อะไรคือผลลัพธ์ที่ทรงพลังที่สุดเกี่ยวกับ iid Gaussians สูงสุด? ใช้มากที่สุดในการฝึก?

รับ iid, พิจารณาตัวแปรสุ่ม$X_1, \ldots, X_n, \ldots \sim \mathscr{N}(0,1)$

$$Z_n := \max_{1 \le i \le n} X_i\,.$$

คำถาม:ผลลัพธ์ที่ "สำคัญ" ที่สุดเกี่ยวกับตัวแปรสุ่มเหล่านี้คืออะไร

เพื่อชี้แจง "ความสำคัญ" ซึ่งผลลัพธ์ใดที่มีผลลัพธ์เช่นอื่น ๆ มากที่สุดซึ่งเป็นผลลัพธ์เชิงตรรกะ? ผลลัพธ์ใดที่ใช้บ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ

โดยเฉพาะอย่างยิ่งดูเหมือนว่าจะเป็นชาวบ้านมีความรู้ในทางสถิติ (ทางทฤษฎี) ว่านั้น "โดยทั่วไปเหมือนกับ" \ sqrt {2 \ log n}อย่างน้อยที่สุด (ดูคำถามที่เกี่ยวข้องนี้)$Z_n$$\sqrt{2 \log n}$

อย่างไรก็ตามมีผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องมากมายในประเภทนี้และดูเหมือนว่าเป็นกรณีที่ส่วนใหญ่ไม่เท่ากันหรือบ่งบอกถึงกันและกัน ตัวอย่างเช่น$^*$ ,

$$\frac{Z_n}{\sqrt{2 \log n}} \overset{a.s.}{\to} 1 \,, \tag{1}$$

ซึ่งหากไม่มีสิ่งใดที่บ่งบอกถึงผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันในความน่าจะเป็นและการแจกแจง

อย่างไรก็ตามไม่ได้หมายความถึงผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องด้วย (ดูคำถามอื่น ๆ นี้ ) เช่น

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\mathbb{E}Z_n}{\sqrt{2 \log n}} =1 \,, \tag{2}$$

(นี่คือการออกกำลังกาย 2.17 ในหน้า 49 ของ ) หรือผลชาวบ้านอื่น :$\dagger$

$$\mathbb{E}Z_n = \sqrt{2 \log n} + \Theta(1) \,. \tag{3}$$

ไม่ใช่ asymptotically มันก็เป็นที่รู้กันว่าสำหรับแต่ละ (ดูที่นี่เพื่อพิสูจน์)$n$

$$\sqrt{c \log n} \le \mathbb{E}Z_n \le \sqrt{2 \log n} \tag{4}$$

สำหรับบางขนาดเล็กคผลลัพธ์ที่คล้ายกันสามารถแสดงผลสำหรับเนื่องจากอย่างหนัก$c$$|Z_n|$$Z_n$

การพิสูจน์ผลลัพธ์สุดท้ายนี้ตรงไปตรงมามากกว่าการพิสูจน์ผลลัพธ์อื่น ๆ ความหวังของฉันคือว่าผลลัพธ์เชิงซีมโทติคแรกจะบอกเป็นนัยเกี่ยวกับผลของซีมโทติคอื่น ๆ ทั้งหมดเพื่อที่ฉันจะรู้สึกมั่นใจที่จะมุ่งเน้นตลอดเวลาและพลังงานของฉันในการทำความเข้าใจผลลัพธ์นั้น แต่ดูเหมือนว่าไม่เป็นความจริงอีกครั้งดังนั้นตอนนี้มันยังไม่ชัดเจนสำหรับฉันที่ฉันควรมุ่งเน้น

$^*$ดู pp. 265-267 ของรุ่นที่สองของ Galambos, The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics , พิมพ์ในปี 1987 มันอาจจะระบุไว้ที่ใดที่หนึ่งในรุ่นแรก

$\dagger$ Boucheron, ลายเซ็น, Massart, ความเข้มข้นอสมการ: การ Nonasymptotic ทฤษฎีอิสรภาพ นอกเหนือ:หนังสือเล่มนี้อ้างถึง Galambos ตามความเป็นจริง แต่ฉันไม่พบมันที่ใดก็ได้ใน Galambos - เฉพาะผลลัพธ์แรกที่ฉันพูดถึง

ในแอปพลิเคชั่นความน่าจะเป็นใด ๆ วัตถุพื้นฐานที่สุดคือการแจกแจงโดยมีช่วงเวลาและคุณสมบัติที่ จำกัด ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องจากสิ่งนี้ ดังนั้นผลลัพธ์ที่ "สำคัญ" ที่สุดในแง่ที่คุณได้อธิบายไว้คือฟังก์ชันการแจกแจงแบบเต็ม$F_{Z_n}(z) = \Phi^n(z)$(ฟังก์ชั่นความหนาแน่นที่สอดคล้องกัน) ในทางปฏิบัติผลลัพธ์การกระจายนี้อาจจะกระจ่างน้อยกว่าคุณสมบัติเชิงซีโมติกพื้นฐานที่คุณได้แสดงไว้ แม้ว่ามันจะแสดงถึงผลลัพธ์เชิงตรรกะเหล่านี้อย่างมีเหตุผล แต่ในทัศนะของฉันผลลัพธ์เหล่านั้นมีแนวโน้มที่จะให้ความกระจ่างมากขึ้นในการทำความเข้าใจกับธรรมชาติที่เปลี่ยนแปลงของมูลค่าที่มากที่สุดเมื่อเราเปลี่ยน$n$.

เป็นที่ชัดเจนจากคำถามของคุณว่าคุณมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับคุณสมบัติค่าสุดขีดในกรณีของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน IID สูงสุด คุณสมบัติเหล่านี้สามารถหาได้จากฟังก์ชันการกระจายสำหรับ$Z_n$ดังนั้นนั่นคือวัตถุพื้นฐานที่สุดในการทำงานในปัญหานี้ ในหลายกรณีวัตถุพื้นฐานที่สุดไม่จำเป็นต้องส่องสว่างมากที่สุดดังนั้นคุณอาจพบว่าคุณต้องรู้ผลทั้งหมดและรู้ว่าพวกเขาให้ความสว่างในแง่มุมต่าง ๆ ของปัญหา

งานระหว่างทำ: กำลังดำเนินการ

ติดตามหน้า 370 ของ Cramer's 1946 วิธีการทางคณิตศาสตร์ของสถิติกำหนด

$$\Xi_n = n(1 - \Phi(Z_n)) \,.$$ ที่นี่ $\Phi$ เป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน $\mathscr{N}(0,1)$. ผลที่ตามมาของคำจำกัดความเรารับประกันได้ว่า$0\le \Xi_n \le n$ เกือบจะแน่นอน

พิจารณาการก่อให้เกิด $\omega \in \Omega$ของพื้นที่ตัวอย่างของเรา จากนั้นในแง่นี้$Z_n$ เป็นทั้งฟังก์ชั่นของ $n$ และ $\omega$และ $\Xi_n$ ฟังก์ชั่นของ $Z_n, n$และ $\omega$. สำหรับการแก้ไข$\omega$เราสามารถพิจารณา $Z_n$ ฟังก์ชั่นที่กำหนดขึ้นจาก $n$และ $\Xi_n$ ฟังก์ชั่นที่กำหนดขึ้นจาก $Z_n$ และ $n$จึงลดความซับซ้อนของปัญหา เรามุ่งมั่นที่จะแสดงผลลัพธ์ที่มีไว้สำหรับเกือบทั้งหมดแน่นอน$\omega \in \Omega$ทำให้เราสามารถโอนผลลัพธ์ของเราจากการวิเคราะห์แบบไม่กำหนดค่าไปยังการตั้งค่าที่ไม่ได้กำหนดไว้

ติดตามหน้า 374 ของ Cramer 1946 วิธีการทางคณิตศาสตร์ของสถิติสมมติสักครู่ (ฉันมุ่งมั่นที่จะกลับมาและจัดหาหลักฐานในภายหลัง) ที่เราสามารถแสดงให้เห็นว่า (สำหรับใด ๆ$\omega \in \Omega$) ส่วนต่อขยาย asymptotic ดังต่อไปนี้ถือ (โดยใช้การรวมโดยชิ้นส่วนและคำจำกัดความของ $\Phi$):

$$\frac{\sqrt{2\pi}}{n}\Xi_n = \frac{1}{Z_n}e^{-\frac{Z_n^2}{2}}\left( 1 + O \left( \frac{1}{Z_n^2} \right) \right) \quad ~~ as ~~ Z_n \to \infty \,. \tag{~}$$

เห็นได้ชัดว่าเรามีสิ่งนั้น $Z_{n+1} \ge Z_n$ สำหรับใด ๆ $n$และ $Z_n$ เป็นฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นอย่างแน่นอน $n$ เช่น $n\to \infty$ดังนั้นเราจึงอ้างสิทธิ์ในสิ่งที่ติดตามมาตลอดในการแก้ไข (เกือบทั้งหมด) $\omega$:

$$Z_n \to \infty \quad \iff \quad n \to \infty \,.$$

ดังนั้นจึงเป็นไปตามที่เรามี $\sim$หมายถึงความเท่าเทียมกันเชิงเส้นกำกับ ):

$$\frac{\sqrt{2\pi}}{n} \Xi_n \sim \frac{1}{Z_n} e^{-\frac{1}{Z_n^2}} \quad ~~ as ~~ Z_n \to \infty \quad n \to \infty \,.$$

วิธีที่เราดำเนินการในสิ่งต่อไปนี้เป็นจำนวนเงินโดยวิธีการของยอดคงเหลือที่โดดเด่นและการจัดการของเราจะได้รับการพิสูจน์อย่างเป็นทางการโดยบทแทรกต่อไปนี้:

บทแทรก:สมมติว่า$f(n) \sim g(n)$ เช่น $n \to \infty$และ $f(n) \to \infty$ (ดังนั้น $g(n) \to \infty$) จากนั้นได้รับฟังก์ชั่นใด ๆ$h$ซึ่งถูกสร้างขึ้นผ่านการเรียงลำดับการเพิ่มและการคูณของลอการิทึมและกฎหมายพลังงาน ( ฟังก์ชันใด ๆ ที่เป็น " โพลิล็อก ") เราต้องมีสิ่งนั้นเช่นกัน$n \to \infty$:

$$h(f(n)) \sim h(g(n)) \,.$$ กล่าวอีกนัยหนึ่งฟังก์ชั่น "polylog" ดังกล่าวจะรักษาความสมดุลของซีมโทติค

ความจริงของบทแทรกนี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบท 2.1 ตามที่เขียนไว้ที่นี่ ยังทราบว่าสิ่งที่ตามมาคือส่วนใหญ่ขยาย (รายละเอียดเพิ่มเติม) รุ่นของคำตอบให้กับคำถามที่คล้ายกันพบได้ที่นี่

การหาค่าลอการิทึมของทั้งสองฝ่ายเราได้:

$$\log ( \sqrt{2\pi} \Xi_n ) - \log n \sim -\log Z_n - \frac{Z_n^2}{2} \,. \tag{1}$$

นี่คือสิ่งที่แครมเมอร์ค่อนข้างเค็ม; เขาเพิ่งพูดว่า "สมมติว่า$\Xi_n$ ถูกผูกไว้ "เราสามารถสรุป blah blah blah แต่แสดงให้เห็นว่า $\Xi_n$มีขอบเขตที่เหมาะสมอย่างแน่นอนเกือบจะดูเหมือนว่าไม่ใช่เรื่องไม่สำคัญเลย ดูเหมือนว่าหลักฐานของเรื่องนี้อาจเป็นส่วนหนึ่งของสิ่งที่กล่าวถึงในหน้า 265-267 ของ Galambos แต่ฉันไม่แน่ใจว่าฉันยังคงทำงานเพื่อทำความเข้าใจเนื้อหาของหนังสือเล่มนั้น

อย่างไรก็ตามสมมติว่ามีใครสามารถแสดงให้เห็นว่า$\log \Xi_n = o(\log n)$แล้วมันก็จะตามมา (ตั้งแต่ $-Z_n^2/2$ ระยะปกครอง $-\log Z_n$ ระยะ) ที่:

$$- \log n \sim - \frac{Z_n^2}{2} \quad \implies \quad Z_n \sim \sqrt{2 \log n} \,.$$

มันค่อนข้างดีเนื่องจากมันเป็นสิ่งที่เราต้องการจะแสดงอยู่แล้วถึงแม้ว่ามันจะคุ้มค่าที่จะทราบว่ามันเป็นเพียงการเตะกระป๋องลงไปตามถนนเพราะตอนนี้เราต้องแสดงให้เห็นถึงขอบเขตของ $\Xi_n$. ในทางกลับกัน,$\Xi_n$ มีการแจกแจงแบบเดียวกันสำหรับตัวแปรสุ่มแบบสุ่มต่อเนื่องสูงสุดของ iid ดังนั้นสิ่งนี้อาจใช้การได้

อย่างไรก็ตามถ้า $Z_n \sim \sqrt{2 \log n}$ ในขณะที่ชัดเจนแล้วยังสามารถสรุปได้ว่า $Z_n \sim \sqrt{2 \log n}(1 + \alpha(n))$ สำหรับใด ๆ $\alpha(n)$ ซึ่งเป็น $o(1)$ เช่น $n \to \infty$. การใช้บทแทรกเกี่ยวกับฟังก์ชั่น polylog เพื่อรักษาความเท่าเทียมกันของซีมโทติคข้างต้นเราสามารถแทนที่นิพจน์นี้กลับไปเป็น$(1)$ ที่จะได้รับ:

$$\log(\sqrt{2 \pi} \Xi _n)- \log n \sim -\log (1 + \alpha) - \frac{1}{2}\log 2 - \frac{1}{2}\log \log n - \log n - 2 \alpha \log n - \alpha^2 \log n \,.$$

$$\implies -\log(\Xi_n \sqrt{2 \pi}) \sim \log(1 + \alpha) + \frac{1}{2} \log 2 + \frac{1}{2} \log \log n + 2\alpha \log n + \alpha^2 \log n \,.$$

ที่นี่เราต้องไปให้ไกลกว่านี้และคิดว่า$\log \Xi_n = o( \log \log n) ~~ as ~~ n \to \infty$เกือบจะแน่นอน อีกครั้งแครมเมอร์ทุกคนพูดว่า "เป็นเรื่องสมมติ$\Xi_n$ มีขอบเขต "แต่เนื่องจากทุกคนสามารถพูดปรกติได้ $\Xi_n$ คือว่า $0 \le Xi_n \le n$ ในขณะที่มันแทบจะไม่ชัดเจนว่าควรจะมี $\Xi_n = O(1)$ เกือบจะแน่นอนซึ่งดูเหมือนจะเป็นสาระสำคัญของข้อเรียกร้องของ Cramer

แต่อย่างไรก็ตามสมมติว่ามีใครเชื่อว่ามันจะตามมาด้วยคำศัพท์ที่โดดเด่นซึ่งไม่มี $\alpha$ คือ $\frac{1}{2} \log \log n$. ตั้งแต่$\alpha = o(1)$มันตามมาว่า $\alpha^2 = o(\alpha)$และชัดเจน $\log ( 1 + \alpha) = o (\alpha) = o(o(\alpha \log n))$ดังนั้นคำศัพท์ที่โดดเด่นจึงมี $\alpha$ คือ $2 \alpha \log n$. ดังนั้นเราสามารถจัดเรียงใหม่และ (หารทุกอย่างด้วย$\frac{1}{2}\log\log n$ หรือ $2 \alpha \log n$) พบว่า

$$- \frac{1}{2} \log \log n \sim 2 \alpha \log n \quad \implies \quad \alpha \sim - \frac{\log \log n}{4 \log n} \,.$$

ดังนั้นการแทนที่สิ่งนี้กลับเป็นด้านบนเราจะได้รับ:

$$Z_n \sim \sqrt{2 \log n}- \frac{\log\log n}{2 \sqrt{2 \log n}} \,,$$

อีกครั้งสมมติว่าเราเชื่อบางสิ่งเกี่ยวกับ $\Xi_n$.

เราทำการปรับปรุงเทคนิคเดิมอีกครั้ง ตั้งแต่$Z_n \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}}$แล้วมันก็จะตามมาด้วย

$$Z_n \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}} (1 + \beta(n)) = \sqrt{2 \log n} \left( 1 - \frac{\log \log n}{8 \log n}(1 + \beta(n)) \right) \,,$$

เมื่อไหร่ $\beta(n)=o(1)$. ลองลดความซับซ้อนลงเล็กน้อยก่อนที่จะทดแทนกลับเข้าที่ (1) โดยตรง เราเข้าใจว่า:

$$\log Z_n \sim \log(\sqrt{2 \log n}) + \underbrace{\log \left(1 - \frac{\log \log n}{8 \log n}(1 + \beta(n)) \right) }_{\log(O(1)) = o(\log n)} \sim \log (\sqrt{2 \log n}) \,.$$

$$\frac{Z_n^2}{2} \sim \log n - \frac{1}{2} \log \log n (1 + \beta) + \underbrace{\frac{(\log \log n)^2}{8 \log n} ( 1 \beta)^2}_{o((1+ \beta) \log \log n)} \sim \log n - \frac{1}{2} (1 + \beta) \log \log n \,.$$

แทนที่สิ่งนี้กลับเป็น (1) เราพบว่า:

$$\log ( \sqrt{2 \pi} \Xi_n) - \log n \sim - \log(\sqrt{2 \log n}) - \log n + \frac{1}{2}(1 + \beta) \log \log n \quad \implies \quad \beta \sim \frac{\log (4 \pi \Xi_n^2)}{\log \log n} \,.$$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าเกือบจะแน่นอน

$$Z_n \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}} \left(1 + \frac{\log(4 \pi) + 2 \log( \Xi_n)}{\log \log n} \right)\\ = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 \pi)}{ 2 \sqrt{2 \log n} } - \frac{\log (\Xi_n)}{\sqrt{2 \log n}} \,.$$

สิ่งนี้สอดคล้องกับผลสุดท้ายของ p.374 ของวิธีการทางคณิตศาสตร์ของ Cramer ในปี 1946 ยกเว้นว่าที่นี่จะไม่ได้รับคำสั่งผิดพลาดที่แน่นอน เห็นได้ชัดว่าการใช้คำนี้เพิ่มขึ้นอีกหนึ่งคำสั่งทำให้เกิดข้อผิดพลาด แต่ก็ไม่จำเป็นที่จะต้องพิสูจน์ผลลัพธ์เกี่ยวกับค่าสูงสุดของบรรทัดฐานมาตรฐาน iid ที่เราสนใจ

---

เมื่อพิจารณาจากผลลัพธ์ข้างต้นกล่าวคือเกือบจะแน่นอน:

$$Z_n \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 \pi)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\log (\Xi_n)}{\sqrt{2 \log n}} \quad \implies \\ Z_n = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 \pi)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\log (\Xi_n)}{\sqrt{2 \log n}} + o(1)\,. \tag{$\dagger$}$$

2.จากนั้นโดยความเป็นเส้นตรงของความคาดหวัง

$$\mathbb{E}Z_n = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 \pi)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\mathbb{E}[\log (\Xi_n)]}{\sqrt{2 \log n}} + o(1) \quad \implies \\ \frac{\mathbb{E}Z_n}{\sqrt{2 \log n}} = 1 - \frac{\mathbb{E}[\log \Xi_n]}{2 \log n} + o(1) \,.$$

ดังนั้นเราได้แสดงให้เห็นว่า

$$\lim_{n \to \infty } \frac{\mathbb{E} Z_n}{\sqrt{2 \log n}} = 1 \,,$$

ตราบใดที่เรายังสามารถแสดงให้เห็นว่า

$$\mathbb{E}[\log \Xi_n] = o(\log n) \,.$$

การแสดงนี้อาจไม่ยากเกินไปอีกครั้ง $\Xi_n$มีการแจกแจงแบบเดียวกันสำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องทุกตัว ดังนั้นเราจึงมีผลลัพธ์ที่สองจากด้านบน

1.ในทำนองเดียวกันเราก็มีจากเหนือที่เกือบแน่นอน:

$$\frac{Z_n}{\sqrt{2 \log n}} = 1 - \frac{\log(\Xi_n)}{2 \log n} +o(1),.$$

ดังนั้นหากเราสามารถแสดงได้ว่า:

$$\log(\Xi_n) = o(\log n) \text{ almost surely}, \tag{*}$$

จากนั้นเราจะแสดงผลลัพธ์แรกจากด้านบน ผลลัพธ์ (*) จะบ่งบอกถึง Fortiori อย่างชัดเจน$\mathbb{E}[\log (\Xi_n)] = o(\log n)$จึงให้ผลลัพธ์แรกกับเราจากด้านบน

โปรดทราบว่าในการพิสูจน์ด้านบนของ ($\dagger$) เราต้องสมมติว่า $\Xi_n = o(\log n)$ เกือบจะแน่นอน (หรืออย่างน้อยสิ่งที่คล้ายกัน) ดังนั้นถ้าเราสามารถแสดง ($\dagger$) จากนั้นเราน่าจะมีกระบวนการที่จำเป็นในการแสดง $\Xi_n = o(\log n)$ เกือบจะแน่นอนและถ้าเราสามารถพิสูจน์ได้ $(\dagger)$ เราน่าจะสามารถเข้าถึงข้อสรุปต่อไปนี้ได้ทันที

3.อย่างไรก็ตามถ้าเรามีผลลัพธ์นี้ฉันก็ไม่เข้าใจว่าจะมีอย่างนั้นได้อย่างไร$\mathbb{E}Z_n = \sqrt{2 \log n} + \Theta(1)$, ตั้งแต่ $o(1) \not= \Theta(1)$. แต่อย่างน้อยที่สุดมันก็ดูเหมือนจะเป็นจริงที่

$$\mathbb{E}Z_n = \sqrt{2 \log n} + O(1) \,.$$

---

ดังนั้นดูเหมือนว่าเราสามารถมุ่งเน้นไปที่การตอบคำถามว่าจะแสดงอย่างไร

$$\Xi_n = o(\log n) \text{ almost surely.}$$

เราจะต้องทำงานหนักหน่วงในการพิสูจน์ (~) แต่เพื่อความรู้ที่ดีที่สุดของฉันซึ่งเป็นเพียงแคลคูลัสและไม่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีความน่าจะเป็นแม้ว่าฉันจะยังไม่ได้นั่งลงและลองก็ตาม

ก่อนอื่นเราต้องผ่านสายโซ่ของเรื่องไร้สาระเพื่อที่จะเรียบเรียงปัญหาใหม่ในวิธีที่ทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น (โปรดสังเกตว่าตามคำนิยาม $\Xi_n \ge 0$):

$$\Xi_n = o(\log n) \quad \iff \quad \lim_{n \to \infty} \frac{\Xi_n}{\log n} = 0 \quad \iff \quad \\ \forall \varepsilon > 0, \frac{\Xi_n}{\log n} > \varepsilon \text{ only finitely many times} \quad \iff \\ \forall \varepsilon >0, \quad \Xi_n > \varepsilon \log n \text{ only finitely many times} \,.$$

หนึ่งยังมีที่:

$$\Xi_n > \varepsilon \log n \quad \iff \quad n(1 - F(Z_n)) > \varepsilon \log n \quad \iff \quad 1 - F(Z_n) > \frac{\varepsilon \log n}{n} \\ \iff \quad F(Z_n) < 1 - \frac{\varepsilon \log n}{n} \quad \iff \quad Z_n \le \inf \left\{ y: F(y) \ge 1 - \frac{\varepsilon \log n}{n} \right\} \,.$$

ตามลำดับกำหนดสำหรับทั้งหมด $n$:

$$u_n^{(\varepsilon)} = \inf \left\{ y: F(y) \ge 1 - \frac{\varepsilon \log n}{n} \right\} \,.$$

ดังนั้นขั้นตอนข้างต้นแสดงให้เราเห็นว่า:

$$\Xi_n = o(\log n) \text{ a.s.} \quad \iff \quad \mathbb{P}(\Xi_n = o(\log n)) = 1 \quad \iff \quad \\ \mathbb{P}(\forall \varepsilon > 0 , \Xi_n > \varepsilon \log n \text{ only finitely many times}) = 1 \\ \iff \mathbb{P}(\forall \varepsilon > 0, Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ only finitely many times}) = 1 \\ \iff \mathbb{P}(\forall \varepsilon >0, Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often}) =0 \,.$$

สังเกตว่าเราสามารถเขียน:

$$\{ \forall \varepsilon >0, Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \} = \bigcap_{\varepsilon > 0} \{ Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \} \,.$$

ลำดับ $u_n^{(\varepsilon)}$ มีขนาดใหญ่ขึ้นอย่างสม่ำเสมอ $\varepsilon$ ลดลงดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าเหตุการณ์

$$\{ Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \}$$ กำลังลดลง (หรืออย่างน้อย ๆ โมโนโทน) เป็น $\varepsilon$ ไปที่ $0$. ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้เกี่ยวกับลำดับเหตุการณ์แบบโมโนโทนิกทำให้เราสรุปได้ว่า:

$$\mathbb{P}(\forall \varepsilon >0, Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often}) = \\ \mathbb{P} \left( \bigcap_{\varepsilon > 0} \{ Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \} \right) = \\ \mathbb{P} \left( \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \{ Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \} \right) = \\ \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \mathbb{P}(Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often}) \,.$$

ดังนั้นจึงพอเพียงที่จะแสดงให้เห็นว่าสำหรับทุกคน$\varepsilon >0$,

$$\mathbb{P}(Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often}) = 0$$

เพราะแน่นอนว่าข้อ จำกัด ของลำดับคงที่ใด ๆ คือค่าคงที่

นี่คือผลของค้อนขนาดใหญ่:

ทฤษฎีบท 4.3.1., p. 252แห่ง Galambos, The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics , ฉบับที่ 2 ปล่อย$X_1, X_2, \dots$ เป็นตัวแปร iid ที่มีฟังก์ชันไม่กระจายทั่วไปและการแจกแจงแบบต่อเนื่อง $F(x)$และปล่อยให้ $u_n$ เป็นลำดับที่ไม่ลดลงเช่นนั้น $n(1 - F(u_n))$ก็ยังไม่ลดลง จากนั้นสำหรับ$u_n < \sup \{ x: F(x) <1 \}$,

$$\mathbb{P}(Z_n \le u_n \text{ infinitely often}) =0 \text{ or }1$$ ตาม $$\sum_{j=1}^{+\infty}[1 - F(u_j)]\exp(-j[1-F(u_j)]) < +\infty \text{ or }=+\infty \,.$$

การพิสูจน์นั้นเป็นเรื่องทางเทคนิคและใช้เวลาประมาณห้าหน้า แต่ท้ายที่สุดแล้วมันกลับกลายเป็นบทพิสูจน์ของบทสรุปของ Borel-Cantelli ฉันอาจลองพยายามพิสูจน์หลักฐานเพื่อใช้เฉพาะส่วนที่จำเป็นสำหรับการวิเคราะห์นี้รวมถึงข้อสมมติฐานที่มีในกรณี Gaussian ซึ่งอาจสั้นกว่า (แต่อาจไม่ใช่) และพิมพ์ที่นี่ แต่ไม่แนะนำให้กลั้นหายใจ โปรดทราบว่าในกรณีนี้$\omega(F)=+\infty$ดังนั้นเงื่อนไขนั้นจึงว่างเปล่าและ $n(1-F(n))$ คือ $\varepsilon \log n$ ชัดเจนจึงไม่ลดลง

อย่างไรก็ตามประเด็นที่น่าสนใจคือทฤษฎีบทนี้หากเราสามารถแสดงได้ว่า:

$$\sum_{j=1}^{+\infty}[1 - F(u_j^{(\varepsilon)})]\exp(-j[1-F(u_j^{(\varepsilon)})]) = \sum_{j=1}^{+\infty}\left[ \frac{\varepsilon \log j}{j} \right]\exp(-\varepsilon \log j) = \varepsilon \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{ \log j}{j^{1 + \varepsilon}} < + \infty \,.$$

โปรดทราบว่าเนื่องจากการเติบโตแบบลอการิทึมนั้นช้ากว่าการเติบโตของกฎพลังงานสำหรับกฎกำลังบวกใด ๆ $\log \log n \le \alpha \log n \iff \log n \le n^{\alpha}$ และความไม่เท่าเทียมกันในอดีตสามารถมองเห็นได้สำหรับทุกคน $n$ มีขนาดใหญ่พอสมควรเนื่องจากความจริงที่ว่า $\log n \le n$ และการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร) เรามี:

$$\sum_{j=1}^{+\infty} \frac{\log j}{j^{1 + \varepsilon}} \le \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{j^{\varepsilon/2}}{j^{1 + \varepsilon}} = \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{1}{j^{1 + \varepsilon/2}} < +\infty \,,$$

ตั้งแต่p-seriesเป็นที่รู้จักกันเพื่อมาบรรจบกันทั้งหมด$p>1$และ $\varepsilon >0$ แน่นอนความหมาย $1 + \varepsilon/2 > 1$.

ดังนั้นการใช้ทฤษฎีบทข้างต้นเราได้แสดงให้เห็นแล้วสำหรับทุกคน $\varepsilon >0$, $\mathbb{P}(Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ i.o.}) = 0$ซึ่งการสรุปความหมายควรหมายความว่า $\Xi_n = o(\log n)$ เกือบจะแน่นอน

เราจำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่า $\log \Xi_n = o(\log \log n)$. สิ่งนี้ไม่ได้ติดตามจากด้านบนเนื่องจากเช่น

$$\frac{1}{n} \log n = o(\log n) \,, - \log n + \log \log n \not= o(\log n) \,.$$

อย่างไรก็ตามได้รับลำดับ $x_n$หากสามารถแสดงได้ $x_n = o( (\log n)^{\delta})$ สำหรับโดยพลการ $\delta >0$จากนั้นจะทำตามนั้น $\log(x_n) = o(\log \log n)$. เป็นการดีที่ฉันต้องการจะแสดงสิ่งนี้สำหรับ$\Xi_n$ ใช้บทแทรกด้านบน (สมมติว่าเป็นจริง) แต่ไม่สามารถทำได้ (ณ ตอนนี้)