วิธีตัวอย่างอย่างสม่ำเสมอจากพื้นผิวของ hyper-ellipsoid (ระยะทาง Mahalanobis คงที่)?

ในกรณีหลายตัวแปรมูลค่าจริงมีวิธีการอย่างสม่ำเสมอตัวอย่างจุดจากพื้นผิวที่ Mahalanobis ระยะห่างจากค่าเฉลี่ยของค่าคงที่หรือไม่

แก้ไข: นี่แค่เดือดลงไปที่จุดสุ่มตัวอย่างอย่างสม่ำเสมอจากพื้นผิวของไฮเปอร์ - อิลลิพอยด์ที่ตรงกับสมการ

เพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้นโดย "สม่ำเสมอ" ฉันหมายถึงตัวอย่างที่องค์ประกอบแต่ละพื้นที่$dA$ของพื้นผิวไฮเปอร์ประกอบด้วยมวลความน่าจะเป็นเดียวกัน

เมื่อแกน ellipsoid ที่แตกต่างกันไม่แตกต่างกันมากเกินไปจึงเป็นไปได้ที่จะใช้การสุ่มตัวอย่างการปฏิเสธ (ด้วยความแตกต่างที่มีขนาดใหญ่คุณปฏิเสธมากทำให้เป็นไปได้น้อยลง)

• (1) ตัวอย่างบนทรงกลมไฮเปอร์
• (2) บีบมันเป็นไฮเปอร์ - รี
• (3) คำนวณอัตราที่พื้นที่ผิวถูกบีบ
• (4) ปฏิเสธตัวอย่างตามอัตรานั้น

ตัวอย่าง 2 มิติ

set.seed(1)
#some matrix to transform n-sphere (in this case 2x2)
m <- matrix(c(1, 0.55, 0.55, 0.55), 2)

# sample multinomial with identity covariance matrix
x <- cbind(rnorm(3000, 0, 1), rnorm(3000, 0, 1))
l1 <- sqrt(x[,1]^2 + x[,2]^2)

# perpendicular vector
per <- cbind(x[,2], -x[,1])

# transform x
x <- x %*% m
# transform perpendicular vector (to see how the area transforms)
per2 <- per %*% m

# get onto unit-"sphere"/ellipsoid
x <- x/l1

# this is how the area contracted
contract <- sqrt(per2[,1]^2 + per2[,2]^2) / sqrt(per[,1]^2 + per[,2]^2)

# then this is how we should choose to reject samples 
p <- contract/max(contract)

# rejecting
choose <- which( rbinom(n=length(p), size=1, p=p) == 1)

#plotting
plot(x[1:length(choose), 1], x[1:length(choose), 2],
     xlim=c(-1.2, 1.2), ylim=c(-1.2, 1.2),
     xlab = expression(x[1]), ylab = expression(x[2]),
     bg=rgb(0, 0, 0, 0.01), cex=0.6, pch=21, col=rgb(0, 0, 0, 0.01))
title("squeezed uniform circle \n ")

#plotting
plot(x[choose,1], x[choose,2],
     xlim=c(-1.2, 1.2), ylim=c(-1.2, 1.2),
     xlab = expression(x[1]), ylab = expression(x[2]),
     bg=rgb(0, 0, 0, 0.01), cex=0.6, pch=21, col=rgb(0, 0, 0, 0.01))
title("squeezed uniform circle \n  with rejection sampling")