วิธีการตีความสัมประสิทธิ์การถดถอยเมื่อการตอบสนองถูกแปลงโดยรากที่ 4?

ฉันกำลังใช้การรูทที่สี่ ( 1/4) การแปลงพลังงานกับตัวแปรตอบกลับของฉันซึ่งเป็นผลมาจากความต่างระดับ แต่ตอนนี้ฉันไม่แน่ใจว่าจะตีความสัมประสิทธิ์การถดถอยของฉันได้อย่างไร

ฉันคิดว่าฉันจะต้องใช้สัมประสิทธิ์เป็นกำลังสี่เมื่อฉันแปลงกลับ (ดูด้านล่างผลลัพธ์การถดถอย) ตัวแปรทั้งหมดอยู่ในหน่วยดอลลาร์เป็นล้าน แต่ฉันอยากรู้ว่าการเปลี่ยนแปลงของเงินดอลลาร์เป็นพันล้าน

ในขณะที่มีค่าคงที่ตัวแปรอิสระอื่น ๆ การเปลี่ยนแปลงค่าธรรมเนียมโดยพันล้านดอลลาร์โดยเฉลี่ยนำไปสู่การเปลี่ยนแปลง32(หรือ 32,000 ดอลลาร์) ในการรวบรวม ฉันใช้เวลา(ที่จะได้รับพันล้าน)0.000075223 * 1000 ^ 4 = 0.000032ตอนนี้ฉันจะคูณจำนวนนี้ด้วย 1 ล้านหรือ 1 พันล้าน (หน่วยดั้งเดิมของตัวแปรตามคือล้าน)

lm(formula = (Collections^(1/4)) ~ Fees + DIR)

                 Estimate      Std. Error  t value            Pr(>|t|)
(Intercept)   2.094573355     0.112292375   18.653  0.0000000000000151
Fees        **0.000075223   **0.000008411    8.943  0.0000000131878713
DIR           0.000022279     0.000004107    5.425  0.0000221138881913

ทางออกที่ดีที่สุดคือเริ่มแรกเพื่อเลือกการแสดงออกที่มีความหมายในด้านการศึกษา

(ตัวอย่างเช่นเมื่อน้ำหนักร่างกายลดลงจากปัจจัยอิสระอาจเป็นไปได้ว่าจะระบุลูกบาศก์รูท (กำลัง) หรือสแควร์รูท (กำลังไฟฟ้า) จะสังเกตว่าน้ำหนักนั้นเป็นพร็อกซีที่ดีสำหรับปริมาตรลูกบาศก์ root เป็นความยาวที่แสดงถึงขนาดเส้นตรงลักษณะนี้ endows ด้วยความหมายที่เข้าใจง่ายและอาจตีความได้ถึงแม้ว่ารากที่สองนั้นไม่มีการตีความที่ชัดเจนดังกล่าว แต่ก็ใกล้เคียงกับกำลังซึ่งมีมิติของพื้นที่ผิว : อาจสอดคล้องกับพื้นที่ผิวทั้งหมด)1 / 2 2 /$1/3$$1/2$$2/3$

พลังงานที่สี่นั้นใกล้เคียงกับลอการิทึมเพียงพอที่คุณควรพิจารณาใช้บันทึกแทนซึ่งมีความหมายที่เข้าใจกันดี แต่บางครั้งเราพบว่าคิวบ์รูทหรือสแควร์รูทหรือพลังเศษส่วนบางอย่างนั้นทำได้ดีมากและไม่มีการตีความที่ชัดเจน จากนั้นเราต้องทำเลขคณิตเล็กน้อย

แบบจำลองการถดถอยที่แสดงในคำถามเกี่ยวข้องกับตัวแปร ("คอลเลกชัน") และตัวแปรอิสระสองตัว ("ค่าธรรมเนียม") และ ("DIR") มันวางตัวว่าX 1 X $Y$$X_1$$X_2$

$$Y^{1/4} = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 +\varepsilon.$$

รหัสประมาณการเป็น ,เป็นและเป็นb_2นอกจากนี้ยังถือว่าเป็น iid ปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และประเมินค่าความแปรปรวนทั่วไป (ไม่แสดง) ด้วยการประมาณการเหล่านี้ค่าติดตั้งของคือข0 = 2.094573355 β 1 ข1 = 0.000075223 β 2 ข2 = 0.000022279 ε Y 1 /$\beta_0$$b_0=2.094573355$$\beta_1$$b_1=0.000075223$$\beta_2$$b_2=0.000022279$$\varepsilon$$Y^{1/4}$

$$\widehat{Y^{1/4}} = b_0 + b_1 X_1 + b_2 X_2.$$

"การตีความ" สัมประสิทธิ์การถดถอยโดยปกติหมายถึงการพิจารณาว่าการเปลี่ยนแปลงใดในตัวแปรตามที่แนะนำโดยการเปลี่ยนแปลงที่กำหนดในแต่ละตัวแปรอิสระ การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้เป็นสัญญาซื้อขายล่วงหน้าซึ่งกฎลูกโซ่บอกเราจะเท่ากับ 3 เราจะเสียบค่าประมาณแล้วพูดอะไรทำนองนี้ 4 β i Y $dY/dX_i$$4\beta_iY^3$

ประมาณการถดถอยว่าการเปลี่ยนแปลงในหน่วยจะเชื่อมโยงกับการเปลี่ยนแปลงในของ = 3 Y 4 ขฉันY 3 4 ขฉัน( ข0 + ข1 X 1 + B 2 X 2 )$X_i$$Y$$4b_i\widehat{Y}^3$$4b_i\left(b_0+b_1X_1+b_2X_2\right)^3$

การพึ่งพาการตีความในและนั้นไม่เพียง แต่แสดงออกด้วยคำพูดX $X_1$$X_2$ไม่เหมือนกับสถานการณ์ที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงของ (การเปลี่ยนแปลงหนึ่งหน่วยในเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของใน ) หรือลอการิทึม (การเปลี่ยนแปลงหนึ่งเปอร์เซ็นต์ในเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงร้อยละใน ) อย่างไรก็ตามโดยการรักษารูปแบบแรกของการตีความและคำนวณ = =เราอาจบอกอะไรบางอย่างเช่น X ฉันB ฉัน Y X ฉันB ฉัน Y4 b 1 4×0.000075223$Y$$X_i$$b_i$$Y$$X_i$$b_i$$Y$$4b_1$$4\times 0.000075223$$0.000301$

ค่าธรรมเนียมการเปลี่ยนแปลงหน่วยมีความเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงในคอลเลกชัน เท่าลูกบาศก์ของคอลเลกชันปัจจุบัน; ตัวอย่างเช่นหากคอลเลกชันปัจจุบันคือการเพิ่มค่าธรรมเนียมจะเกี่ยวข้องกับการเพิ่มขึ้นของในคอลเลกชันและหากคอลเลกชันปัจจุบันเป็นการเพิ่มขึ้นของค่าธรรมเนียมหน่วยเดียวกันจะเชื่อมโยงกับการเพิ่มขึ้นในคอลเลกชัน10 0.301 20 $0.000301$$10$$0.301$$20$$2.41$

---

เมื่อทำการรูตนอกเหนือจากข้อที่สี่ - พูดเมื่อใช้เป็นคำตอบมากกว่าตัวเองด้วยไม่ใช่ศูนย์ - เพียงแทนที่ลักษณะทั้งหมดของ " " ในการวิเคราะห์นี้ด้วย " " Y p 4 1 /$Y^p$$Y$$p$$4$$1/p$

อีกทางเลือกหนึ่งสำหรับการแปลงรูปนี้คือการใช้โมเดลเชิงเส้นทั่วไปที่มีกำลังงานเชื่อมโยงและกำลัง 1/4 ตระกูลข้อผิดพลาดที่จะใช้คืออะไรเปิดซึ่งจะช่วยให้คุณมีความยืดหยุ่นมากกว่าที่คุณมีกับการถดถอยเชิงเส้นและสมมติฐานของภาวะปกติ ข้อได้เปรียบที่สำคัญอย่างหนึ่งของขั้นตอนนี้คือการคาดการณ์จะถูกสร้างขึ้นโดยอัตโนมัติในระดับการวัดดั้งเดิมดังนั้นจึงไม่มีคำถามเรื่องการแปลงกลับ

ฉันเคยเห็นเอกสารที่ใช้ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยรากควอร์ติคในการคิดเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในขณะที่หลีกเลี่ยงการบันทึก (และการสังเกตลดลง)

หากเราสนใจที่จะใช้รูตควอติคเพื่อคำนวณการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์เรารู้ว่า:

$\hat{Y} = (\alpha + \hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2)^4 \implies \frac{d\hat{Y}}{dX_1} = 4\hat{\beta}_1(\alpha+\hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2)^3$

สำหรับการเทียบเท่าการถดถอยระดับล็อกซึ่งเราสนใจในการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในซึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงหน่วยในเราต้องทราบระดับของตัวแปรทั้งหมด:$Y$$X$$X$

$\frac{d\hat{Y}/dX_1}{Y} = \frac{4\hat{\beta}_1}{\alpha + \hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2}$

สำหรับการเทียบเท่า log-log regression ซึ่งเราสนใจเปอร์เซ็นต์ในซึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในเราจะได้:$Y$$X$

$\frac{d\hat{Y}}{dX_1}\frac{X_1}{\hat{Y}} = \frac{4\hat{\beta}_1 X_1}{\alpha + \hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2}$

ดูเหมือนจะไม่สะดวกโดยเฉพาะอย่างยิ่ง (ฉันชอบการแปลงบันทึก) แต่ก็สามารถทำได้ทั้งการประเมินค่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างหรือที่ค่าสมมุติ $X$

จริง ๆ แล้วคุณสามารถแทนที่ตัวส่วนด้วยค่าเฉลี่ยตัวอย่างของและนั่นจะสะดวกกว่าเล็กน้อย$Y^{1/4}$