ปัญหาหรือเกมใดที่เป็นวิธีแก้ไขปัญหาความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ดีที่สุด

สำหรับตัวแปรสุ่มที่กำหนด (หรือประชากรหรือกระบวนการสุ่ม) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือคำตอบสำหรับคำถามการคาดการณ์จุดใดที่ช่วยลดการสูญเสียกำลังสองที่คาดการณ์ไว้ได้? . นอกจากนี้มันเป็นทางออกที่ดีที่สุดสำหรับเกมเดาการตระหนักถึงตัวแปรสุ่มต่อไป (หรือการจับฉลากใหม่จากประชากร) และฉันจะลงโทษคุณด้วยระยะห่างกำลังสองระหว่างค่าและการเดาของคุณหากคุณมีความไม่ตรงเชิงเส้นในแง่ ของการลงโทษ ค่ามัธยฐานคือคำตอบของคำถามที่เกี่ยวข้องภายใต้การสูญเสียที่แน่นอนและโหมดคือคำตอบภายใต้การสูญเสีย "ทั้งหมดหรือไม่มีอะไร"

คำถาม:ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตอบคำถามที่คล้ายกันหรือไม่ พวกเขาคืออะไร

แรงจูงใจสำหรับคำถามนี้เกิดขึ้นจากการสอนมาตรการพื้นฐานของแนวโน้มกลางและการแพร่กระจาย ในขณะที่มาตรการของแนวโน้มกลางสามารถถูกกระตุ้นด้วยปัญหาการตัดสินใจเชิงทฤษฎีข้างต้นฉันสงสัยว่าจะกระตุ้นให้เกิดมาตรการแพร่กระจายได้อย่างไร

หากฉันเข้าใจคำถามตามที่ตั้งใจไว้คุณจะต้องคำนึงถึงการตั้งค่าที่คุณสามารถรับรู้ถึงตัวแปรสุ่มแบบอิสระได้ $X$ กับการกระจายใด ๆ $F$ มีความแปรปรวนแน่นอน $\sigma^2(F)$) "เกม" ถูกกำหนดโดยฟังก์ชั่น$h$ และ $\mathcal L$ที่จะอธิบาย ประกอบด้วยขั้นตอนและกฎต่อไปนี้:

1. ฝ่ายตรงข้ามของคุณ ("ธรรมชาติ") เปิดเผย $F.$

2. ในการตอบสนองคุณผลิตจำนวน $t(F),$ "การคาดคะเน" ของคุณ

เพื่อประเมินผลลัพธ์ของเกมจะทำการคำนวณต่อไปนี้:

• ตัวอย่างของ $n$ การสังเกต iid $\mathbf{X}=X_1, X_2, \ldots, X_n$ มาจาก $F.$

• ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้ล่วงหน้า $h$ ถูกนำไปใช้กับตัวอย่างการผลิตจำนวน $h(\mathbf{X}),$ "สถิติ"

• "ฟังก์ชั่นการสูญเสีย" $\mathcal{L}$ เปรียบเทียบ "การทำนาย" ของคุณ $t(F)$ เพื่อสถิติ $h(\mathbf{X}),$ สร้างตัวเลขที่ไม่ใช่ลบ $\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X})).$

• ผลลัพธ์ของเกมคือการสูญเสียที่คาดหวัง (หรือ "ความเสี่ยง")

  $$R_{(\mathcal{L}, h)}(t, F) = E(\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X}))).$$

วัตถุประสงค์ของคุณคือการตอบสนองต่อการเคลื่อนไหวของธรรมชาติโดยการระบุบางอย่าง $t$ ที่ช่วยลดความเสี่ยง

ตัวอย่างเช่นในเกมที่มีฟังก์ชั่น $h(X_1)=X_1$ และการสูญเสียใด ๆ ของแบบฟอร์ม $\mathcal{L}(t, h) = \lambda(t-h)^2$ สำหรับจำนวนบวก $\lambda,$ การเคลื่อนไหวที่ดีที่สุดของคุณคือการเลือก $t(F)$ จะเป็นความคาดหวังของ $F.$

คำถามต่อหน้าเราคือ

มีอยู่จริง $\mathcal{L}$ และ $h$ ซึ่งการเลือกที่ดีที่สุดคือการเลือก $t(F)$ ที่จะเป็นความแปรปรวน $\sigma^2(F)$?

นี่คือคำตอบที่พร้อมโดยแสดงความแปรปรวนเป็นความคาดหวัง วิธีหนึ่งคือการกำหนดว่า

ตัวอย่างช่วยให้เราสามารถสรุปได้ว่าสิ่งนี้ $h$ และนี่ $\mathcal L$ ตอบคำถามเกี่ยวกับความแปรปรวน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคืออะไร $\sigma(F)$? อีกครั้งเราต้องการเพียงแสดงสิ่งนี้เป็นความคาดหวังของสถิติตัวอย่าง อย่างไรก็ตามนั่นเป็นไปไม่ได้เพราะถึงแม้เราจะ จำกัด$F$ ถึงครอบครัวของเบอร์นูลี$(p)$ การแจกแจงเราสามารถรับฟังก์ชั่นพหุนามของ $p,$ แต่ $\sigma(F) = \sqrt{p(1-p)}$ ไม่ใช่ฟังก์ชันพหุนามในโดเมน $p\in (0,1).$ (ดูสำหรับการแจกแจงทวินามเหตุใดจึงไม่มีตัวประมาณค่าที่เป็นกลางสำหรับ$1/p$? สำหรับข้อโต้แย้งทั่วไปเกี่ยวกับการแจกแจงแบบทวินามซึ่งคำถามนี้สามารถลดลงได้หลังจากหาค่าเฉลี่ย$h$ ตลอดการเปลี่ยนลำดับของ $X_i.$)