มีการแจกแจงอื่นที่ไม่ใช่ Cauchy ซึ่งค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่างตามการแจกแจงเดียวกันหรือไม่?

ถ้าเป็นไปตามการแจกแจงแบบ Cauchy ดังนั้นยังตามด้วยการกระจายตัวแบบเดียวกับ ; ดูกระทู้นี้ $X$ $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $X$

สถานที่ให้บริการนี้มีชื่อหรือไม่?
มีการแจกแจงอื่น ๆ ซึ่งสิ่งนี้เป็นจริงหรือไม่?

แก้ไข

วิธีถามคำถามนี้อีกวิธี:

ให้เป็นตัวแปรสุ่มที่มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็น(x) $X$ $f(x)$

ให้ที่หมายถึงการสังเกต ith ของX $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ $X_i$ $X$

$Y$ ตัวเองถือได้ว่าเป็นตัวแปรสุ่มโดยไม่ต้องเครื่องกับค่าที่เฉพาะเจาะจงใด ๆ ของX $X$

ถ้าตามการกระจาย Cauchy ดังนั้นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของคือ $X$ $Y$ $f(x)$

มีฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแบบอื่น ๆ (ไม่ใช่เล็กน้อย) สำหรับที่ส่งผลให้มีฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นหรือไม่? $f(x)$ $Y$ $f(x)$

* ตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ เพียงอย่างเดียวที่ฉันสามารถนึกได้คือเดลต้า Dirac เช่นไม่ใช่ตัวแปรสุ่ม

— Chechy Levas
แหล่งที่มา

ชื่อของคุณมีเหตุผลเล็กน้อยเนื่องจาก "ค่าคาดหวังของกลุ่มตัวอย่าง" เป็นตัวเลข คุณหมายถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่างแทนหรือไม่? คำถามนี้ยังคลุมเครือ: โดย "การกระจาย" คุณหมายถึงการกระจายที่เฉพาะเจาะจงหรือคุณหมายถึง - ตามที่แนะนำโดยคำว่า "Cauchy" - ตระกูลการแจกแจงหรือไม่? นั่นไม่ใช่ความบอบบางเล็กน้อย: คำตอบจะเปลี่ยนแปลงอย่างสมบูรณ์ขึ้นอยู่กับความหมายของคุณ โปรดแก้ไขโพสต์ของคุณเพื่อชี้แจง

— whuber

@ โฮเบอร์ฉันเพิ่มส่วนที่สองของคำถามซึ่งหวังว่าจะกระชับช่วงของการตีความที่เป็นไปได้

— Chechy Levas

ขอบคุณ; ที่ล้างส่วนใหญ่ขึ้น แต่มีคำตอบที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับว่าคุณแก้ไข

หรือถ้าคุณต้องการผลนี้จะถือสำหรับทุก

หากเป็นกรณีหลังเงื่อนไขใน cf หรือ cgf นั้นรุนแรงและนำไปสู่โซลูชันที่พร้อมใช้งาน หากเป็นแบบเดิมแสดงว่าอาจมีโซลูชันเพิ่มเติม

n

$n$

n .

$n.$

— whuber

ผมคิดว่าสำหรับทุก

แต่ถ้าใครต้องการที่จะให้การวิเคราะห์บนแก้ไข

ยังว่าจะได้รับการต้อนรับ

n

$n$

n

$n$

— Chechy Levas

นี่ไม่ใช่คำตอบจริงๆ แต่อย่างน้อยก็ดูเหมือนจะไม่ง่ายที่จะสร้างตัวอย่างจากการกระจายที่เสถียร เราจะต้องสร้าง rv ที่มีฟังก์ชั่นลักษณะเหมือนกับของค่าเฉลี่ย

โดยทั่วไปสำหรับ iid draw, cf ของค่าเฉลี่ยคือ

ด้วย cf ของ rv เดียวสำหรับการแจกแจงที่เสถียรกับพารามิเตอร์ตำแหน่งศูนย์เรามี ที่

φ_{{\bar{X}}_{n}} (เสื้อ) = [φ_{X} (เสื้อ / n)]^{n}

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$

ϕ_{X}

$\phi_X$

φ_{X} (เสื้อ) = ประสบการณ์ {- | ค เสื้อ |^{α} (1 - ผม β SGN (เสื้อ) Φ)},

$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$

Cauchy สอดคล้องกับการกระจายไปยัง

เพื่อให้

แน่นอนสำหรับระดับใดพารามิเตอร์

Φ = {\begin{cases} สีน้ำตาล (\frac{π α}{2}) & α \neq 1 \\ - \frac{2}{π} เข้าสู่ระบบ | เสื้อ | & α = 1 \end{cases}

$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$

α = 1

$\alpha=1$

β = 0

$\beta=0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

c > 0

$c>0$

โดยทั่วไป เพื่อให้ได้,ดูเหมือนจะเรียกร้องให้ดังนั้น

φ_{{\bar{X}}_{n}} (เสื้อ) = ประสบการณ์ {- n {| ค \frac{เสื้อ}{n} |}^{α} (1 - ผม β SGN (\frac{เสื้อ}{n}) Φ)},

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

α = 1

$\alpha=1$

แต่

\begin{array}{rcl} φ_{{\bar{X}}_{n}} (เสื้อ) & = & ประสบการณ์ {- n | ค \frac{เสื้อ}{n} | (1 - ผม β SGN (\frac{เสื้อ}{n}) (- \frac{2}{π} เข้าสู่ระบบ | \frac{เสื้อ}{n} |))} \\ = & ประสบการณ์ {- | ค เสื้อ | (1 - ผม β SGN (เสื้อ) (- \frac{2}{π} เข้าสู่ระบบ | \frac{เสื้อ}{n} |))}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$

เข้าสู่ระบบ | \frac{เสื้อ}{n} | \neq เข้าสู่ระบบ | เสื้อ |

$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$

— Christoph Hanck
แหล่งที่มา

ดังนั้นจึงยุติธรรมที่จะบอกว่าตามการวิเคราะห์ของคุณ Cauchy เป็นทางออกเดียวสำหรับ = 1?

— Chechy Levas

นั่นคือความประทับใจของฉันจากผลลัพธ์เหล่านี้ แต่ฉันค่อนข้างมั่นใจว่ามีคนที่มีความรู้มากขึ้นที่นี่มีการกระจายที่มั่นคง

— Christoph Hanck

ψ = \log ϕ

$\psi=\log \phi$

ψ (เสื้อ / n) = ψ (เสื้อ) / n

$\psi(t/n) = \psi(t)/n$

n = 1, 2, 3, \dots .

$n=1,2,3,\ldots.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

- | c t | .

$-|ct|.$

α = 1

$\alpha = 1$

α = 0

$\alpha = 0$