิทธิ์ดังต่อไปนี้:

เนื่องจากข้อสันนิษฐานว่าใกล้ - เกาส์เซียเราสามารถเขียน:

$p_{0} (ξ) = A ϕ (ξ) e x p (a_{n + 1} ξ + (a_{n + 2} + \frac{1}{2}) ξ^{2} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (ξ))$ $p_0(\xi) = A \; \phi(\xi) \; exp( a_{n+1}\xi + (a_{n+2} + \frac{1}{2})\xi^2 + \sum_{i=1}^{n} a_i G_i(\xi))$

โดยที่เป็น PDF ของข้อมูลที่คุณสังเกตเห็นซึ่งมีค่าเอนโทรปีสูงสุดเนื่องจากคุณสังเกตเห็นชุดของความคาดหวัง (ตัวเลขง่าย) , ที่และเป็น PDF ของตัวแปร gaussian ที่ได้มาตรฐานนั่นคือ 0 หมายถึงและความแปรปรวนของหน่วย $p_0(\xi)$ $c_i, i = 1 ... n$ $c_i = \mathbb{E}\{G_i(\xi)\}$ $\phi(\xi)$

สิ่งที่เกิดขึ้นคือเขาใช้สมการข้างต้นเป็นจุดเริ่มต้นในการสร้าง PDF,ง่ายขึ้นและฉันเข้าใจว่าเขาทำได้ แต่ฉันไม่เข้าใจว่าเขาปรับสมการข้างต้นได้อย่างไรเช่น จุดเริ่มต้น $p_0(\xi)$

ฉันพยายามที่จะให้มันสั้น ๆ เพื่อที่จะไม่ทำให้สับสนใคร แต่ถ้าคุณต้องการรายละเอียดเพิ่มเติมโปรดแจ้งให้เราทราบในความคิดเห็น ขอบคุณ!

— สเปซีย์
แหล่งที่มา

(หมายเหตุ: ฉันเปลี่ยนของคุณเป็น ) $\xi$ $x$

สำหรับตัวแปรสุ่มมีความหนาแน่นหากคุณมีข้อ จำกัด สำหรับความหนาแน่นเอนโทรปีสูงสุดคือ ที่กำหนดจากและคือค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐาน $X$ $p$

\int G_{i} (x) p (x) d x = c_{i},

$\int G_i(x)\,p(x)\,dx=c_i \, ,$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

p_{0} (x) = A \exp (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x)),

$p_0(x)=A\exp\left(\sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$

a_{i}

$a_i$

c_{i}

$c_i$

A

$A$

ในบริบทนี้การประมาณแบบเกาส์ ("ใกล้ - Gaussianity") หมายถึงสองสิ่ง:

1) คุณยอมรับที่จะแนะนำข้อ จำกัด ใหม่สองข้อ: ค่าเฉลี่ยของคือและความแปรปรวนคือ (พูด); $X$ $0$ $1$

2) สอดคล้อง (ดูร้อง) จะมีขนาดใหญ่กว่าที่อื่น ๆ 's $a_{n+2}$ $a_i$

ข้อ จำกัด เพิ่มเติมเหล่านี้แสดงเป็น ให้ผล ซึ่งสามารถเขียนใหม่เป็น (เพียงแค่ "เพิ่มศูนย์" ให้กับเลขชี้กำลัง) นำไปสู่สิ่งที่คุณ ต้องการ: พร้อมที่จะขยายเทย์เลอร์ (โดยใช้เงื่อนไขที่สองของการประมาณแบบเกาส์)

G_{n + 1} (x) = x, c_{n + 1} = 0,

$G_{n+1}(x)=x \, , \qquad c_{n+1}=0 \, ,$

G_{n + 2} (x) = x^{2}, c_{n + 2} = 1,

$G_{n+2}(x)=x^2 \, , \qquad c_{n+2}=1 \, ,$

p_{0} (x) = A \exp (a_{n + 2} x^{2} + a_{n + 1} x + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x)),

$p_0(x)=A\exp\left(a_{n+2}x^2 + a_{n+1}x + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$

p_{0} (x) = A \exp (\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + a_{n + 2} x^{2} + a_{n + 1} x + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x)),

$p_0(x)=A\exp\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2} + a_{n+2}x^2 + a_{n+1}x + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$

p_{0} (x) = A^{'} ϕ (x) \exp (a_{n + 1} x + (a_{n + 2} + \frac{1}{2}) x^{2} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x));

$p_0(x)=A'\,\phi(x)\exp\left(a_{n+1}x + \left(a_{n+2}+\frac{1}{2}\right)x^2 + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ;$

ทำการประมาณเหมือนนักฟิสิกส์ (ซึ่งหมายความว่าเราไม่สนใจคำสั่งผิดพลาด) โดยใช้ aboutเรามีความหนาแน่นโดยประมาณ จนจบเราจะต้องตรวจสอบและค่านิยมของ ' s นี่คือการกำหนดเงื่อนไข เพื่อให้ได้ระบบสมการซึ่งการแก้ปัญหาให้และ ' s $\exp(t)\approx 1+t$

p_{0} (x) \approx A^{'} ϕ (x) (1 + a_{n + 1} x + (a_{n + 2} + \frac{1}{2}) x^{2} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x)) .

$p_0(x) \approx A'\,\phi(x)\left(1+a_{n+1}x + \left(a_{n+2}+\frac{1}{2}\right)x^2 + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, .$

A^{'}

$A'$

a_{i}

$a_i$

\int p_{0} (x) d x = 1, \int x p_{0} (x) d x = 0, \int x^{2} p_{0} (x) d x = 1

$\int p_0(x)\,dx=1 \, , \qquad \int x \,p_0(x)\,dx=0 \, , \qquad \int x^2 \,p_0(x)\,dx=1$

\int G_{i} (x) p_{0} (x) d x = c_{i}, i = 1, \dots, n,

$\int G_i(x)\, p_0(x)\,dx=c_i \, , \quad i=1,\dots,n \, ,$

A^{'}

$A'$

a_{i}

$a_i$

โดยไม่กำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมในฉันไม่เชื่อว่ามีวิธีแก้ปัญหาอย่างง่ายในรูปแบบปิด $G_i$

PS Mohammad ชี้แจงในระหว่างการแชทว่าด้วยเงื่อนไขการตั้งฉากเพิ่มเติมสำหรับเราสามารถแก้ปัญหาระบบได้ $G_i$

— เซน
แหล่งที่มา

เซนขอบคุณมาก ตอนนี้ฉันเข้าใจแล้ว สิ่งที่ไม่ชัดเจนสำหรับฉันคือเมื่อคุณพูดว่า"ในบริบทนี้การประมาณแบบเกาส์ (" ใกล้ - Gaussianity ") หมายความว่าคุณยอมรับที่จะแนะนำข้อ จำกัด ใหม่สองประการ: ค่าเฉลี่ยของ X คือ 0 และความแปรปรวนคือ (พูด ) 1. " ผมไม่เข้าใจว่าทำไมบางสิ่งบางอย่างที่จะเป็น 'ใกล้เกาส์' หมายถึงการที่จะมีและ 1 ถ้ามันเป็นแค่ rv อีกอันที่มีค่าเท่ากัน?

μ = 0

$\mu=0$

σ^{2} = 1

$\sigma^2=1$

— Spacey

สวัสดีโมฮัมหมัด ฉันได้เพิ่มข้อมูลเพิ่มเติมลงในคำตอบ ในการรับนิพจน์เดิมของคุณใช้เฉพาะสิ่งที่ฉันเรียกว่าเงื่อนไขแรกของการประมาณแบบเกาส์ คุณจะใช้เงื่อนไขที่สองเมื่อคุณทำเช่นการขยายตัวของเทย์เลอร์นี้(x) ฉันหวังว่านี่จะช่วยได้.

p_{0} (x)

$p_0(x)$

p_{0} (x)

$p_0(x)$

— เซน

คุณคิดจะโพสต์เป็นความคิดเห็นการแสดงออกสุดท้ายสำหรับหลังจากที่คุณทำการคำนวณที่เหลือ? ขอบคุณ

p_{0} (x)

$p_0(x)$

— เซน

ใช่เขาบอกว่าสำนวนสุดท้ายคือ:

p_{0} (z) \approx ϕ (z) (1 + \sum_{i = 1}^{N} c_{i} F_{i} (z))

$p_0(z) \approx \phi(z) (1 + \sum_{i=1}^{N} c_i F_i(z))$

— สเปซีย์

ฉันคิดว่ามีการพิมพ์ผิดในสมการสุดท้ายหรือไม่ ...เกิดขึ้นสองครั้งหรือไม่ ...

a_{n + 1} x

$a_{n+1}x$

— Spacey