ขอบเขตของความแตกต่างของตัวแปรสุ่มที่สัมพันธ์กัน

ด้วยตัวแปรสุ่มที่มีความสัมพันธ์สูงสองตัวและฉันต้องการที่จะจำกัดความน่าจะเป็นที่ความแตกต่างเกินจำนวนที่กำหนด: $X$ $Y$ $|X - Y|$

P (| X - Y | > K) < δ

$P( |X - Y| > K) < \delta$

สมมติว่าความเรียบง่ายนั้น:

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เป็นที่รู้กันว่า "สูง" พูดว่า: $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$
$X,Y$ มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์: $\mu_x = \mu_y = 0$
$-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ (หรือ ถ้ามันง่ายกว่า) $0 \leq x_i, y_i \leq 1$
(ถ้าทำให้สิ่งต่าง ๆ ง่ายขึ้นสมมติว่า $X,Y$ มีความแปรปรวนเหมือนกัน: $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$ )

ไม่แน่ใจว่าเป็นไปได้ที่จะได้รับขอบเขตความแตกต่างที่ได้รับจากข้อมูลข้างต้นเท่านั้น (แน่นอนฉันไม่สามารถไปได้ทุกที่) โซลูชันเฉพาะ (ถ้ามี) ข้อ จำกัด เพิ่มเติมที่บังคับใช้เพื่อกำหนดการกระจายหรือเพียงแค่คำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการจะดี

correlation mathematical-statistics bounds

— Avanti89
แหล่งที่มา

แม้ว่าจะไม่มีข้อสมมติฐานที่ทำให้เข้าใจง่ายเหล่านี้ก็สามารถรับขอบเขตได้ด้วยการรวมเครื่องมือสองสามอย่าง:

ความแปรปรวนของความแตกต่างของสองตัวแปรความสัมพันธ์ มันช่วยให้เราเปลี่ยนปัญหาตัวแปรสองตัวเป็นปัญหาที่ไม่แปร
ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev มันให้ความผูกพันกับความน่าจะเป็นที่มากกว่าค่าที่กำหนด

ในรายละเอียดบางอย่าง:

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot c o v (X, Y)

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$

c o v (X, Y) = σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X Y}

$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$

ตามความไม่เสมอภาคของ Chebyshev สำหรับตัวแปรสุ่มใด ๆ : $Z$

Pr (| Z - μ | \geq k σ) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

จากนั้น (และใช้ : $\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

Pr (| X - Y - μ_{X} + μ_{Y} | \geq k \cdot \sqrt{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$

เราสามารถใช้สมมติฐานที่ทำให้เข้าใจง่ายที่เสนอเพื่อรับนิพจน์ที่ง่ายขึ้น เมื่อไหร่:

ρ_{X, Y} = c o v a r (X, Y) / σ_{X} σ_{Y} = 1 - ϵ

$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$

μ_{x} = μ_{y} = 0

$\mu_x = \mu_y = 0$

σ_{X}^{2} = σ_{Y}^{2} = σ^{2}

$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$

แล้ว:

σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y} = 2 \cdot σ^{2} \cdot (1 - (1 - ϵ)) = 2 σ^{2} ϵ

$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$

และดังนั้นจึง:

Pr (| X - Y | \geq k \cdot σ \sqrt{2 ϵ}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$

สิ่งที่น่าสนใจคือผลลัพธ์นี้ยังคงอยู่แม้ว่าจะไม่เล็กและหากเงื่อนไขของการเปลี่ยนแปลงสหสัมพันธ์จากเป็นผลลัพธ์จะไม่เปลี่ยนแปลง (เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันอยู่แล้ว) $\epsilon$ $=1-\epsilon$ $\geq 1-\epsilon$

— Pere
แหล่งที่มา