ทำไมการแจกแจงโคชีจึงไม่มีความหมาย?

จากฟังก์ชันความหนาแน่นของการกระจายเราสามารถระบุค่าเฉลี่ย (= 0) สำหรับการแจกแจงโคชีเช่นเดียวกับกราฟด้านล่างที่แสดง แต่ทำไมเราถึงบอกว่าการกระจาย Cauchy นั้นไม่มีความหมายเลย?

คุณสามารถตรวจสอบได้โดยอัตโนมัติว่าไม่มีค่าที่คาดหวัง แต่ควรจะเข้าใจได้ง่ายทางร่างกายอย่างน้อยถ้าคุณยอมรับหลักการของ Huygensและกฎหมายจำนวนมาก บทสรุปของกฎจำนวนมากล้มเหลวในการกระจาย Cauchy ดังนั้นจึงไม่มีค่าเฉลี่ย หากคุณเฉลี่ยอิสระตัวแปรสุ่ม Cauchy ผลที่ไม่ได้มาบรรจบกันเพื่อเป็นกับความน่าจะเป็นที่ 1มันยังคงมีการกระจาย Cauchy ขนาดเดียวกัน นี่เป็นสิ่งสำคัญในทัศนศาสตร์$n$n → ∞ $0$$n\to \infty$$1$

การกระจาย Cauchy คือความเข้มแสงปกติบนเส้นจากแหล่งกำเนิด หลักการของ Huygens กล่าวว่าคุณสามารถกำหนดความเข้มได้โดยสมมติว่าแสงถูกปล่อยออกมาจากเส้นใด ๆ ระหว่างแหล่งกำเนิดและเป้าหมาย ดังนั้นความเข้มของแสงบนเส้นที่อยู่ห่างออกไปเมตรจึงสามารถกำหนดได้โดยสมมติว่าแสงกระทบกับเส้นที่ห่างออกไปเมตรแรกและจะถูกปล่อยออกมาอีกครั้งที่มุมไปข้างหน้า ความเข้มของแสงบนเส้นเมตรสามารถแสดงเป็นบิดเท่าของการกระจายของแสงบนเส้นเมตร นั่นคือผลรวมของกระจาย Cauchy อิสระเป็น Cauchy กระจายโดยปัจจัยลดขนาดของn1 n n 1 n $2$$1$$n$$n$$1$$n$$n$

ถ้า Cauchy กระจายมีค่าเฉลี่ยแล้วเปอร์เซ็นต์ TH ของบิดพับหารด้วยจะต้องมาบรรจบกันเพื่อโดยกฎหมายจำนวนมาก แต่มันคงที่ หากคุณทำเครื่องหมายเปอร์เซนต์ไทล์ที่บนเส้น (โปร่งใส) ห่างเมตร, ห่างออกไปเมตร ฯลฯ จากนั้นจุดเหล่านี้จะเป็นเส้นตรงที่องศา พวกเขาไม่โค้งงอไปทาง0n n 0 25 1 2 45 $25$$n$$n$$0$$25$$1$$2$$45$$0$

สิ่งนี้บอกคุณเกี่ยวกับการแจกแจงของ Cauchy โดยเฉพาะ แต่คุณควรรู้การทดสอบครบถ้วนเพราะมีการแจกแจงอื่น ๆ ที่ไม่มีค่าเฉลี่ยซึ่งไม่มีการตีความทางกายภาพที่ชัดเจน

คำตอบที่เพิ่มเข้ามาเพื่อตอบสนองต่อความคิดเห็นของ @ whuber เกี่ยวกับคำตอบของ Michael Chernicks (และเขียนใหม่ทั้งหมดเพื่อลบข้อผิดพลาดที่ชี้โดย whuber)

มูลค่าของอินทิกรัลสำหรับค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่ม Cauchy ถูกกล่าวว่าไม่ได้กำหนดเนื่องจากค่าสามารถ "ทำ" เพื่อเป็นสิ่งที่คนชอบ อินทิกรัล (ตีความในความหมายของรีมันน์ครบถ้วน) คือสิ่งที่เรียกกันทั่วไปว่า อินทิกรัลไม่ถูกต้องและค่าจะต้องคำนวณเป็นค่า จำกัด : หรือ

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$$ $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx = \lim_{T_1\to-\infty}\lim_{T_2\to+\infty} \int_{T_1}^{T_2} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$$ $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx = \lim_{T_2\to+\infty}\lim_{T_1\to-\infty} \int_{T_1}^{T_2} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$$ และหรือการประเมินผลทั้งสองควรให้ค่าที่แน่นอนเดียวกัน ถ้าไม่อินทิกรัลบอกว่าจะไม่ได้กำหนด สิ่งนี้แสดงให้เห็นทันทีว่าทำไมค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม Cauchy ถูกกล่าวถึงไม่ได้กำหนด: ค่า จำกัด ใน diverges ขีด จำกัด ด้านใน

ได้รับค่าเงินต้น Cauchy เป็นข้อ จำกัด เดียว: แทนที่จะเป็นขีด จำกัด สองด้านบน มูลค่าหลักของหนึ่งคาดหวังจะเห็นได้ง่ายที่จะเป็นตั้งแต่ limitand มีค่าสำหรับทุกTแต่นี้ไม่สามารถนำมาใช้เพื่อบอกว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม Cauchy เป็น0นั่นคือค่าเฉลี่ยถูกกำหนดเป็นค่าของอินทิกรัลในความหมายปกติและไม่ได้อยู่ในความหมายตามตัวอักษร

$$\lim_{T\to\infty} \int_{-T}^{T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$$ $0$$0$$T$$0$

สำหรับให้พิจารณาแทนอินทิกรัล ซึ่งเข้าใกล้ค่า จำกัด ของ เป็น Tเมื่อเราจะได้รับค่าต้นกล่าวถึงข้างต้น ดังนั้นเราไม่สามารถกำหนดความหมายที่ชัดเจนให้กับการแสดงออก$\alpha > 0$

$$\begin{align} \int_{-T}^{\alpha T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx &= \int_{-T}^{T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx + \int_{T}^{\alpha T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx\\ &= 0 + \left.\frac{\ln(1+x^2)}{2\pi}\right|_T^{\alpha T}\\ &= \frac{1}{2\pi}\ln\left(\frac{1+\alpha^2T^2}{1+T^2}\right)\\ &= \frac{1}{2\pi}\ln\left(\frac{\alpha^2+T^{-2}}{1+T^{-2}}\right) \end{align}$$ $\displaystyle \frac{\ln(\alpha)}{\pi}$$T\to\infty$$\alpha = 1$$0$
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$$ โดยไม่ได้ระบุว่าทั้งสอง infinities เข้าหาและไม่สนใจประเด็นนี้นำไปสู่การทั้งหมด การเรียงลำดับของภาวะแทรกซ้อนและผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องเพราะสิ่งต่าง ๆ ไม่ได้เป็นอย่างที่พวกเขาทำเมื่อนมที่มีค่าตัวปลอมเป็นเหมือนครีมที่มีคุณค่า นี่คือเหตุผลที่ค่าเฉลี่ยของตัวแปรแบบสุ่มของ Cauchy ถูกกล่าวว่าไม่ได้นิยามแทนที่จะมีค่าซึ่งเป็นค่าหลักของอินทิกรัล$0$

---

หากมีใครใช้วิธีวัดความเป็นไปได้ทางทฤษฎีและความน่าจะเป็นและค่าอินทิกรัลตามที่คาดหวังถูกกำหนดไว้ในความหมายของอินทิกรัลของ Lebesgue ปัญหานี้จะง่ายกว่า มีอยู่เมื่อ มีค่า จำกัด ดังนั้นจึงไม่ได้ถูกกำหนดสำหรับตัวแปรสุ่ม Cauchyเนื่องจากไม่แน่นอน$\int g$$\int |g|$$E[X]$$X$$E[|X|]$

ในขณะที่คำตอบข้างต้นเป็นคำอธิบายที่ถูกต้องว่าทำไมการแจกแจงของ Cauchy ไม่มีความคาดหวัง แต่ฉันพบความจริงที่ว่าอัตราส่วนของสองค่าปกติอิสระตัวแปรคือ Cauchy มี และความคาดหวังที่สองคือ+$X_1/X_2$$\mathcal{N}(0,1)$

$$\mathbb{E}\left[ \frac{|X_1|}{|X_2|} \right] = \mathbb{E}\left[ |X_1| \right] \times \mathbb{E}\left[ \frac{1}{|X_2|} \right]$$ $+\infty$

Cauchy ไม่มีค่าเฉลี่ยเนื่องจากจุดที่คุณเลือก (0) ไม่ใช่ค่าเฉลี่ย มันเป็นค่ามัธยฐานและโหมด ค่าเฉลี่ยสำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่องถูกกำหนดเป็นโดยที่คือฟังก์ชันความหนาแน่นและอินทิกรัลถูกยึดครองโดเมนของ (ซึ่งคือถึงในกรณีของ Cauchy) สำหรับความหนาแน่นของ Cauchy อินทิกรัลนี้ไม่ จำกัด (ครึ่งจากถึงคือและครึ่งจากถึงคือ )$\int x f(x) dx$$f$$f$$-\infty$$\infty$$-\infty$$0$$-\infty$$0$$\infty$$\infty$

การกระจาย Cauchy เป็นความคิดที่ดีที่สุดของการกระจายตัวที่สม่ำเสมอในวงกลมหน่วยดังนั้นมันจะน่าแปลกใจถ้าค่าเฉลี่ยทำให้รู้สึก สมมติว่าเป็น "ฟังก์ชันเฉลี่ย" บางชนิด นั่นคือสมมติว่าสำหรับแต่ละเซตย่อยที่ จำกัดของวงกลมหน่วยคือจุดหนึ่งของวงกลมหน่วย เห็นได้ชัดว่าต้องเป็น "ผิดธรรมชาติ" แม่นยำมากขึ้นไม่สามารถเทียบเคียงกับการหมุน หากต้องการได้รับการแจกแจงโคชีในรูปแบบปกติ แต่เปิดเผยน้อยกว่าให้ฉายวงกลมหน่วยลงบนแกน x จาก (0,1) และใช้เส้นโครงนี้เพื่อถ่ายโอนการกระจายแบบสม่ำเสมอบนวงกลมไปยังแกน x$f$$X$$f(X)$$f$$f$

เพื่อให้เข้าใจว่าทำไมค่าเฉลี่ยจึงไม่มีอยู่ให้คิดว่า x เป็นฟังก์ชันในวงกลมหน่วย มันค่อนข้างง่ายที่จะพบจำนวนอาร์กที่แยกไม่ออกบนวงหน่วยเช่นถ้าส่วนใดส่วนหนึ่งมีความยาว d ดังนั้น x> 1 / 4d บนส่วนโค้งนั้น ดังนั้นส่วนโค้งที่แยกจากกันเหล่านี้มีส่วนร่วมมากกว่า 1/4 ถึงค่าเฉลี่ยและผลรวมทั้งหมดจากส่วนโค้งเหล่านี้จึงไม่มีที่สิ้นสุด เราสามารถทำสิ่งเดียวกันนี้อีกครั้ง แต่ด้วย x <-1 / 4d โดยมีส่วนร่วมทั้งหมดลบด้วยอนันต์ ช่วงเวลาเหล่านี้สามารถแสดงด้วยไดอะแกรม แต่สามารถสร้างไดอะแกรมสำหรับการตรวจสอบไขว้ได้หรือไม่

ค่าเฉลี่ยหรือค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มบางตัวคืออินทิกรัลของ Lebesgue ที่กำหนดเหนือการวัดความน่าจะเป็นบาง : $X$$P$

$$EX=\int XdP$$

การไม่มีอยู่ของค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม Cauchy เพียงหมายความว่าไม่มีส่วนประกอบของ Cauchy rv นี่เป็นเพราะหางของการกระจาย Cauchy เป็นหางที่หนัก (เทียบกับหางของการกระจายแบบปกติ) อย่างไรก็ตามไม่มีการดำรงอยู่ของค่าที่คาดว่าจะไม่ห้ามการดำรงอยู่ของฟังก์ชั่นอื่น ๆ ของตัวแปรสุ่ม Cauchy

นี่คือคำอธิบายภาพเพิ่มเติม (สำหรับพวกเราที่มีปัญหาด้านคณิตศาสตร์) ใช้ตัวสร้างตัวเลขสุ่มกระจาย cauchy และลองหาค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ นี่คือหน้าที่ดีของฟังก์ชันนี้ https://math.stackexchange.com/questions/484395/how-to-generate-a-cauchy-random-variable คุณจะพบว่า "ความแหลม" ของค่าสุ่มทำให้มันใหญ่ขึ้นเมื่อคุณไปแทนที่จะเล็กกว่า . ดังนั้นมันจึงไม่มีความหมาย

เพื่อเพิ่มคำตอบที่ยอดเยี่ยมฉันจะแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับสาเหตุที่การไม่รวมตัวของอินทิกรัลนั้นเกี่ยวข้องกับการปฏิบัติทางสถิติ ดังที่คนอื่น ๆ ได้กล่าวไว้ถ้าเราอนุญาตให้ค่าที่สำคัญเป็น "หมายถึง" ดังนั้น slln จะไม่ถูกต้องอีกต่อไป! นอกเหนือจากนี้ให้คิดเกี่ยวกับนัยของความจริงที่ว่าในทางปฏิบัติแล้วตัวแบบทั้งหมดนั้นเป็นค่าประมาณ โดยเฉพาะการกระจาย Cauchy เป็นแบบจำลองสำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่มีขอบเขต ในทางปฏิบัติตัวแปรสุ่มถูก จำกัด ขอบเขต แต่มักจะคลุมเครือและไม่แน่นอน การใช้โมเดลที่ไม่มีขอบเขตเป็นวิธีที่จะช่วยบรรเทาได้ทำให้ไม่จำเป็นต้องมีการแนะนำขอบเขตที่ไม่แน่นอน (และมักผิดธรรมชาติ) ในโมเดล แต่การทำเช่นนี้จะทำให้ความรู้สึกแง่มุมที่สำคัญของปัญหาไม่ควรได้รับผลกระทบ นั่นหมายความว่าถ้าเราจะแนะนำขอบเขต ที่ไม่ควรเปลี่ยนแปลงในรูปแบบที่สำคัญ แต่เมื่ออินทิกรัลไม่แปรปรวนที่ไม่เกิดขึ้น! แบบจำลองนั้นไม่เสถียรในแง่ที่ความคาดหวังของ RV จะขึ้นอยู่กับขอบเขตส่วนใหญ่โดยพลการ (ในแอปพลิเคชันไม่จำเป็นต้องมีเหตุผลใด ๆ ในการทำให้สมมาตรเกินขอบเขต!)

ด้วยเหตุนี้จึงเป็นการดีกว่าถ้าจะบอกว่าอินทิกรัลนั้นแตกต่างจากการบอกว่ามันเป็น "อนันต์" คนสุดท้ายที่เข้าใกล้จะบ่งบอกถึงคุณค่าที่แน่นอนเมื่อไม่มี! การอภิปรายอย่างละเอียดมากขึ้นคือที่นี่

ฉันต้องการที่จะจู้จี้จุกจิกเล็กน้อยสำหรับที่สอง กราฟิกที่ด้านบนผิด แกน x อยู่ในส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสิ่งที่ไม่มีอยู่สำหรับการแจกแจงโคชี ฉันเป็นคนพิถีพิถันเพราะฉันใช้การแจกจ่าย Cauchy ทุกวันในชีวิตของฉันในการทำงานของฉัน มีกรณีปฏิบัติที่ความสับสนอาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดเชิงประจักษ์ การแจกแจงค่า t ของนักเรียนที่มีอิสระ 1 องศาเป็นมาตรฐาน Cauchy มันมักจะแสดงรายการซิกมาสที่จำเป็นสำหรับความสำคัญ sigmas เหล่านี้ไม่ใช่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานพวกเขาเป็นข้อผิดพลาดที่น่าจะเป็นและ mu เป็นโหมด

หากคุณต้องการทำกราฟิกข้างต้นอย่างถูกต้องทั้งแกน x เป็นข้อมูลดิบหรือถ้าคุณต้องการให้พวกเขามีข้อผิดพลาดที่เทียบเท่าขนาดแล้วคุณจะให้ข้อผิดพลาดน่าจะเท่ากัน ข้อผิดพลาดที่น่าจะเป็นไปได้ประการหนึ่งคือ. 67 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานในการแจกแจงแบบปกติ ในทั้งสองกรณีมันเป็นช่วงกึ่ง interquartile

ตอนนี้คำตอบสำหรับคำถามของคุณทุกสิ่งที่ทุกคนเขียนไว้ข้างต้นนั้นถูกต้องและเป็นเหตุผลทางคณิตศาสตร์สำหรับสิ่งนี้ อย่างไรก็ตามฉันสงสัยว่าคุณเป็นนักเรียนและเป็นคนใหม่ในหัวข้อและดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ใช้งานง่ายเพื่อตอบสนองต่อการมองเห็นอาจไม่เป็นจริง

ฉันมีตัวอย่างโลกแห่งความจริงสองตัวที่เหมือนกันเกือบทั้งหมดซึ่งมาจากการแจกแจงของ Cauchy ทั้งสองมีโหมดเดียวกันและข้อผิดพลาดที่อาจเกิดขึ้น หนึ่งมีค่าเฉลี่ย 1.27 และหนึ่งมีค่าเฉลี่ยของ 1.33 คนที่มีค่าเฉลี่ย 1.27 มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 400, คนที่มีค่าเฉลี่ย 1.33 มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 5.15 ข้อผิดพลาดที่เป็นไปได้สำหรับทั้งคู่คือ. 32 และโหมดคือ 1 ซึ่งหมายความว่าสำหรับข้อมูลแบบสมมาตรค่าเฉลี่ยไม่ได้อยู่ในส่วนกลาง 50% ใช้การสังเกตเพิ่มเติมเพียงครั้งเดียวเพื่อผลักดันค่าเฉลี่ยและ / หรือความแปรปรวนภายนอกที่สำคัญสำหรับการทดสอบใด ๆ เหตุผลก็คือค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนไม่ใช่พารามิเตอร์และค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนตัวอย่างเป็นตัวเลขสุ่มด้วยตนเอง

คำตอบที่ง่ายที่สุดคือพารามิเตอร์ของการแจกแจง Cauchy ไม่รวมค่าเฉลี่ยและดังนั้นจึงไม่มีความแปรปรวนเกี่ยวกับค่าเฉลี่ย

อาจเป็นไปได้ว่าในการเรียนการสอนที่ผ่านมาความสำคัญของค่าเฉลี่ยคือว่ามันมักจะเป็นสถิติที่เพียงพอ ในสถิติตามความถี่ในระยะยาวการกระจาย Cauchy มีสถิติไม่เพียงพอ มันเป็นความจริงที่ค่ามัธยฐานตัวอย่างสำหรับการกระจาย Cauchy ด้วยการสนับสนุนทั่วทั้ง reals เป็นสถิติที่เพียงพอ แต่นั่นเป็นเพราะมันสืบทอดมาจากการเป็นสถิติการสั่งซื้อ มันเป็นเรื่องบังเอิญพอเพียงไม่มีวิธีคิดที่ง่าย ตอนนี้ในสถิติแบบเบย์มีสถิติเพียงพอสำหรับพารามิเตอร์ของการแจกแจงโคชีและถ้าคุณใช้เครื่องแบบก่อนหน้านั้นมันก็ไม่เอนเอียง ฉันนำสิ่งนี้มาใช้เพราะถ้าคุณต้องใช้มันเป็นประจำทุกวันคุณได้เรียนรู้เกี่ยวกับวิธีที่พวกเขาทำการประเมิน

ไม่มีสถิติการสั่งซื้อที่ถูกต้องที่สามารถใช้เป็นตัวประมาณสำหรับการแจกแจงแบบ Cauchy ที่ถูกตัดทอนซึ่งเป็นสิ่งที่คุณมีแนวโน้มที่จะพบเจอในโลกแห่งความเป็นจริงและดังนั้นจึงไม่มีสถิติเพียงพอในวิธีการอิงความถี่สำหรับโปรแกรมส่วนใหญ่ .

สิ่งที่ฉันแนะนำคือการหลีกหนีจากค่าเฉลี่ยจิตใจเป็นสิ่งที่เป็นจริง มันเป็นเครื่องมือเช่นค้อนที่มีประโยชน์ในวงกว้างและมักจะสามารถใช้งานได้ บางครั้งเครื่องมือนั้นไม่ทำงาน

บันทึกทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการแจกแจงแบบปกติและแบบโคชี เมื่อได้รับข้อมูลเป็นอนุกรมเวลาการแจกแจงแบบปกติจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อข้อผิดพลาดมารวมเป็นศูนย์เมื่อ t ไปที่อนันต์ เมื่อได้รับข้อมูลเป็นอนุกรมเวลาการกระจาย Cauchy จะเกิดขึ้นเมื่อข้อผิดพลาดเบี่ยงเบนไปเป็นอนันต์ หนึ่งเกิดจากชุดบรรจบ, อื่น ๆ เนื่องจากชุดแตกต่าง Cauchy ดิสทริบิวชั่นไม่เคยไปถึงจุดที่กำหนดพวกเขาแกว่งไปมาข้ามจุดคงที่เพื่อให้ห้าสิบเปอร์เซ็นต์ของเวลาที่พวกเขาอยู่ข้างหนึ่งและอีกห้าสิบเปอร์เซ็นต์ของเวลา ไม่มีการพลิกกลับค่ามัธยฐาน

เพื่อให้ง่ายขึ้นพื้นที่ใต้เส้นโค้งจะเข้าใกล้อนันต์เมื่อคุณซูมออก หากคุณสุ่มตัวอย่างขอบเขต จำกัด คุณสามารถค้นหาค่าเฉลี่ยสำหรับภูมิภาคนั้น อย่างไรก็ตามไม่มีค่าเฉลี่ยสำหรับอินฟินิตี้