การแจกแจงแบบปกติ

8

มีปัญหาทางสถิติที่ฉันโชคไม่ดีที่ไม่รู้จะเริ่มต้นอย่างไร (ฉันกำลังศึกษาด้วยตัวเองดังนั้นจึงไม่มีใครถามได้ถ้าฉันไม่เข้าใจอะไร

คำถามคือ

$X,Y$ iid $N(a,b^2); a=0; b^2=6; var(X^2+Y^2)=?$

self-study normal-distribution random-variable

— อ่างทอง
แหล่งที่มา

6

เนื่องจากคุณกำลังติดต่อกับข้อมูลปกติของ IID มันก็คุ้มค่าที่จะสรุปปัญหาของคุณเล็กน้อยเพื่อดูกรณีที่คุณมีและคุณต้องการ2) (คำถามของคุณตรงกับกรณีที่ ) ตามที่ผู้ใช้รายอื่นได้ชี้ให้เห็นผลรวมของกำลังสองของตัวแปรสุ่มปกติของ IID คืออัตราส่วนสุ่มที่ไม่ได้เป็นไคสแควร์ที่ปรับขนาดกลางและเพื่อให้ได้ความแปรปรวนของความสนใจ จากความรู้เกี่ยวกับการกระจายนั้น แต่ก็ยังเป็นไปได้ที่จะได้รับความแปรปรวนที่จำเป็นต้องใช้กฎขณะสามัญรวมกับความรู้เกี่ยวกับช่วงเวลาของการแจกแจงแบบปกติ ฉันจะแสดงวิธีดำเนินการด้านล่างนี้เป็นขั้นตอน $X_1, ..., X_n \sim \text{IID N}(a, b^2)$ $Q_n \equiv \mathbb{V}(\sum_{i=1}^n X_i^2)$ $n=2$

การค้นหาความแปรปรวนโดยใช้ช่วงเวลาของการแจกแจงแบบปกติ:เนื่องจากค่าคือ IID (และการให้เป็นค่าทั่วไปจากการแจกแจงนี้) คุณมี:ซึ่งเราจะแสดงถึงช่วงเวลาดิบขณะที่k) ช่วงเวลาดิบเหล่านี้สามารถเขียนในแง่ของช่วงเวลากลางและค่าเฉลี่ยใช้ $X_1, ..., X_n$ $X$
$\begin{aligned} Q_{n} \equiv V (Σ_{ผม = 1}^{n} X_{ผม}^{2}) & = Σ_{ผม = 1}^{n} V (X_{ผม}^{2}) \\ = n V (X^{2}) \\ = n (E (X^{4}) - E (X^{2})^{2}) \\ = n (μ_{4}^{'} - μ_{2}^{' 2}), \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i^2) \\[6pt]&= n\mathbb{V}(X^2) \\[6pt]&= n(\mathbb{E}(X^4) - \mathbb{E}(X^2)^2) \\[6pt]&= n(\mu_4' - \mu_2'^2), \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $\mu_k' \equiv \mathbb{E}(X^k)$ $\mu_k \equiv \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^k)$ $\mu_1' = \mathbb{E}(X)$ สูตรการแปลงมาตรฐานและจากนั้นเราสามารถค้นหาช่วงเวลากลางของการแจกแจงแบบปกติและแทนที่มันได้

การใช้สูตรการแปลงโมเมนต์ที่คุณควรได้รับ:สำหรับการแจกแจงเรามีค่าเฉลี่ยและช่วงเวลากลางลำดับสูงกว่า ,และ 4 สิ่งนี้ให้เวลาเราดิบ:
$\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = μ_{2} + μ_{1}^{' 2}, \\ μ_{3}^{'} & = μ_{3} + 3 μ_{1}^{'} μ_{2} + μ_{1}^{' 3}, \\ μ_{4}^{'} & = μ_{4} + 4 μ_{1}^{'} μ_{3} + 6 μ_{1}^{' 2} μ_{2} + μ_{1}^{' 4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= \mu_2 + \mu_1'^2, \\[6pt]\mu_3' &= \mu_3 + 3 \mu_1' \mu_2 + \mu_1'^3, \\[6pt]\mu_4' &= \mu_4 + 4 \mu_1' \mu_3 + 6 \mu_1'^2 \mu_2 + \mu_1'^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $X \sim \text{N}(a,b^2)$ $\mu_1' = a$ $\mu_2 = b^2$ $\mu_3 = 0$ $\mu_4 = 3 b^4$ $\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = ข^{2} + a^{2}, \\ μ_{3}^{'} & = 3 a ข^{2} + a^{3}, \\ μ_{4}^{'} & = 3 ข^{4} + 6 a^{2} ข^{2} + a^{4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= b^2 + a^2, \\[6pt]\mu_3' &= 3 a b^2 + a^3, \\[6pt]\mu_4' &= 3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ ทีนี้ลองแทนที่สิ่งเหล่านี้กลับไปเป็นนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อค้นหาความแปรปรวนของความสนใจ

การแทนที่กลับไปสู่นิพจน์แรกจะให้:สำหรับกรณีพิเศษที่คุณมี2) สามารถแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์นี้สอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหาที่คุณจะได้รับหากคุณใช้วิธีการอื่นในการหาผลลัพธ์ของคุณจากการกระจายแบบไคสแควร์ที่ไม่ใช่ศูนย์กลาง
$\begin{aligned} Q_{n} & = n (μ_{4}^{'} - μ_{2}^{' 2}) \\ = n [(3 ข^{4} + 6 a^{2} ข^{2} + a^{4}) - (ข^{2} + a^{2})^{2}] \\ = n [(3 ข^{4} + 6 a^{2} ข^{2} + a^{4}) - (ข^{4} + 2 a^{2} ข^{2} + a^{4})] \\ = n [2 ข^{4} + 4 a^{2} ข^{2}] \\ = 2 n ข^{2} (ข^{2} + 2 a^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n &= n(\mu_4' - \mu_2'^2) \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^2 + a^2)^2] \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^4 + 2 a^2 b^2 + a^4)] \\[6pt]&= n[2 b^4 + 4 a^2 b^2] \\[6pt]&= 2nb^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $n=2$ $Q_2 = 4b^2 (b^2 + 2a^2)$

ทางเลือกทำงานโดยใช้การกระจายแบบไคสแควร์ที่ไม่ใช่ศูนย์กลาง:เนื่องจากเรามี:การใช้ความแปรปรวนที่เป็นที่รู้จักของการแจกแจงนี้เรามี: ผลลัพธ์นี้ตรงกับผลลัพธ์ด้านบน $X_i / b \sim \text{N}(a/b, 1)$
$Σ_{ผม = 1}^{n} (\frac{X_{ผม}}{ข})^{2} ~ ไม่ใช่ Chi-Sq (k = n, λ = \frac{n a^{2}}{ข^{2}}) .$ $\sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \sim \text{Non-central Chi-Sq}\Big( k=n, \lambda= \frac{n a^2}{b^2} \Big).$ $\begin{aligned} Q_{n} \equiv V (Σ_{ผม = 1}^{n} X_{ผม}^{2}) & = ข^{4} \cdot V (Σ_{ผม = 1}^{n} (\frac{X_{ผม}}{ข})^{2}) \\ = ข^{4} \cdot 2 (k + 2 λ) \\ = 2 ข^{4} (n + 2 \frac{n a^{2}}{ข^{2}}) \\ = 2 n ข^{2} (ข^{2} + 2 a^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= b^4 \cdot \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \Big) \\[6pt]&= b^4 \cdot 2(k+2 \lambda) \\[6pt]&= 2 b^4 \Big( n + 2 \frac{na^2}{b^2} \Big) \\[6pt]&= 2 n b^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$

— Ben - Reinstate Monica
แหล่งที่มา

2

แท็กสปอยเลอร์ไม่จำเป็นและเสียสมาธิ

— Alexis

3

ถ้าและคือตัวแปรสุ่มอิสระเป็นตัวแปรสุ่ม $X$ $Y$ $\text{N} (a, b^2)$ $\left( \frac{X - a}{b} \right)^2 + \left( \frac{Y - a}{b} \right)^2$ $\chi ^2(2)$

คุณคิดว่าคุณจะเอามันไปจากที่นั่นได้ไหม?

— SOULed_Outt
แหล่งที่มา

1

คำตอบคือในที่ไม่ใช่กลางกระจายไคสแควร์

ตัวอย่างเช่นถ้า b = 1 คำตอบสำหรับคำถามของคุณคือ: โดยที่คือจำนวนส่วนประกอบ (และ ) $2(k + 2(a^2))$ $k=2$ $X$ $Y$

— idnavid
แหล่งที่มา