การประมาณค่ามัธยฐานของค่ามัธยฐาน

สมมติว่าเรามีตัวแปรสุ่ม $X$ สนับสนุนบน $[0,1]$ ซึ่งเราสามารถวาดตัวอย่างได้ เราจะหาค่ามัธยฐานของเป็นกลางได้ $X$ อย่างไร

แน่นอนว่าเราสามารถสร้างกลุ่มตัวอย่างและใช้ค่ามัธยฐานตัวอย่างได้ แต่ฉันเข้าใจว่าสิ่งนี้จะไม่เอนเอียงโดยทั่วไป

หมายเหตุ: คำถามนี้เกี่ยวข้อง แต่ไม่เหมือนกันกับคำถามสุดท้ายของฉันซึ่งในกรณี $X$ สามารถสุ่มตัวอย่างได้ประมาณเท่านั้น

sampling

ตัวประมาณดังกล่าวไม่มีอยู่จริง

สัญชาตญาณคือค่ามัธยฐานสามารถคงที่ได้ในขณะที่เราเปลี่ยนความหนาแน่นของความน่าจะเป็นรอบทั้งสองด้านอย่างอิสระดังนั้นตัวประมาณใด ๆ ที่มีค่าเฉลี่ยเป็นค่ามัธยฐานสำหรับการแจกแจงหนึ่งจะมีค่าเฉลี่ยที่แตกต่างกันสำหรับการแจกแจงที่เปลี่ยนแปลง นิทรรศการต่อไปนี้ให้ความเข้มงวดกับปรีชานี้เล็กน้อย

เรามุ่งเน้นการกระจายมีมีเดียที่ไม่ซ้ำกันเพื่อให้ตามคำนิยามและสำหรับทุกเมตรแก้ไขขนาดของกลุ่มตัวอย่างและคิดว่าประมาณการเมตรมันจะพอเพียง $F$ $m$ $F(m) \ge 1/2$ $F(x) \lt 1/2$ $x \lt m$ $n \ge 1$ $t: [0,1]^n \to [0,1]$ $m$ $t$ ถูก จำกัด ขอบเขตเท่านั้น แต่โดยทั่วไปเราจะไม่พิจารณาตัวประมาณที่สร้างค่าที่เป็นไปไม่ได้อย่างชัดเจน) เราไม่ได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับ ; มันไม่จำเป็นต้องต่อเนื่องทุกที่ $t$

ความหมายของเป็นที่เป็นกลาง (ขนาดตัวอย่างคงที่นี้) ก็คือว่า $t$

E_{F} [t (X_{1}, \dots, X_{n})] = m

$E_F[t(X_1, \ldots, X_n)] = m$

สำหรับตัวอย่าง IID ใด ๆ กับ F"ความเป็นกลางประมาณการ" เป็นหนึ่งที่มีคุณสมบัตินี้สำหรับทุกคนเช่นF $X_i \sim F$ $t$ $F$

สมมติว่ามีตัวประมาณที่เป็นกลาง เราจะได้รับความขัดแย้งโดยนำไปใช้กับชุดการแจกแจงที่เรียบง่ายเป็นพิเศษ พิจารณาการแจกแจงมีคุณสมบัติเหล่านี้: $F = F_{x,y,m, \varepsilon}$

; $0 \le x \lt y \le 1$
; $0 \lt \varepsilon \lt (y-x)/4$
; $x + \varepsilon \lt m \lt y - \varepsilon$
; $\Pr(X = x) = \Pr(X = y) = (1-\varepsilon)/2$
; และ $\Pr(m-\varepsilon \le X \le m+\varepsilon) = \varepsilon$
เป็นเครื่องแบบ ] $F$ $[m-\varepsilon, m+\varepsilon]$

เหล่านี้น่าจะเป็นการกระจายสถานที่ในแต่ละและและจำนวนเล็ก ๆ ของความน่าจะแฟ่อยู่รอบ ๆระหว่างและy ที่นี้จะทำให้มัธยฐานเอกลักษณ์ของF(หากคุณกังวลว่านี่ไม่ใช่การแจกแจงแบบต่อเนื่องให้ทำการโน้มน้าวเกาส์เซียนที่แคบมากและตัดผลลัพธ์เป็น : การโต้แย้งจะไม่เปลี่ยนแปลง) $(1-\varepsilon)/2$ $x$ $y$ $m$ $x$ $y$ $m$ $F$ $[0,1]$

ตอนนี้สำหรับตัวประมาณค่ามัธยฐานสมมุติใด ๆการประมาณแบบง่ายแสดงให้เห็นว่านั้นเคร่งครัดภายในของค่าเฉลี่ยของค่าค่าที่แตกต่างกันมากกว่าผสมเป็นไปได้ทั้งหมดของและYอย่างไรก็ตามเราสามารถเปลี่ยนแปลงได้ระหว่าง $t$ $E[t(X_1, X_2, \ldots, X_n)]$ $\varepsilon$ $2^n$ $t(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $x_i$ $x$ $y$ $m$ และการเปลี่ยนแปลงอย่างน้อย (โดยอาศัยเงื่อนไข 2 และ 3) ดังนั้นจึงมีและการกระจายที่สอดคล้องกันคือซึ่งความคาดหวังนี้ไม่เท่ากับค่ามัธยฐาน, QED $x + \varepsilon$ $y - \varepsilon$ $\varepsilon$ $m$ $F_{x,y,m,\varepsilon}$

— whuber
แหล่งที่มา

(+1) หลักฐานดี คุณเกิดขึ้นกับมันหรือเป็นสิ่งที่คุณจำได้จากโรงเรียนระดับบัณฑิตศึกษา?

— StasK

นี่คือหลักฐานอื่น: Bernoulli ส่วนใหญ่ตัวแปรสุ่มมีค่ามัธยฐาน

หรือ1

ประมาณการจาก

ทดลองขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยของประมาณการในจุดของ

กับ

และน้ำหนักของค่าเฉลี่ยเหล่านี้เป็นพหุนามใน

ของการศึกษาระดับปริญญาn

ถ้าเป็นประมาณการที่เป็นกลางนั้นจะต้องมีค่าเฉลี่ย

สำหรับการใด ๆ

และมีมากกว่า

ค่าดังกล่าวของ

0

$0$

1

$1$

n

$n$

[0, 1]^{n}

$[0,1]^n$

k

$k$

p

$p$

n

$n$

1

$1$

p > 1 / 2

$p \gt 1/2$

n + 1

$n+1$

p

$p$ พหุนามนี้ต้องคงที่ ... แต่มันต้องเป็น

ด้วยค่าที่ต่ำกว่าของ

ดังนั้นมันจึงไม่ควรมีความเป็นกลางด้วยเช่นกัน

0

$0$

p

$p$

— Douglas Zare

@ ดักลาสนั่นเป็นข้อพิสูจน์ที่ดี ฉันสงสัยว่าบางคนอาจจะรู้สึกไม่สบายใจเล็ก ๆ น้อย ๆ เกี่ยวกับขอบเขตของการบังคับใช้ของตน แต่เนื่องจากค่าเฉลี่ยสำหรับตัวแปร Bernoulli ค่อนข้างพิเศษเป็นประจวบกับหนึ่งในสองจุดสนับสนุน (ยกเว้นเมื่อ

) ผู้อ่านอาจถูกล่อลวงให้ประกาศสิ่งนี้ว่าเป็น "พยาธิวิทยา" และพยายามกีดกันสัตว์ประหลาดเช่นนี้โดยดูจากการกระจายอย่างต่อเนื่องที่มีความหนาแน่นเชิงบวกทุกที่บนโดเมนของพวกเขา นั่นเป็นเหตุผลที่ฉันพยายามแสดงให้เห็นว่าความพยายามดังกล่าวจะล้มเหลว

p = 1 / 2

$p=1/2$

— whuber

Finding an unbiased estimator without having a parametric model would be difficult! But you could use bootstrapping, and use that to correct the empirical median to get an approximately unbiased estimator.

— kjetil b halvorsen
แหล่งที่มา

If this is impossible, is it possible to prove it? For example, if

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

$X_1, X_2, \ldots, X_n$ are independent samples from

X

$X$ then can one prove that

f (X_{1}, \dots, X_{n})

$f(X_1, \ldots, X_n)$ cannot be unbiased for any choice of

f

$f$ ?

— robinson

I think kjetil is saying that in a nonparametric framework there is no method that will give an unbiased estimate for every possible distribution. But in the parametric framework you probably could. Bootstrapping a biased sample estimate can allow you to estimate the bias and adjust it to get a bootstrap estimate that is nearly unbiased. That was his suggestion for handling the problem in the nonparametric framework. Proving that an unbiased estimate is not possible would also be difficult.

— Michael R. Chernick

If you really want to try to prove that there do not exist an unbiased estimator, there is a book, Ferguson: "Mathematical Statistics - A Decision Theoretic Approach" which do have some examples of that kind of thing!

— kjetil b halvorsen

I imagine that the regularity conditions for the bootstrap will be violated with the distribution functions that whuber considers in his answer. Michael, can you comment?

— StasK

@Stas As I pointed out, my functions can be made to look very "nice" by mollifying them. They can also be generalized to mollifications of large finite mixtures of atoms. The class of such distributions is dense in all distributions on the unit interval, so I don't think bootstrap regularity would be involved here.

— whuber

I believe quantile regression will give you a consistent estimator of the median. Given the model $Y = \alpha + u$ . And you want to estimate $\text{med}(y) = \text{med}(\alpha + u) = \alpha + \text{med}(u)$ since $\alpha$ is a constant. All you need is the $\text{med}(u) = 0$ which should be true so long as you have independent draws. However, as far as unbiasedness, I don't know. Medians are difficult.

— Francis
แหล่งที่มา

See @whuber 's answer

— Peter Flom - Reinstate Monica