ตัวอย่างของการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องที่ไม่เป็นลบโดยที่ค่าเฉลี่ย (หรือช่วงเวลาอื่น) ไม่อยู่?

ฉันกำลังทำงานใน scipy และการสนทนาเกิดขึ้นกับสมาชิกของกลุ่ม scipy หลักว่าตัวแปรสุ่มแยกแบบไม่ต่อเนื่องสามารถมีช่วงเวลาที่ไม่ได้กำหนด ฉันคิดว่าเขาถูกต้อง แต่ไม่มีข้อพิสูจน์ที่มีประโยชน์ ทุกคนสามารถแสดง / พิสูจน์ข้อเรียกร้องนี้ได้หรือไม่? (หรือถ้าการเรียกร้องนี้ไม่ได้พิสูจน์หักล้างจริง)

ฉันไม่ได้มีตัวอย่างที่มีประโยชน์ถ้าตัวแปรสุ่มแบบแยกนั้นสนับสนุนแต่ดูเหมือนว่าการแจกจ่าย Cauchy บางรุ่นที่ไม่ควรนำมาใช้เป็นตัวอย่างเพื่อให้ได้ช่วงเวลาที่ไม่ได้กำหนด เงื่อนไขของการไม่ปฏิเสธ (อาจรวมถึง ) เป็นสิ่งที่ดูเหมือนจะทำให้ปัญหาท้าทาย (อย่างน้อยสำหรับฉัน)$\mathbb{Z}$$0$

ปล่อยให้ CDFเท่ากับที่จำนวนเต็มค่าคงที่จำนวนเต็มทุก ๆ ที่และขึ้นอยู่กับเกณฑ์ทั้งหมดว่าเป็น CDF ความคาดหวังคือ$F$$1-1/n$$n=1,2,\ldots,$

$$\int_{0}^\infty (1-F(x))\mathrm{d}x = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$$

ซึ่ง diverges ในแง่นี้ช่วงเวลาแรก (และช่วงเวลาที่สูงขึ้นทั้งหมด) นั้นไม่มีที่สิ้นสุด (ดูข้อสังเกตในตอนท้ายสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม)

---

หากคุณรู้สึกไม่สบายใจกับสัญกรณ์นี้โปรดสังเกตว่าสำหรับ$n=1,2,3,\ldots,$

$${\Pr}_{F}(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1.}$$

สิ่งนี้กำหนดการกระจายความน่าจะเป็นเนื่องจากแต่ละคำศัพท์มีค่าเป็นบวกและ

$$\sum_{n=1}^\infty {\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \lim_{n\to \infty} 1 - \frac{1}{n+1} = 1.$$

ความคาดหวังคือ

$$\sum_{n=1}^\infty n\,{\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$$

ซึ่ง diverges

วิธีการแสดงคำตอบนี้ทำให้ชัดเจนว่าโซลูชันทั้งหมดได้มาจากซีรี่ส์ที่แตกต่างดังกล่าว แน่นอนถ้าคุณต้องการให้การกระจายได้รับการสนับสนุนในเซตย่อยบางส่วนของค่าบวกด้วยความน่าจะเป็นเป็นเอกภาพดังนั้นสำหรับความคาดหวังที่จะแยกชุด ซึ่งเป็นการแสดงออกถึงมันคือ$x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots,$$p_1, p_2, \ldots$

$$(a_n) = (x_n p_n),$$

จะต้องมีผลรวมบางส่วนที่แตกต่างกัน

ในทางกลับกันชุด divergent ทุกตัวของตัวเลขที่ไม่เป็นลบนั้นเกี่ยวข้องกับการแจกแจงเชิงบวกที่ไม่ต่อเนื่องจำนวนมาก $(a_n)$ ยกตัวอย่างเช่นที่กำหนดคุณสามารถใช้ขั้นตอนวิธีการดังต่อไปนี้เพื่อตรวจสอบลำดับและ(p_n)เริ่มต้นด้วยการตั้งค่าและสำหรับ กำหนดให้เป็นเซตของทั้งหมดที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้ทำดัชนีองค์ประกอบเป็นและกำหนดการกระจายความน่าจะเป็นที่โดย$(a_n)$$(x_n)$$(p_n)$$q_n = 2^{-n}$$y_n = 2^n a_n$$n=1, 2, \ldots.$$\Omega$$y_n$$\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_i, \ldots\},$$\Omega$

$$\Pr(\omega_i) = \sum_{n \mid y_n = \omega_i}q_n.$$

สิ่งนี้ได้ผลเพราะผลรวมของเท่ากับผลรวมของซึ่งคือและมีองค์ประกอบเชิงบวกที่นับได้สูงสุด$p_n$$q_n,$$1,$$\Omega$

เป็นตัวอย่างชุดเห็นได้ชัดว่า diverges อัลกอริทึมให้$(a_n) = (1, 1/2, 1, 1/2, \ldots)$

$$y_1 = 2a_1 = 2;\ y_2 = 2^2 a_2 = 2;\ y_3 = 2^3 a_3 = 8; \ldots$$

ดังนั้น

$$\Omega = \{2, 8, 32, 128, \ldots, 2^{2n+1},\ldots\}$$

คือชุดของพลังบวกแปลก ๆ ของและ$2$

$$p_1 = q_1 + q_2 = 3/4;\ p_2 = q_3 + q_4 = 3/16;\ p_3 = q_5 + q_6 = 3/64; \ldots$$

---

เกี่ยวกับช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีอยู่จริง

เมื่อค่าทั้งหมดเป็นค่าบวกไม่มีสิ่งใดเป็นช่วงเวลาที่ "ไม่ได้กำหนด": ช่วงเวลาทั้งหมดมีอยู่ แต่สามารถไม่มีที่สิ้นสุดในแง่ของผลรวมที่ต่างกัน (หรืออินทิกรัล) ดังที่แสดงในตอนแรกของคำตอบนี้

โดยทั่วไปทั้งหมดในช่วงเวลาที่กำหนดไว้สำหรับตัวแปรสุ่มบวกเพราะผลรวมหรือหนึ่งที่แสดงออกถึงพวกเขาทั้งลู่อย่างหรือ diverges (คือ "ไม่มีที่สิ้นสุด.") ในทางตรงกันข้ามกับที่ช่วงเวลาที่จะกลายเป็นไม่ได้กำหนดสำหรับตัวแปรที่ใช้เวลาอยู่กับค่าบวกและลบ เพราะ - ตามคำนิยามของส่วนประกอบของ Lebesgue - ช่วงเวลาคือความแตกต่างระหว่างช่วงเวลาของส่วนที่เป็นบวกและช่วงเวลาของค่าสัมบูรณ์ของส่วนที่เป็นลบ หากทั้งสองอย่างนั้นไม่มีที่สิ้นสุดการลู่เข้าจะไม่สมบูรณ์และคุณประสบปัญหาในการลบอินฟินิตี้ออกจากอินฟินิตี้นั่นไม่มีอยู่จริง

นี่เป็นตัวอย่างที่มีชื่อเสียง: Letใช้ค่ากับความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละจำนวนเต็มkจากนั้นใช้ค่าใน (ส่วนย่อยของ) จำนวนเต็มบวก มวลรวมคือแต่ความคาดหวังของมันคือ นี้ตัวแปรสุ่มเกิดขึ้นในความขัดแย้งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก2 k 2 - k k ≥ 1 X Σ ∞ k = 1 2 - k = 1 E ( X ) = ∞ Σ k = 1 2 k P ( X = 2 k ) = ∞ Σ k = 1 1 = ∞ $X$$2^k$$2^{-k}$$k\ge1$$X$$\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}=1$

$$E(X) = \sum_{k=1}^\infty 2^k P(X=2^k) = \sum_{k=1}^\infty 1 = \infty.$$ $X$

1. การแจกแจงซีกระจายแบบไม่ต่อเนื่องที่รู้จักกันดีในจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีค่าเฉลี่ยที่แน่นอน (สำหรับ )$1<\theta\leq 2$

   $P(X=x|\theta)={{\frac {1}{\zeta (\theta)}}x^{-\theta}}\,,\: x=1,2,...,\:\theta>1$

   โดยที่ค่าคงที่ normalizing เกี่ยวข้องกับ , ฟังก์ชัน Riemann zeta$\zeta(\cdot)$

   (แก้ไข: เคสคล้ายกันมากกับคำตอบของ whuber)$\theta=2$

   การแจกแจงอื่นที่มีพฤติกรรมหางคล้ายกันคือการแจกแจงเทศกาลไซมอน

2. อีกตัวอย่างหนึ่งคือการแจกแจงทวินามแบบลบ - เบต้าด้วย :$0<\alpha\leq 1$

   $P(X=x|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+x)}{x!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm{B} (\alpha +r,\beta +x)}{\mathrm{B} (\alpha ,\beta )}}\,,\:x=0,1,2...\:\alpha,\beta,r > 0$

มีการแจกจ่ายรุ่น Cauchy discretized

ใช่ถ้าคุณใช้ว่าเป็นค่าเฉลี่ยของการแจกแจงโคชีในช่วงเวลาประมาณดังนั้นช่วงเวลาของศูนย์นั้นก็เหมือนกับช่วงเวลาของการแจกแจงโคชีและช่วงเวลาแรก โคชีกระจาย เท่าที่ "ช่วงเวลาประมาณ " มันไม่สำคัญว่าคุณจะกำหนดสิ่งนั้นอย่างไร ใช้เวลา , , , หรือ ฯลฯและมันจะทำงาน สำหรับจำนวนเต็มบวกคุณยังสามารถใช้2} ช่วงเวลาของศูนย์รวมกับหนึ่งและวินาทีแรกคือผลรวมของซึ่งเบี่ยงเบนn n ( n - 1 , n ] [ n , n + 1 ) [ n - .5 , n + .5 ) p ( n ) = $p(n)$$n$$n$$(n-1,n]$$[n,n+1)$$[n-.5,n+.5)$$p(n) =\frac6{(n\pi)^2}$$\frac6{n\pi^2}$

และในความเป็นจริงสำหรับพหุนามใด ๆมีบางดังกล่าวว่าผลรวมเป็น 1 ถ้าเราแล้วใช้ช่วงเวลาวันที่เป็นคำสั่งของ , ที่จะแตกต่างc $p(n)$$c$ kkp(n$\frac c {p(n)}$$k$$k$$p(n)$