เหตุใดค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยแบบลอจิสติกแบบ exponentiated ถือเป็น“ อัตราส่วนอัตราต่อรอง”

การถดถอยโลจิสติกแบบจำลองอัตราต่อรองของเหตุการณ์เป็นชุดทำนาย นั่นคือ log (p / (1-p)) โดยที่ p คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์บางอย่าง ดังนั้นการตีความของสัมประสิทธิ์การถดถอยโลจิสติกดิบสำหรับบางตัวแปร (x) จะต้องอยู่ในระดับอัตราการเข้าสู่ระบบ นั่นคือถ้าสัมประสิทธิ์สำหรับ x = 5 เรารู้ว่าการเปลี่ยนแปลง 1 หน่วยใน x กระเทยเป็น 5 การเปลี่ยนแปลงในระดับสเกลอัตราต่อรองที่ผลจะเกิดขึ้น

อย่างไรก็ตามฉันมักจะเห็นคนตีความค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยโลจิสติกแบบ exponentiatedเป็นอัตราส่วนอัตราต่อรอง อย่างไรก็ตาม exp อย่างชัดเจน (log (p / (1-p))) = p / (1-p) ซึ่งเป็นอัตราต่อรอง เท่าที่ฉันเข้าใจอัตราการต่อรองคืออัตราต่อรองของเหตุการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้น (เช่น p / (1-p) สำหรับกิจกรรม A) เหนืออัตราต่อรองของเหตุการณ์อื่นที่เกิดขึ้น (เช่น p / (1-p) สำหรับเหตุการณ์ B)

ฉันหายไปนี่อะไร ดูเหมือนว่าการตีความทั่วไปของสัมประสิทธิ์การถดถอยเชิงเลขชี้กำลังนั้นไม่ถูกต้อง

@ คำตอบของ Laconic นั้นยอดเยี่ยมและสมบูรณ์ในความคิดของฉัน สิ่งที่ฉันต้องการเพิ่มคือสัมประสิทธิ์ดั้งเดิมอธิบายความแตกต่างของอัตราต่อรองสำหรับสองหน่วยที่ต่างกัน 1 ในตัวทำนาย เช่นสำหรับค่าสัมประสิทธิ์บนของ 5 เราสามารถพูดได้ว่าความแตกต่างในอัตราต่อรองระหว่างสองหน่วยที่แตกต่างกับX 1 คือ 5 ทางคณิตศาสตร์$X$$X$

$$\beta = \log(\text{odds}(p|X=x_0+1))-\log(\text{odds}(p|X=x_0))$$

เมื่อคุณยกกำลังคุณจะได้$\beta$

$$\exp(\beta) = \exp(\log(\text{odds}(p|X=x_0+1))-\log(\text{odds}(p|X=x_0))) \\ = \frac{\exp(\log(\text{odds}(p|X=x_0+1)))}{\exp(\log(\text{odds}((p|X=x_0)))} \\ = \frac{\text{odds}(p|X=x_0+1)}{\text{odds}(p|X=x_0))}$$

ซึ่งเป็นอัตราส่วนของอัตราต่อรองอัตราต่อรอง

พิจารณาเงื่อนไขสองชุดชุดแรกอธิบายโดยเวกเตอร์ของตัวแปรอิสระและชุดที่สองอธิบายโดยเวกเตอร์X ′ซึ่งแตกต่างเฉพาะในตัวแปร ith x iและโดยหนึ่งหน่วย ให้βเป็นเวกเตอร์ของพารามิเตอร์โมเดลตามปกติ$X$$X'$$x_i$$\beta$

จากโมเดลการถดถอยโลจิสติกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในกรณีแรกคือดังนั้นอัตราต่อรองของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคือp$p_1 = \frac{1}{1 + \exp(-X \beta)}$$\frac{p_1}{1-p_1} = \exp(X \beta)$

$p_2 = \frac{1}{1 + \exp(-X' \beta)}$$\frac{p_2}{1-p_2} = \exp(X' \beta) = \exp(X \beta + \beta_i)$.

อัตราส่วนของอัตราต่อรองในกรณีที่สองต่ออัตราในกรณีแรกจึงเป็น $\exp(\beta_i)$. ดังนั้นการตีความของเลขชี้กำลังของพารามิเตอร์เป็นอัตราต่อรอง