การกระจายตัวแบบปกติมาบรรจบกับการกระจายแบบสม่ำเสมอหรือไม่เมื่อค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเพิ่มขึ้นเป็นไม่สิ้นสุด

การกระจายตัวแบบปกติมาบรรจบกับการแจกแจงบางอย่างหรือไม่หากการเบี่ยงเบนมาตรฐานเติบโตโดยไม่มีขอบเขต? มันจะปรากฏขึ้นกับผมว่าไฟล์ PDF เริ่มต้นมองเช่นการกระจายชุดที่มีขอบเขตที่กำหนดโดยซิก] มันเป็นเรื่องจริงเหรอ?$[-2 \sigma, 2 \sigma]$

คำตอบอื่น ๆ อยู่ที่นี่แล้วทำหน้าที่ได้ดีในการอธิบายว่าทำไม RVs แบบเกาส์เซียนไม่เข้าหาอะไรเลยเมื่อความแปรปรวนเพิ่มขึ้นโดยไม่มีข้อผูกมัด แต่ฉันต้องการชี้ให้เห็นสมบัติที่เหมือนกันซึ่งคอลเล็กชั่น Gaussians เช่นนั้นไม่พอใจ พอเพียงให้ใครบางคนเดาว่าพวกเขากลายเป็นชุดยูนิฟอร์ม แต่กลับกลายเป็นว่าไม่แข็งแกร่งพอที่จะสรุปได้ $\newcommand{\len}{\text{len}}$

พิจารณาคอลเลกชันของตัวแปรสุ่มที่2) ให้จะเป็นช่วงเวลาของความยาวคงที่แน่นอนและสำหรับบางกำหนดคือเป็นแต่ขยับตัวเพียงกว่าโดยคสำหรับช่วงเวลากำหนดจะเป็นความยาวของและทราบว่า(B)X n ∼ N ( 0 , n 2 ) A = [ a 1 , a 2 ] c ∈ R B = A + c B A c I = [ i 1 , i 2 ] len ( I ) = i 2 - i 1 I len $\{X_1,X_2,\dots\}$$X_n \sim \mathcal N(0, n^2)$$A = [a_1,a_2]$$c \in \mathbb R$$B = A +c$$B$$A$$c$$I = [i_1,i_2]$$\len (I) = i_2-i_1$$I$$\len(A) = \len(B)$

ตอนนี้ฉันจะพิสูจน์ผลลัพธ์ต่อไปนี้:

ส่งผลให้เกิด : เป็น\$\vert P(X_n \in A) - P(x_n\in B)\vert \to 0$$n \to \infty$

ฉันเรียกสิ่งนี้ว่าเครื่องแบบเหมือนกันเพราะมันบอกว่าการกระจายตัวของมากขึ้นมีช่วงเวลาคงที่สองเท่าของความยาวเท่ากันโดยมีความน่าจะเป็นเท่ากันไม่ว่าพวกมันจะห่างกันเท่าไหร่ นั่นเป็นคุณสมบัติที่เหมือนกันอย่างแน่นอน แต่อย่างที่เราจะเห็นว่าไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับการกระจายตัวที่แท้จริงของบรรจบกันเป็นชุดที่เหมือนกัน$X_n$$X_n$

Pf: โปรดทราบว่าโดยที่ดังนั้น ฉันสามารถใช้ขอบเขต (หยาบมาก) ที่เพื่อรับ X 1 ∼ N ( 0 , 1 ) P ( X n ∈ A ) = P ( a 1 ≤ n X 1 ≤ a 2 ) = P ( a $X_n = n X_1$$X_1 \sim \mathcal N(0, 1)$=

$$P(X_n \in A) = P(a_1 \leq n X_1 \leq a_2) = P\left(\frac{a_1}{n} \leq X_1 \leq \frac{a_2}n\right)$$ อี- x 2 / 2 ≤ 1 $$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx.$$ $e^{-x^2/2} \leq 1$= len ( A $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} 1\,\text dx$$ $$= \frac{\text{len}(A)}{n\sqrt{2\pi}}.$$

ฉันสามารถทำสิ่งเดียวกันกับที่เพื่อรับ P ( X n ∈ B ) ≤ len ( B $B$

$$P(X_n \in B) \leq \frac{\text{len}(B)}{n\sqrt{2\pi}}.$$

การรวมเข้าด้วยกันฉันมี เป็น (ฉันใช้ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมที่นี่)

$$\left\vert P(X_n \in A) - P(X_n \in B)\right\vert \leq \frac{\sqrt 2 \text{len}(A) }{n\sqrt{\pi}} \to 0$$ $n\to\infty$

$\square$

สิ่งนี้แตกต่างจากในการกระจายแบบสม่ำเสมออย่างไร ฉันเพิ่งพิสูจน์ว่าความน่าจะเป็นที่ได้รับจากช่วงเวลาคงที่สองช่วงใด ๆ ของความยาวอัน จำกัด เดียวกันนั้นเข้ามาใกล้กันมากขึ้นและใกล้ชิดยิ่งขึ้นซึ่งทำให้รู้สึกได้ว่าเมื่อความหนาแน่นนั้น "แบนออก" จากมุมมองของและ$X_n$$A$$B$

แต่เพื่อให้มาบรรจบกันในการกระจายตัวแบบสม่ำเสมอฉันต้องการเพื่อมุ่งหน้าไปสู่สัดส่วนกับสำหรับช่วงเวลาใด ๆ ของและนั่นเป็นสิ่งที่แตกต่างกันมากเพราะ ความต้องการนี้จะนำไปใช้ใด ๆไม่ได้เป็นเพียงหนึ่งในการแก้ไขในล่วงหน้า (และอื่น ๆ ตามที่กล่าวนี้ยังเป็นไปไม่ได้แม้กระทั่งสำหรับการจัดจำหน่ายด้วยการสนับสนุนมากมายก)$X_n$$P(X_n \in I)$$\text{len}(I)$$I$$I$

ความน่าจะเป็นที่ผิดพลาดโดยทั่วไปคือการคิดว่าการแจกแจงนั้นมีความเหมือนกันเพราะมันดูแบนเมื่อค่าทั้งหมดใกล้ศูนย์ นี่เป็นเพราะเรามักจะเห็นว่าและยังนั่นคือช่วงเวลาเล็ก ๆ รอบคือ 1,000 เท่า แนวโน้มกว่าขนาดเล็กทั่วช่วงปีf ( x ) / f ( y ) = 0.001 / 0.000001 = 1,000 x $f(x)=0.001 \approx 0.000001=f(y)$$f(x)/f(y)=0.001/0.000001=1000$$x$$y$

มันแน่นอนไม่สม่ำเสมอบนเส้นจริงทั้งในขีด จำกัด ที่ไม่มีการกระจายชุดบนinfty) นอกจากนี้ยังไม่ได้ประมาณเครื่องแบบซิก][ - 2 σ , 2 σ $(-\infty,\infty)$$[-2\sigma,2\sigma]$

คุณสามารถดูหลังจากกฎ 68-95-99.7 ที่คุณคุ้นเคย ถ้ามันมีความสม่ำเสมอโดยประมาณในดังนั้นความน่าจะเป็นที่อยู่ในและควรเหมือนกันเนื่องจากสองช่วงเหมือนกัน ความยาว. แต่นี้เป็นกรณีที่ไม่:ยัง0.135[ 0 , σ ] [ σ , 2 σ ] P ( [ 0 , σ ] ) ≈ 0.68 / 2 = 0.34 P ( [ σ , 2 σ ] ) ≈ ( 0.95 - 0.68 ) / 2 = $[-2\sigma,2\sigma]$$[0,\sigma]$$[\sigma,2\sigma]$$P([0,\sigma])\approx 0.68/2= 0.34$$P([\sigma,2\sigma])\approx (0.95-0.68)/2 = 0.135$

เมื่อดูทั่วทั้งเส้นจริงลำดับการแจกแจงปกตินี้จะไม่รวมเข้ากับการแจกแจงความน่าจะเป็นใด ๆ มีสองสามวิธีในการดูสิ่งนี้ เป็นตัวอย่าง cdf ของปกติที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือและสำหรับทั้งหมดซึ่งไม่ใช่ cdf ของตัวแปรสุ่มใด ๆในความเป็นจริงมันไม่ใช่ cdf เลย$\sigma$$F_\sigma(x) = (1/2)(1+\mbox{erf}(x/\sqrt{2}\sigma)$$\lim_{\sigma\rightarrow\infty} F_\sigma(x) = 1/2$$x$

เหตุผลของการไม่ลู่เข้าสู่ "มวลขาดทุน" นี้คือขีด จำกัด ฟังก์ชั่น จำกัด ของการแจกแจงแบบปกตินั้นมีความเป็นไปได้ที่ "หายไป" (เช่นหนีไปไม่มีที่สิ้นสุด) สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับแนวคิดของความรัดกุมของการวัดซึ่งให้เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับลำดับของตัวแปรสุ่มในการรวมเข้ากับตัวแปรสุ่มอื่น

คำแถลงของคุณpdf เริ่มดูเหมือนการแจกแจงแบบเดียวกันกับขอบเขตที่กำหนดโดย$[−2σ,2σ]$ไม่ถูกต้องหากคุณปรับให้ตรงกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่กว้างขึ้น$\sigma$

พิจารณาแผนภูมินี้ของความหนาแน่นปกติสองค่าที่มีศูนย์เป็นศูนย์ เส้นโค้งสีแดงสอดคล้องกับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและเส้นโค้งสีน้ำเงินเท่ากับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและแน่นอนว่ากรณีที่เส้นโค้งสีน้ำเงินเกือบราบกับ$1$$10$$[-2,2]$

แต่สำหรับเส้นโค้งสีฟ้าที่มีเราควรจะจริงจะมองที่รูปร่างของมันบน[-20,20]การลดขนาดทั้ง -axis และ -axis ตามปัจจัยที่ให้พล็อตต่อไปนี้และคุณจะได้รูปร่างที่เหมือนกันสำหรับความหนาแน่นสีน้ำเงินในพล็อตต่อมานี้เป็นความหนาแน่นสีแดงในพล็อตก่อนหน้า $\sigma=10$$[-20,20]$$x$$y$$10$

$\sigma = 1$$\mu = 0, \sigma = \sigma^*$$[-2\sigma^*, 2\sigma^*]$$\sigma^*$

$\mu = 0, \sigma = \sigma^*$$\sigma^* \rightarrow \infty$$[-2, 2]$