เมื่อทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางและกฎจำนวนมากไม่เห็นด้วย

19

นี่เป็นการจำลองแบบของคำถามที่ฉันพบที่ math.seซึ่งไม่ได้รับคำตอบที่ฉันหวังไว้

ปล่อยเป็นลำดับของตัวแปรสุ่มแบบกระจายที่เหมือนกันโดยมีและ . $\{ X_i \}_{i \in \mathbb{N}}$ $\mathbb{E}[X_i] = 1$ $\mathbb{V}[X_i] = 1$

พิจารณาการประเมินผลของ

lim_{n \to \infty} P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq \sqrt{n})

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right)$

การแสดงออกนี้จะต้องมีการจัดการตั้งแต่นั้นมาทั้งสองด้านของเหตุการณ์ความไม่เท่าเทียมมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

A) การทดลองใช้งานระบบย่อย

ก่อนพิจารณาคำสั่งที่ จำกัด ให้ลบ $\sqrt{n}$ จากทั้งสองด้าน:

lim_{n \to \infty} P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - \sqrt{n} \leq \sqrt{n} - \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - 1) \leq 0) = Φ (0) = \frac{1}{2}

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i -\sqrt{n} \leq \sqrt{n}-\sqrt{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n (X_i - 1) \leq 0\right) \\ = \Phi(0) = \frac{1}{2}$

ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายโดย CLT โดยที่ $\Phi()$ เป็นฟังก์ชันการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน

B) คูณทวีคูณ

ทวีคูณทั้งสองข้างด้วย $1/\sqrt{n}$

lim_{n \to \infty} P (\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq 1)

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac {1}{\sqrt{n}}\cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \frac {1}{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \leq 1\right)$

= lim_{n \to \infty} P ({\bar{X}}_{n} \leq 1) = lim_{n \to \infty} F_{{\bar{X}}_{n}} (1) = 1

$= \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\bar X_n \leq 1\right) = \lim_{n \to \infty}F_{\bar X_n}(1) = 1$

โดยที่ $F_{\bar X_n}()$ เป็นฟังก์ชันการแจกแจงของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง $\bar X_n$ ซึ่ง LLN มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น (และในการกระจาย) ไปยังค่าคงที่ $1$ ดังนั้นความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้าย

ดังนั้นเราจึงได้ผลลัพธ์ที่ขัดแย้งกัน อันไหนที่ถูก? และทำไมคนอื่นผิด

probability mathematical-statistics asymptotics

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

1

@JuhoKokkala แน่นอนนี่คือmath.stackexchange.com/q/2830304/87400เพียงแค่เพิกเฉยต่อความผิดพลาดของ OP ที่นั่น

— Alecos Papadopoulos

2

ฉันคิดว่าปัญหาอยู่ในคำสั่งที่สองที่เรียกใช้

— LLN

3

ฉันตามคุณไปจนถึงความเท่าเทียมสุดท้าย มันเป็นเรื่องที่ไม่ถูกต้องอย่างชัดเจนเพราะเราจะคาดหวังประมาณขนาดใหญ่และดังนั้นจึงขีด จำกัด ไม่ควรเท่ากับ เป็นเหตุผลตั้งใจของมันคืออะไร มันไม่ใช่คำแถลงของกฎหมายใด ๆ ที่มีจำนวนมากที่ฉันรู้

P ({\bar{X}}_{n} \leq 1)

$\mathbb{P}(\bar X_n\le 1)$

1 / 2

$1/2$

n

$n$

1.

$1.$

— whuber

1

@whuber คาดคะเนว่าน่าจะเป็นทั้งหมดสำหรับเข้มข้นเฉลี่ยตัวอย่างค่าที่1หากนี่เป็นสิ่งที่ผิดฉันเชื่อว่ามันเป็นสิ่งสำคัญสำหรับความผิดพลาดที่จะอธิบายรายละเอียดในคำตอบนั่นคือจุดประสงค์ของคำถามนี้

1

$1$

— Alecos Papadopoulos

2

Alecos, ความกังวลของฉันไม่ได้ว่าขั้นตอนสุดท้ายนั้นผิดหรือเปล่า: มันเกี่ยวข้องกับเหตุผลของคุณในการสร้างมันขึ้นมา นั่นไม่ใช่คำถามทั้งหมดหรือเปล่า? ฉันยังไม่ได้อ่านอะไรจากคุณให้เหตุผลเหล่านั้นและฉันก็ลังเลที่จะคาดเดาสิ่งที่พวกเขาอาจจะ แม้ว่าคุณจะอ้างถึง "LLN" แต่ฉันเชื่อว่าการแก้ไขปัญหาของคุณน่าจะอยู่ที่การอธิบายสิ่งที่คุณเข้าใจว่า "LLN" เพื่อยืนยัน

— whuber

15

ข้อผิดพลาดที่นี่อาจเป็นไปได้ในความเป็นจริงต่อไปนี้: การบรรจบกันในการจัดจำหน่ายโดยปริยายสันนิษฐานว่าลู่ไปที่จุดของความต่อเนื่องของ(x) การกระจายขีด จำกัด เป็นของตัวแปรสุ่มคงมีต่อเนื่องกระโดดที่ , ด้วยเหตุนี้มันไม่ถูกต้องที่จะสรุปว่าลู่ CDF เพื่อ 1 $F_n(x)$ $F(x)$ $F(x)$ $x=1$ $F(x)=1$

— อเล็กซ์อาร์
แหล่งที่มา

1

วิธีที่เรานิยามการลู่เข้าหากันนั้นไม่ได้กีดกันความเป็นไปได้ของการบรรจบกัน ณ จุดที่ความไม่ต่อเนื่อง - มันไม่ต้องการมัน

— Alecos Papadopoulos

1

แต่ถ้าการบรรจบกันในการแจกแจงไม่ต้องการเพื่อมาบรรจบกันที่ความเท่าเทียมกันสุดท้ายในคำถามนั้นมาจากอะไร?

F_{n} (1)

$F_n(1)$

F (1)

$F(1)$

— Juho Kokkala

1

@Juho มันไม่ได้ขึ้นอยู่กับอะไรเลย - นั่นเป็นประเด็นสำคัญของเรื่องนี้ ไม่มีทฤษฎีบทใดที่อนุญาตให้เราสร้างสมการสุดท้ายในคำถาม

— whuber

1

@AlecosPapadopoulos: ฉันไม่เคยบอกว่ามันไม่ได้ยกเว้นความเป็นไปได้ ฉันบอกโดยปริยายว่าคุณต้องแสดงให้เห็นถึงความเท่าเทียมกันสุดท้ายที่เกินกว่าสิ่งที่คุณได้รับจากการลู่เข้าหากัน ตัวอย่างเช่นถ้าคือ Bernoulli มันจะเป็นจริง

X_{n}

$X_n$

— Alex R.

11

สำหรับตัวแปรสุ่มของ iidด้วย define ตอนนี้ CLT กล่าวว่าสำหรับทุกการแก้ไขจำนวนจริง ,(Z-1) OP ใช้ CLT เพื่อประเมิน $X_i$ $E[X_i]= \operatorname{var}(X_i)=1$

\begin{aligned} Z_{n} & = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}, \\ Y_{n} & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} . \end{aligned}

$\begin{align}Z_n &= \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n X_i,\\ Y_n &= \frac{1}{{n}}\sum_{i=1}^n X_i. \end{align}$

z

$z$

lim_{n \to \infty} F_{Z_{n}} (z) = Φ (z - 1)

$\lim_{n\to\infty} F_{Z_n}(z) = \Phi(z-1)$

lim_{n \to \infty} P (Z_{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}) = Φ (0) = \frac{1}{2} .

$\lim_{n\to\infty}P\left(Z_n \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \Phi(0) = \frac 12.$

เช่นเดียวกับคำตอบอื่น ๆ รวมถึงความคิดเห็นต่างๆเกี่ยวกับคำถามของ OP ได้ชี้ให้เห็นว่ามันเป็นการประเมินของที่สงสัย พิจารณากรณีพิเศษเมื่อ IIDเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องการที่ค่าและมีความน่าจะเท่ากับ12 ตอนนี้สามารถใช้ในทุกจำนวนเต็มคู่ค่าในและดังนั้นเมื่อเป็นเลขคี่, ไม่สามารถใช้กับค่าและด้วยเหตุนี้ไม่สามารถใช้กับค่า $\lim_{n\to\infty} P(Y_n \leq 1)$ $X_i$ $0$ $2$ $\frac 12$ $\sum_{i=1}^n X_i$ $[0,2n]$ $n$ $\sum_{i=1}^n X_i$ $n$ $Y_n = \frac 1n \sum_{i=1}^n X_i$ $1$ . นอกจากนี้เนื่องจากการกระจายของสมมาตรประมาณเรามีที่ มีค่าเมื่อใดก็ตามที่เป็นเลขคี่ ดังนั้นลำดับของตัวเลข มีsubsequence ซึ่งในแง่ทั้งหมดที่มีค่า12 บนมืออื่น ๆ ที่subsequence จะมาบรรจบกันไป1ดังนั้น $Y_n$ $1$ $P(Y_n \leq 1) = F_{Y_n}(1)$ $\frac 12$ $n$

P (Y_{1} \leq 1), P (Y_{2} \leq 1), \dots, P (Y_{n} \leq 1), \dots

$P(Y_1 \leq 1), P(Y_2 \leq 1), \ldots, P(Y_n \leq 1), \ldots$

P (Y_{1} \leq 1), P (Y_{3} \leq 1), \dots, P (Y_{2 k - 1} \leq 1), \dots

$P(Y_1 \leq 1), P(Y_3 \leq 1), \ldots, P(Y_{2k-1} \leq 1), \ldots$

\frac{1}{2}

$\frac 12$

P (Y_{2} \leq 1), P (Y_{4} \leq 1), \dots, P (Y_{2 k} \leq 1), \dots

$P(Y_2 \leq 1), P(Y_ 4\leq 1), \ldots, P(Y_{2k} \leq 1), \ldots$

1

$1$

lim_{n \to \infty} P (Y_{n} \leq 1)

$\lim_{n\to\infty} P(Y_n \leq 1)$ ไม่มีอยู่จริงและการเรียกร้องการบรรจบกันของถึง 1 ต้องดูอย่างสงสัยมาก

P (Y_{n} \leq 1)

$P(Y_n\leq 1)$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

8

ผลลัพธ์แรกของคุณคือผลลัพธ์ที่ถูกต้อง ข้อผิดพลาดของคุณเกิดขึ้นในส่วนที่สองในคำสั่งที่ผิดพลาดต่อไปนี้:

lim_{n \to \infty} F_{{\bar{X}}_{n}} (1) = 1.

$\lim_{n \rightarrow \infty} F_{\bar{X}_n}(1) = 1.$

ข้อความนี้เป็นเท็จ (ทางด้านขวามือควรเป็น ) และไม่เป็นไปตามกฎหมายของคนจำนวนมากที่ถูกกล่าวหา กฎหมายอ่อนแอของคนจำนวนมาก (ซึ่งคุณเรียกใช้) กล่าวว่า: $\tfrac{1}{2}$

lim_{n \to \infty} P (| {\bar{X}}_{n} - 1 | ⩽ ε) = 1 for all ε > 0.

$\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \Big( |\bar{X}_n - 1| \leqslant \varepsilon \Big) = 1 \quad \quad \text{for all } \varepsilon > 0.$

สำหรับทั้งหมดเงื่อนไขครอบคลุมค่าบางอย่างที่และค่านิยมบางอย่างที่1 ดังนั้นมันไม่เป็นไปตามจาก LLN ที่1 $\varepsilon > 0$ $|\bar{X}_n - 1| \leqslant \varepsilon$ $\bar{X}_n \leqslant 1$ $\bar{X}_n > 1$ $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} ( \bar{X}_n \leqslant 1 ) = 1$

— Reinstate Monica
แหล่งที่มา

1

ผลลัพธ์ (ผิดพลาดจริง ๆ ) มาจากความหมาย "การลู่เข้าในความน่าจะเป็นหมายถึงการลู่เข้าหากันในการกระจาย" คำถามไม่ได้ระบุว่าการยืนยันมาโดยตรงจาก LLN

— Alecos Papadopoulos

@AlcosPapadopoulos: การบรรจบกันของความน่าจะเป็นการรวมตัวกันในการกระจาย อีกครั้งการรวมกันในการกระจายจะต้องเฉพาะที่จุดต่อเนื่อง แต่บางทีคุณอาจหมายถึงการบรรจบกันในความน่าจะไม่ได้หมายถึงpointwiseบรรจบกันของการกระจาย

— Alex R.

@AlexR ฉันไม่แน่ใจว่าคำคัดค้านของคุณอยู่ที่ใด ฉันเชื่อว่าปัญหานี้ครอบคลุมในคำตอบของฉันเอง

— Alecos Papadopoulos

3

การลู่เข้าในความน่าจะเป็นเป็นนัยของการลู่เข้าหากันในการกระจาย แต่ ... การกระจายแบบไหน ถ้าการ จำกัด การกระจายมีความไม่ต่อเนื่องของการกระโดดการ จำกัด จะไม่ชัดเจน (เนื่องจากมีค่าหลายค่าที่ไม่ต่อเนื่อง)

ที่เป็นฟังก์ชั่นการกระจายของค่าเฉลี่ยตัวอย่างซึ่งโดยลู่ LLN ในความน่าจะเป็น (และยังอยู่ในการจัดจำหน่าย) เพื่อคงที่ , $F_{\bar X_n}()$ $\bar X_n$ $1$

สิ่งนี้ไม่ถูกต้องและยังง่ายที่จะแสดงว่าไม่ถูกต้อง (แตกต่างจากความขัดแย้งระหว่าง CLT และ LLN) การ จำกัด การกระจาย (ซึ่งสามารถเห็นได้ว่าเป็นข้อ จำกัด สำหรับลำดับของตัวแปรการกระจายแบบปกติ) ควรเป็น:

F_{{\bar{X}}_{\infty}} (x) = {\begin{cases} 0 & for x < 1 \\ 0.5 & for x = 1 \\ 1 & for x > 1 \end{cases}

$F_{\bar{X}_\infty}(x) = \begin{cases} 0 & \text{for } x<1 \\ 0.5& \text{for } x=1\\ 1 & \text{for } x>1 \end{cases}$

สำหรับฟังก์ชั่นนี้คุณมีสิ่งนั้นและทุกๆความแตกต่าง สำหรับขนาดใหญ่พอnสิ่งนี้จะล้มเหลวหากแทน $\epsilon>0$ $x$ $|F_{\bar{X}_n}(x)-F_{\bar{X}_\infty}(x)|<\epsilon$ $n$ $F_{\bar{X}_\infty}(1)=1$ $F_{\bar{X}_\infty}(1)=0.5$

ขีด จำกัด ของการแจกแจงแบบปกติ

อาจเป็นประโยชน์ในการเขียนผลรวมที่ใช้เพื่อเรียกใช้กฎหมายจำนวนมากอย่างชัดเจน

{\bar{X}}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (1, \frac{1}{n})

$\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \sim N(1,\frac{1}{n})$

^{ขีด จำกัดสำหรับนั้นเทียบเท่ากับฟังก์ชัน Dirac Delta เมื่อมันถูกแทนด้วยขีด จำกัด ของการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าความแปรปรวนเป็นศูนย์ $n\to \infty$ $\hat{X}_n$}

การใช้นิพจน์นั้นง่ายกว่าที่จะเห็นสิ่งที่เกิดขึ้นภายใต้ประทุนแทนที่จะใช้กฎหมายสำเร็จรูปของ CLT an LLN ซึ่งปิดบังเหตุผลที่อยู่เบื้องหลังกฎหมาย

การลู่เข้าในความน่าจะเป็น

กฎจำนวนมากจะช่วยให้คุณ 'ลู่เข้าหาความน่าจะเป็น'

lim_{n \to \infty} P (| {\bar{X}}_{n} - 1 | > ϵ) = 0

$\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X}_n-1|>\epsilon) =0$

ด้วย $\epsilon > 0$

^{คำสั่งที่เทียบเท่าสามารถสร้างขึ้นมาสำหรับทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางที่มี
$\lim_{n \to \infty} P(|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum \left( X_i-1 \right)|>\frac{\epsilon}{n}) =0$}

มันผิดที่จะระบุว่าสิ่งนี้หมายถึง

lim_{n \to \infty} P (| {\bar{X}}_{n} - 1 | > 0) = 0

$\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X}_n-1|>0) =0$

^{เป็นเรื่องที่ดีน้อยกว่าที่คำถามนี้ถูกโพสต์ข้ามเร็ว (สับสน แต่น่าสนใจที่จะเห็นการอภิปราย / วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันและสถิติไม่ได้เลวร้ายเกินไป) คำตอบโดยไมเคิลฮาร์ดี้ในข้อเสนอที่คณิตศาสตร์ stackexchange กับมันได้อย่างมีประสิทธิภาพมากในแง่ของกฎหมายที่แข็งแกร่งของตัวเลขขนาดใหญ่ (หลักการเดียวกับคำตอบที่ได้รับการยอมรับจาก drhab ในคำถามโพสต์ข้ามและดิลลิปได้ที่นี่) เราเกือบแน่ใจว่าลำดับเป็น 1 แต่นี่ไม่ได้หมายความว่า $\bar{X}_1, \bar{X}_2, \bar{X}_3, ... \bar{X}_n$ $\lim_{n \to \infty} P(\bar{X}_n = 1)$ จะเท่ากับ 1 (หรืออาจไม่มีอยู่ตามที่ Dilip แสดง) ตัวอย่างของลูกเต๋าในคอมเม้นท์ของ Tomasz แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนจากมุมที่แตกต่าง (แทนที่จะเป็นขีด จำกัด ที่ไม่มีอยู่ขีด จำกัด จะเป็นศูนย์) ค่าเฉลี่ยของลำดับของการทอยลูกเต๋าจะมาบรรจบกับค่าเฉลี่ยของลูกเต๋า แต่ความน่าจะเป็นที่จะเท่ากับนี้จะเท่ากับศูนย์}

ฟังก์ชันขั้นตอน Heaviside และฟังก์ชัน Dirac delta

CDF ของ มีดังต่อไปนี้: $\bar{X}_n$

F_{{\bar{X}}_{n}} (x) = \frac{1}{2} (1 + erf \frac{x - 1}{\sqrt{2 / n}})

$F_{\bar{X}_n}(x) = \frac{1}{2} \left(1 + \text{erf} \frac{x-1}{\sqrt{2/n}} \right)$

ด้วยหากคุณต้องการ (เกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่นขั้นตอน Heavisideส่วนประกอบของฟังก์ชัน Dirac delta เมื่อดูเป็นขีด จำกัด ของ การแจกแจงแบบปกติ) $\lim_{n \to \infty} F_{\bar{X}_n}(1) = 0.5$

ฉันเชื่อว่ามุมมองนี้จะช่วยแก้ปัญหาของคุณอย่างสังหรณ์ใจเกี่ยวกับ 'แสดงว่ามันผิด' หรืออย่างน้อยก็แสดงให้เห็นว่าคำถามเกี่ยวกับการทำความเข้าใจสาเหตุของความขัดแย้งของ CLT และ LLN นี้เทียบเท่ากับคำถามของการทำความเข้าใจ หรือลำดับของการแจกแจงปกติที่มีค่าความแปรปรวนลดลงเป็นศูนย์

— Sextus Empiricus
แหล่งที่มา

2

การ จำกัด การกระจายของคุณนั้นไม่ใช่การแจกจ่ายเลย CDF ต้องถูกต้องอย่างต่อเนื่องในขณะที่มันได้อย่างชัดเจนไม่ได้อยู่ที่2/1

x = 1 / 2

$x=1/2$

— Alex R.

ความต่อเนื่องทางด้านขวาดูเหมือนว่าจำเป็นสำหรับทุกคนเรามีเป็นเหตุการณ์ซ้อนกันเราควรมีแต่สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับกรณีของเราและที่จับคืออะไร? ความต่อเนื่องที่ถูกต้องนี้จำเป็นหรือไม่ขึ้นอยู่กับสัจพจน์ความน่าจะเป็นหรือเป็นเพียงแบบแผนที่ CDF ใช้งานได้สำหรับกรณีทั่วไปส่วนใหญ่?

a

$a$

lim_{n \to \infty} F_{X} (a + \frac{1}{n}) = F_{X} (a)

$\lim_{n \to \infty} F_{X}(a+\frac{1}{n}) = F_{X}(a)$

X \leq a + \frac{1}{n}

$X \leq a+\frac{1}{n}$

lim_{n \to \infty} F_{X} (a + \frac{1}{n}) = lim_{n \to \infty} P (X \leq a + \frac{1}{n}) = P (lim_{n \to \infty} X \leq a + \frac{1}{n}) = P (X \leq a) = F_{X} (a)

$\lim_{n \to \infty} F_{X}(a+\frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} P(X \leq a+\frac{1}{n}) = P(\lim_{n \to \infty} X \leq a+\frac{1}{n}) = P(X \leq a) = F_{X}(a)$

— Sextus Empiricus

@Martin Weterings: นี่เป็นที่มาของมันอย่างแม่นยำ การวัดที่ถูกต้องใด ๆจะต้องเป็นไปตามผลลัพธ์ของความน่าเบื่อหน่าย มันเป็นผลมาจากขอบเขตของพร้อมกับความสามารถนับได้ โดยทั่วไปฟังก์ชั่นคือ CDF (เช่นสอดคล้องกับการแจกแจงผ่าน iffถูกต้องต่อเนื่องพร้อมกับ monotonic และมีขีด จำกัด ที่เหลือ 0 ขีด จำกัด ที่ถูกต้อง 1

P

$P$

P

$P$

F (x)

$F(x)$

P

$P$

F (b) - F (a) = P (a < X \leq b)

$F(b)-F(a)=P(a<X\leq b)$

F

$F$

— อเล็กซ์อาร์

2

ฉันเชื่อว่ามันควรจะชัดเจนตอนนี้ว่า "วิธีการ CLT" ให้คำตอบที่ถูกต้อง

มาหาจุดที่ "วิธีการ LLN" ผิดพลาด

เริ่มต้นด้วยงบ จำกัด ก็เป็นที่ชัดเจนแล้วว่าเราสามารถทำได้เท่ากันทั้งลบจากทั้งสองฝ่ายหรือ multliply ทั้งสองข้างด้วย{n} เราได้รับ $\sqrt{n}$ $1/\sqrt{n}$

P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq \sqrt{n}) = P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - 1) \leq 0) = P (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq 1)

$\mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right)=\mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n(X_i-1) \leq 0\right) = \mathbb{P}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^nX_i \leq 1\right)$

ดังนั้นหากมีขีด จำกัด อยู่ก็จะเหมือนกัน การตั้งค่าเรามีโดยใช้ฟังก์ชันการกระจาย $Z_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n(X_i-1)$

P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq \sqrt{n}) = F_{Z_{n}} (0) = F_{{\bar{X}}_{n}} (1)

$\mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right)= F_{Z_n}(0) = F_{\bar X_n}(1)$

... และมันเป็นความจริงที่1/2 $\lim_{n\to \infty}F_{Z_n}(0)= \Phi(0) = 1/2$

ความคิดใน "LLN เข้าใกล้" ไปดังนี้: "เรารู้จาก LLN ที่ลู่เข้าในความน่าจะเป็นค่าคงที่และเราก็รู้ว่า" การลู่เข้าในความน่าจะเป็นหมายถึงการบรรจบกันของการกระจาย "ดังนั้น ลู่ ในการกระจายให้คงที่ " ถึงที่นี่เราถูกต้อง จากนั้นเราระบุว่า: "ดังนั้นการ จำกัด ความน่าจะเป็นสำหรับจะได้รับจากฟังก์ชั่นการกระจายของค่าคงที่ที่ตัวแปรสุ่ม", $\bar X_n$ $\bar X_n$
$\bar X_n$ $1$

F_{1} (x) = {\begin{cases} 1 x \geq 1 \\ 0 x < 1 \end{cases} ⟹ F_{1} (1) = 1

$F_1(x) = \cases {1 \;\;\;\;x\geq 1 \\ 0 \;\;\;\;x<1} \implies F_1(1) = 1$

... ดังนั้น ... $\lim_{n\to \infty} F_{\bar X_n}(1) = F_1(1) = 1$

... และเราก็ทำผิดพลาดของเรา ทำไม? เพราะเป็น@AlexR คำตอบตั้งข้อสังเกต "การลู่เข้าในการกระจาย" ครอบคลุมเฉพาะจุดต่อเนื่องของฟังก์ชันการ จำกัด การกระจาย และเป็นจุดของความไม่ต่อเนื่องสำหรับF_1ซึ่งหมายความว่าอาจเท่ากับแต่มันอาจจะไม่ได้โดยไม่ปฏิเสธ "การบรรจบกันในการกระจายให้คงที่" ความหมายของ LLN . $1$ $F_1$ $\lim_{n\to \infty} F_{\bar X_n}(1)$ $F_1(1)$

และเนื่องจากจากวิธีการของ CLT เราจึงรู้ว่าค่าของขีด จำกัด ต้องเป็น ( ) ผมไม่ทราบวิธีที่จะพิสูจน์โดยตรงว่า1/2 $1/2$ $\lim_{n\to \infty} F_{\bar X_n}(1) = 1/2$

พวกเราเรียนรู้สิ่งใหม่หรือไม่?

ฉันทำ. LLN อ้างว่า

lim_{n \to \infty} P (| {\bar{X}}_{n} - 1 | ⩽ ε) = 1 for all ε > 0

$\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \Big( |\bar{X}_n - 1| \leqslant \varepsilon \Big) = 1 \quad \quad \text{for all } \varepsilon > 0$

⟹ lim_{n \to \infty} [P (1 - ε < {\bar{X}}_{n} \leq 1) + P (1 < {\bar{X}}_{n} \leq 1 + ε)] = 1

$\implies \lim_{n \rightarrow \infty} \Big[ \mathbb{P} \Big( 1-\varepsilon <\bar{X}_n \leq 1\Big) + \mathbb{P} \Big( 1 <\bar{X}_n \leq 1+\varepsilon\Big)\Big] = 1$

⟹ lim_{n \to \infty} [P ({\bar{X}}_{n} \leq 1) + P (1 < {\bar{X}}_{n} \leq 1 + ε)] = 1

$\implies \lim_{n \rightarrow \infty} \Big[ \mathbb{P} \Big(\bar{X}_n \leq 1\Big) + \mathbb{P} \Big( 1 <\bar{X}_n \leq 1+\varepsilon\Big)\Big] = 1$

LLN ไม่ได้บอกว่าความน่าจะเป็นที่จัดสรรในช่วงอย่างไร สิ่งที่ฉันได้เรียนรู้คือในผลลัพธ์ของการลู่ในชั้นนี้ความน่าจะเป็นอยู่ที่ขีด จำกัด ที่จัดสรรให้เท่ากันทั้งสองด้านของจุดกึ่งกลางของช่วงยุบ $(1-\varepsilon, 1+\varepsilon)$

ข้อความทั่วไปที่นี่คือสมมติว่า

X_{n} \to_{p} θ, h (n) (X_{n} - θ) \to_{d} D (0, V)

$X_n\to_p \theta,\;\;\; h(n)(X_n-\theta) \to_d D(0,V)$

ที่คือ RV บางคนที่มีฟังก์ชั่นการกระจายF_Dแล้วก็ $D$ $F_D$

lim_{n \to \infty} P [X_{n} \leq θ] = lim_{n \to \infty} P [h (n) (X_{n} - θ) \leq 0] = F_{D} (0)

$\lim_{n\to \infty} \mathbb P[X_n \leq \theta] = \lim_{n\to \infty}\mathbb P[h(n)(X_n-\theta) \leq 0] = F_D(0)$

... ซึ่งอาจไม่เท่ากับ (ฟังก์ชันการแจกแจงของค่าคงที่ rv) $F_{\theta}(0)$

ยิ่งไปกว่านั้นนี่คือตัวอย่างที่ดีว่าเมื่อฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบ จำกัด มีความไม่ต่อเนื่องจากนั้น "การบรรจบกันในการกระจายไปยังตัวแปรแบบสุ่ม" อาจอธิบายสถานการณ์ที่ "การ จำกัด การกระจาย" อาจไม่เห็นด้วยกับ "การกระจายของการ จำกัด ตัวแปรสุ่ม "ที่จุดไม่ต่อเนื่อง การพูดอย่างเคร่งครัดการแจกแจง จำกัด สำหรับจุดต่อเนื่องนั้นเป็นของตัวแปรสุ่มคงที่ สำหรับคะแนนความไม่ต่อเนื่องเราอาจคำนวณความน่าจะเป็นที่ จำกัด ได้ในฐานะหน่วยงาน "แยก"

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

มุมมอง 'บทเรียนที่เรียนรู้' นั้นน่าสนใจและนี่เป็นตัวอย่างที่ดีไม่ยากเกินไปสำหรับการสอนเชิงปฏิบัติ แม้ว่าฉันจะสงสัยว่าแอปพลิเคชั่นที่ใช้งานได้จริงชนิดใดที่ความคิดนี้เกี่ยวกับอนันต์นั้นเป็นเพราะในที่สุดในทางปฏิบัติ

n \neq \infty

$n \neq \infty$

— Sextus Empiricus

@ Martijn Weterings Martijn แรงบันดาลใจที่นี่คือการศึกษาอย่างแน่นอนก) เพื่อเป็นการแจ้งเตือนถึงความไม่ต่อเนื่องแม้ในสถานการณ์ "แบน" เช่นการบรรจบกันเป็นค่าคงที่และโดยทั่วไป (พวกเขาทำลายการบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ) และ b) ผลลัพธ์เกี่ยวกับวิธีการจัดสรรความน่าจะเป็นที่น่าสนใจเมื่อลำดับที่มาบรรจบกันในความน่าจะเป็นคงที่ยังคงมีความแปรปรวนที่ไม่เป็นศูนย์

— Alecos Papadopoulos

เราสามารถพูดได้ว่า CLT สมมติว่ามีอะไรบางอย่างเกี่ยวกับการลู่เข้ากับตัวแปรที่กระจายตัวแบบ จำกัด (ทำให้สามารถแสดงสิ่งต่าง ๆ เช่น ) แต่ LLN ช่วยให้เราสามารถพูดได้ว่าโดยการเพิ่มขนาดตัวอย่าง เป็นค่าเฉลี่ยจริง แต่สิ่งนี้ไม่ได้บอกว่าเราได้มาด้วยความน่าจะเป็นที่สูงขึ้น 'เท่ากับค่าเฉลี่ยตัวอย่าง' LLN หมายถึงค่าเฉลี่ยตัวอย่างนั้นเข้ามาใกล้ยิ่งขึ้นและใกล้เคียงกับค่า จำกัด แต่ไม่ใช่ (ที่มีความน่าจะเป็นสูงกว่า) เท่ากับ LLN พูดอะไรเกี่ยวกับ

F (x)

$F(x)$

F (x)

$F(x)$

— Sextus Empiricus

ความคิดดั้งเดิมรอบ LLN ซึ่งตรงกันข้ามกับจริง (ดูเหตุผลของ Arbuthnot stats.stackexchange.com/questions/343268 ) "มองเห็นได้จากสิ่งที่ถูกกล่าวว่าด้วยจำนวนลูกเต๋าที่ดีมากล็อตของ A จะเล็กมาก ... จะมี แต่ส่วนเล็ก ๆ ของโอกาสที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เกิดขึ้นในเวลาที่กำหนด ควรมีจำนวนเพศชายและหญิงเท่ากัน "

— Sextus Empiricus