ปัญหาการตกปลา

สมมติว่าคุณต้องการตกปลาที่ทะเลสาบใกล้เคียงตั้งแต่ 8.00 น. - 20.00 น. เนื่องจากการประมงมากเกินไปจึงมีกฎหมายเข้ามากล่าวว่าคุณสามารถจับปลาได้วันละหนึ่งตัวเท่านั้น เมื่อคุณจับปลาคุณสามารถเลือกที่จะเก็บมันไว้ (และกลับบ้านไปกับปลาตัวนั้น) หรือโยนมันกลับเข้าไปในทะเลสาบและทำการตกปลาต่อไป (แต่เสี่ยงต่อการตกปลาในภายหลังด้วยปลาตัวเล็ก ๆ หรือไม่มีปลาเลย) คุณต้องการที่จะจับปลาตัวใหญ่เท่าที่จะทำได้ โดยเฉพาะคุณต้องการเพิ่มจำนวนปลาที่คาดว่าจะนำกลับบ้านให้ได้มากที่สุด

อย่างเป็นทางการเราอาจตั้งค่าปัญหานี้ดังนี้: ปลาถูกจับในอัตราที่แน่นอน (ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการจับปลาต่อไปของคุณจะเป็นไปตามการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลที่รู้จัก) และขนาดของปลาที่จับได้ . เราต้องการกระบวนการตัดสินใจที่กำหนดเวลาปัจจุบันและขนาดของปลาที่คุณเพิ่งจับตัดสินใจว่าจะเก็บปลาหรือทิ้งมัน

ดังนั้นคำถามคือการตัดสินใจนี้ควรทำอย่างไร? มีวิธีที่เรียบง่าย (หรือซับซ้อน) ในการตัดสินใจว่าจะหยุดตกปลาเมื่อไหร่? ฉันคิดว่าปัญหานั้นเทียบเท่ากับการพิจารณาในช่วงเวลาที่กำหนด t สิ่งที่คาดว่าจะได้จากการหาปลาที่ดีที่สุดจะกลับบ้านถ้าพวกเขาเริ่มในเวลา t; กระบวนการตัดสินใจที่ดีที่สุดจะทำให้ปลาได้หากว่าหากว่าปลานั้นหนักกว่าที่คาดไว้ แต่ดูเหมือนว่าการอ้างอิงตนเอง; เรากำหนดกลยุทธ์การตกปลาที่ดีที่สุดในแง่ของการตกปลาที่ดีที่สุดและฉันไม่แน่ใจว่าจะดำเนินการต่อไปได้อย่างไร

ให้$\lambda$แทนอัตราของกระบวนการปัวซองและให้$S(x)=1-F(x)$โดยที่$F(x)$เป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของการกระจายขนาดปลา

ให้$t=0$แสดงถึงการสิ้นสุดของวันและให้$g(t)$ , $t\le 0$ , แทน catch ที่คาดไว้ในช่วงเวลา$(t,0)$เราได้รับหากใช้กลยุทธ์ที่ดีที่สุด เห็นได้ชัด$g(0)=0$ 0 นอกจากนี้ถ้าเราจับปลาที่มีขนาด$x$ในเวลา$t$เราควรจะเก็บไว้และหยุดตกปลาถ้ามันมีขนาดใหญ่แล้ว$g(t)$ ) นี่คือกฎการตัดสินใจของเรา ดังนั้นการตระหนักถึงกระบวนการและการตัดสินใจที่ตระหนัก (จุดสีเขียว) อาจมีลักษณะดังนี้:

ทำงานในเวลาต่อเนื่องโดยใช้ความคิดจากการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกสุ่มการเปลี่ยนแปลงใน$g(t)$ย้อนหลังในเวลาอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์อย่างง่าย พิจารณาช่วงเวลาเล็ก$(t-dt,t)$ ) ความน่าจะเป็นว่าเราจับปลาที่มีขนาด$X>g(t)$ในช่วงเวลานี้มีที่

$$\lambda dt S(g(t)),$$ มิฉะนั้นจับคาดว่าเราจะเป็น$g(t)$ .

การใช้สูตรสำหรับชีวิตที่เหลือหมายถึงขนาดที่คาดหวังของปลาที่มีขนาดใหญ่กว่า$g(t)$ เป็น

$$E(X|X>g(t))=g(t)+\frac1{S(g(t))}\int_{g(t)}^\infty S(x)dx.$$

ดังนั้นเมื่อใช้กฎความคาดหวังทั้งหมดการจับที่คาดหวังในช่วงเวลา$(t-dt,0)$จะกลายเป็น

$$g(t-dt) =[\lambda dt S(g(t))][g(t)+\frac1{S(g(t))}\int_{g(t)}^\infty S(x)dx] + [1-\lambda dt S(g(t)] g(t).$$

การจัดเรียงใหม่เราพบว่า$g(t)$สอดคล้องกับ

$$\frac{dg}{dt}=-\lambda \int_{g(t)}^\infty S(x) dx. \tag{1}$$ หมายเหตุวิธี$g(t)$ในช่วงสุดท้ายของการลดลงของวันในอัตราที่เท่ากับสินค้าของอัตราปัวส์ซอง$\lambda$และขนาดปลาเฉลี่ย$\int_0^\infty S(x)dx$สะท้อนให้เห็นว่าเรามาถึงจุดที่จะเป็นดีที่สุดออกรักษา ปลาใด ๆ ที่เราอาจจับได้

ตัวอย่างที่ 1 : สมมติว่าปลาขนาด$X\sim \exp(\alpha)$ดังกล่าวว่า$S(x)=e^{-\alpha x}$ x สมการ (1) จากนั้นลดความซับซ้อนเป็น

$$\frac{dg}{dt}=-\frac\lambda\alpha e^{-\alpha g(t)}$$ ซึ่งเป็นสมการอนุพันธ์ การใช้เงื่อนไขขอบเขตด้านบนการแก้ปัญหาคือ $$g(t) = \frac1\alpha\ln(1-\lambda t),$$ สำหรับ$t\le 0$แสดงในรูปที่ดังกล่าวข้างต้นสำหรับ$\alpha=\lambda=1$1 รหัสต่อไปนี้เปรียบเทียบจับหมายถึงการใช้กลยุทธ์นี้คำนวณบนพื้นฐานของการจำลองที่มีความหมายในทางทฤษฎี$g(-12)$)

g <- function(t,lambda, rate) {
  1/rate*log(1-lambda*t)
}
catch <- function(daylength=12, lambda=1, rfn=runif, gfn=g, ...) {
  n <- rpois(1,daylength*lambda)
  starttime <- -daylength
  arrivaltimes <- sort(runif(n,starttime,0))
  X <- rfn(n,...)
  j <- match(TRUE, X > gfn(arrivaltimes,lambda,...))
  if (is.na(j))
    0
  else
    X[j]
}
nsim <- 1e+5
catches <- rep(0,nsim)
for (i in 1:nsim)
  catches[i] <- catch(gfn=g,rfn=rexp,rate=1,lambda=1)
> mean(catches)
[1] 2.55802
> g(-12,1,1)
[1] 2.564949

ตัวอย่างที่ 2:ถ้า$X \sim U(0,1)$การสืบทอดที่คล้ายกันนำไปสู่

$$g(t) = 1 - \frac1{1-\lambda t/2}$$ เป็นวิธีแก้ปัญหาของ (1) หมายเหตุวิธี$g(t)$มีแนวโน้มที่จะมีขนาดปลาสูงสุดเป็น$t\rightarrow -\infty$∞