K ประสบความสำเร็จในการทดลอง Bernoulli หรือการทดลองภาพยนตร์ของ George Lucas

ฉันกำลังอ่าน "The Drunkard's Walk" ตอนนี้และไม่สามารถเข้าใจเรื่องใดเรื่องหนึ่งได้

นี่มันไป:

ลองนึกภาพว่า George Lucas สร้างภาพยนตร์ Star Wars ใหม่และในตลาดการทดสอบเดียวตัดสินใจทำการทดลองที่บ้า เขาเผยแพร่ภาพยนตร์เรื่องเดียวกันภายใต้สองชื่อ: "Star Wars: Episode A" และ "Star Wars: Episode B" ภาพยนตร์แต่ละเรื่องมีแคมเปญการตลาดและตารางการจัดจำหน่ายของตัวเองโดยมีรายละเอียดที่เหมือนกันยกเว้นตัวอย่างภาพยนตร์และโฆษณาสำหรับภาพยนตร์เรื่องหนึ่งที่พูดว่า "Episode A" และภาพยนตร์อื่น ๆ "Episode B"

ตอนนี้เราทำการประกวดออกมา ภาพยนตร์เรื่องใดที่จะได้รับความนิยมมากขึ้น สมมติว่าเราดูผู้ชมภาพยนตร์ 20,000 คนแรกและบันทึกภาพยนตร์ที่พวกเขาเลือกที่จะดู (ไม่สนใจแฟน ๆ ที่กำลังจะตายทั้งคู่และยืนยันว่ามีความแตกต่างที่ลึกซึ้ง แต่มีความหมายระหว่างทั้งสอง) เนื่องจากภาพยนตร์และแคมเปญการตลาดของพวกเขาเหมือนกันเราสามารถสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ด้วยวิธีนี้: ลองนึกภาพผู้ชมทั้งหมดในแถวและพลิกเหรียญสำหรับผู้ชมแต่ละคน ถ้าเหรียญก้มลงหัวเขาหรือเธอเห็นตอนที่ A; หากเหรียญก้อยจบลงก็เป็นตอนที่ B. เนื่องจากเหรียญมีโอกาสเท่ากันที่จะเกิดขึ้นไม่ว่าด้วยวิธีใดคุณอาจคิดว่าในสงครามบ็อกซ์ออฟฟิศทดลองนี้ภาพยนตร์แต่ละเรื่องควรเป็นผู้นำในครึ่งเวลา

แต่คณิตศาสตร์ของการสุ่มบอกว่าเป็นอย่างอื่น: จำนวนการเปลี่ยนแปลงที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดในการเป็นผู้นำคือ 0 และมันน่าจะเป็น 88 เท่าที่หนึ่งในสองเรื่องจะนำไปสู่ลูกค้า 20,000 รายมากกว่าที่กล่าว "

ฉันอาจไม่ถูกต้องให้เหตุผลกับปัญหาการทดลองแบบธรรมดาของเบอร์นูลีและต้องบอกว่าฉันล้มเหลวที่จะดูว่าทำไมผู้นำไม่เห็นด้วยโดยเฉลี่ย! มีใครอธิบายได้บ้าง

นี่คือรหัส R เพื่อจำลองการทดลองของ George Lucas:

B<-20000
steps<-2*rbinom(B,1,0.5)-1
rw<-cumsum(steps)
ts.plot(rw,xlab="Number of customers",ylab="Difference")

เรียกใช้เราได้รับภาพเช่นนี้:

โดยที่ความแตกต่างของตั๋วที่ขายระหว่าง A และ B อยู่บนแกน y

ต่อไปเราวิ่งเช่นการจำลองการทดลองจอร์จลูคัส สำหรับการทดสอบแต่ละครั้งเราคำนวณสัดส่วนของเวลาที่ใช้≥ 0นั่นคือสัดส่วนของผู้ชมที่เรียงแถวซึ่งจำนวนตั๋วที่ขายให้กับ A มากกว่าหรือเท่ากับจำนวนตั๋วที่ขายให้ B โดยสังหรณ์ใจคุณต้องการ บอกว่าสัดส่วนนี้ควรจะประมาณ1 / 2 นี่คือฮิสโตแกรมของผลลัพธ์:$10,000$$\geq 0$$1/2$

สัดส่วนเป็นโดยเฉลี่ยในแง่ที่ว่ามูลค่าที่คาดว่าจะเป็น1 / 2แต่1 / 2เป็นค่าน่าเมื่อเทียบกับค่าใกล้เคียงกับ0หรือ1 สำหรับการทดลองส่วนใหญ่ความแตกต่างอาจเป็นไปในทางบวกหรือทางลบเป็นส่วนใหญ่!$1/2$$1/2$$1/2$$0$$1$

เส้นโค้งสีแดงเป็นฟังก์ชั่นความหนาแน่นของการกระจาย arcsine ยังเป็นที่รู้จักในฐานะ$\mbox{Beta}(1/2,1/2)$การจัดจำหน่าย สิ่งที่แสดงในภาพด้านบนคือทฤษฎีบทที่เรียกว่ากฎ arscineแรกสำหรับการเดินสุ่มซึ่งกล่าวว่าเมื่อจำนวนขั้นตอนของการเดินสุ่มแบบสมมาตรแบบเรียบง่ายเข้าใกล้อนันต์การกระจายของสัดส่วนของเวลาที่ใช้มากกว่ามีแนวโน้มที่ การกระจายอาร์ซีซีน การอ้างอิงมาตรฐานสำหรับผลลัพธ์นี้คือส่วนที่ III.4 ของทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้นและการนำไปใช้งาน, Vol 1โดย William Feller$0$

รหัส R สำหรับการศึกษาแบบจำลองคือ

prop<-vector(length=10000)
for(i in 1:10000)
{
    steps<-2*rbinom(B,1,0.5)-1
    rw<-cumsum(steps)
    prop[i]<-sum(rw>=0)/B
}
hist(prop,freq=FALSE,xlab="Proportion of time spent above 0",main="George Lucas experiment")
curve(dbeta(x,1/2,1/2),0,1,col=2,add=TRUE)

$1/2$$t$$t=1$$3/4$$t=3$$t$

$1$$1$

$20,000$

หากคุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นบางอย่างคุณต้องนับบางสิ่งที่คล้ายกับการเดินขัดแตะซึ่งไม่ข้ามเส้นทแยงมุม มีวิธีการรวมกันที่ดีซึ่งนำไปใช้กับการเดินแบบสุ่ม (และเคลื่อนที่) ซึ่งไม่ได้ข้ามเส้นดังกล่าวเรียกว่าหลักการการสะท้อนหรือเป็นวิธีการสะท้อน นี่คือวิธีการหนึ่งในการกำหนดหมายเลขคาตาลัน นี่คือสองแอปพลิเคชันอื่น ๆ :

$A$$10,200-9,800$$20,000 \choose 9,800$$(10,200, 9,800)$$B$$B$$B$$(9,799, 10,201)$$(10,200, 9,800)$$B$${20,000 \choose 9,800} - {20,000 \choose 10,201} = {20,000 \choose 9,800} - {20,000 \choose 9,799} = {20,000 \choose 9,800} \frac{401}{10,201}.$$B$$(10,200, 9,800),$$96\%$

$A$${20,000 \choose 10,000} \approx 2^{20,000}/\sqrt{10,000 \pi}.$$A$$\frac{1}{100 \sqrt{\pi}}$$\frac{1}{50 \sqrt{\pi}} \approx 1/89.$$56$

"มีความเป็นไปได้มากขึ้นที่จะมี 88 ครั้งที่หนึ่งในสองภาพยนตร์จะนำไปสู่ลูกค้าทั้งหมด 20,000 รายมากกว่าที่เป็นเช่นนั้น

ในภาษาอังกฤษธรรมดา: ภาพยนตร์เรื่องหนึ่งที่นำไปสู่การเริ่มต้น มันเป็นเพราะลูกค้ารายแรกต้องไปที่ A หรือ B ภาพยนตร์เรื่องนั้นก็น่าจะเป็นผู้นำในการสูญเสียมัน

เสียงน่าจะเป็น 88 เท่าและไม่น่าเป็นไปได้จนกว่าคุณจะจำได้ว่าการเลื่อยไม้ที่สมบูรณ์แบบนั้นไม่น่าจะเป็นไปได้ แผนภูมิในคำตอบของ MansT ที่แสดงภาพนี้เป็นสิ่งที่น่าสนใจใช่มั้ย

นอกเหนือ: ส่วนตัวผมคิดว่ามันจะเป็นมากกว่า 88 ครั้ง - เนื่องจากการตลาดแบบปากต่อปาก<buzzword-alert> </buzzword-alert>แต่ละคนจะถามคนอื่น ๆ ในสิ่งที่พวกเขาเห็นและมีแนวโน้มที่จะไปดูหนังเรื่องเดียวกัน พวกเขาจะทำสิ่งนี้โดยไม่รู้ตัว: ผู้คนมีแนวโน้มที่จะเข้าร่วมคิวยาวเพื่อดูอะไรบางอย่าง คือทันทีที่การสุ่มในหมู่ลูกค้าสองสามคนแรกสร้างผู้นำจิตวิทยาของมนุษย์จะทำให้มันเป็นผู้นำ :-)