ค่าที่คาดหวังของลอการิทึมของการแจกแจงแกมมาคืออะไร?

หากค่าที่คาดหวังของคือค่าคาดหวังของ ? สามารถคำนวณเชิงวิเคราะห์ได้หรือไม่? $\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$ $\frac{\alpha}{\beta}$ $\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

การตั้งพาราเมทริกที่ฉันใช้คืออัตรารูปร่าง

expected-value gamma-distribution

— Stefano Vespucci
แหล่งที่มา

ถ้า , จากนั้นตาม mathStatica / Mathematica, + PolyGamma [a], ที่ PolyGamma หมายถึงฟังก์ชัน digamma

X \sim Gamma (a, b)

$X \sim \text{Gamma}(a,b)$

E [\log (X)] = \log (b)

$E[ \log(X) ] = \log(b)$

— wolfies

ฉันควรเพิ่มว่าคุณไม่ได้ให้รูปแบบ pdf ของตัวแปร Gamma ของคุณและเนื่องจากคุณรายงานว่าค่าเฉลี่ยคือ (สำหรับฉันแล้วมันจะเป็นดูเหมือนว่าคุณใช้สัญกรณ์แตกต่างจากฉันอยู่ที่ไหน your

α / β

$\alpha/\beta$

a b

$a b$

β = 1 / b

$\beta= 1/b$

— wolfies

จริงขอโทษ การตั้งพาราเมทริกที่ฉันใช้คืออัตรารูปร่าง ฉันจะพยายามค้นหามันสำหรับการตั้งชื่อแบบนี้ . คุณช่วยแนะนำการค้นหาสำหรับ Mathematica / WolframAlpha ได้ไหม

\frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x}

${\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$

— Stefano Vespucci

ดูเพิ่มเติม Johnson, Lotz และ Balakrishna (1994) การแจกแจง univariate ต่อเนื่องเล่ม 1 2nd Ed หน้า 337-349

— Björn

ดูที่ Wikipedia: Gamma Distribution # ความคาดหวังและความแปรปรวนลอการิทึม

— Glen_b

คำตอบ:

หนึ่งนี้ (อาจจะน่าแปลกใจ) สามารถทำได้ด้วยการดำเนินงานระดับประถมศึกษาง่าย (ใช้เคล็ดลับที่ชื่นชอบของ Richard Feynman ของการแยกความแตกต่างภายใต้สัญลักษณ์สำคัญที่เกี่ยวกับพารามิเตอร์)

เราสมมติว่ามีการกระจายและเราต้องการค้นหาความคาดหวังของ ก่อนอื่นเนื่องจากเป็นพารามิเตอร์สเกลผลของมันจะเปลี่ยนลอการิทึมโดย (หากคุณใช้เป็นพารามิเตอร์ให้คะแนนดังเช่นในคำถามจะเปลี่ยนลอการิทึมโดย ) สิ่งนี้ทำให้เราสามารถทำงานกับ case $X$ $\Gamma(\alpha,\beta)$ $Y=\log(X).$ $\beta$ $\log\beta.$ $\beta$ $-\log\beta.$ $\beta=1.$

หลังจากการทำให้เข้าใจง่ายนี้องค์ประกอบความน่าจะเป็นของคือ $X$

f_{X} (x) = \frac{1}{Γ (α)} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x}

$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$

โดยที่เป็นค่าคงที่ normalizing $\Gamma(\alpha)$

Γ (α) = \int_{0}^{\infty} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x} .

$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$

แทนซึ่งเป็นรายละเอียดให้องค์ประกอบความน่าจะเป็นของ , $x=e^y,$ $\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$ $Y$

f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} e^{α y - e^{y}} d y .

$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$

ตอนนี้ค่าที่เป็นไปได้ของอยู่เหนือจำนวนจริงทั้งหมด $Y$ $\mathbb{R}.$

เนื่องจากต้องรวมเข้ากับความสามัคคีเราจึงได้รับ (เล็กน้อย) $f_Y$

\begin{matrix} (1) & Γ (α) = \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y . \end{matrix}

$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$

ขอให้สังเกตว่าเป็นฟังก์ชั่น differentiable ของการคำนวณที่ง่ายช่วยให้ $f_Y(y)$ $\alpha.$

\frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y = y e^{α y - e^{y}} d y = Γ (α) y f_{Y} (y) .

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$

ขั้นตอนต่อไปใช้ประโยชน์จากความสัมพันธ์ที่ได้รับโดยการหารทั้งสองด้านของตัวตนนี้โดยดังนั้นจึงเผยให้เห็นวัตถุที่เราต้องรวมเข้าด้วยกันเพื่อค้นหาความคาดหวัง; คือ $\Gamma(\alpha),$ $y f_Y(y):$

\begin{aligned} E (Y) & = \int_{R} y f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{R} \frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} Γ (α) \\ = \frac{d}{d α} \log Γ (α) \\ = ψ (α), \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$

อนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชันแกมม่า (aka " polygamma ") อินทิกรัลถูกคำนวณโดยใช้เอกลักษณ์ $(1).$

การแนะนำปัจจัยแสดงผลลัพธ์ทั่วไปคือ $\beta$

E (\log (X)) = \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$

สำหรับการปรับขนาดพารามิเตอร์ (ที่ฟังก์ชันความหนาแน่นขึ้นอยู่กับ ) หรือ $x/\beta$

E (\log (X)) = - \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$

สำหรับอัตราพารามิเตอร์ (ที่ฟังก์ชันความหนาแน่นขึ้นอยู่กับ ) $x\beta$

— whuber
แหล่งที่มา

ด้วยฟังก์ชัน polygamma คุณหมายถึงคำสั่งใด (เช่น 0,1) เป็น digamma (ตามที่ @wolfies ชี้), trigamma?

— Stefano Vespucci

@tefano ฉันหมายถึงอนุพันธ์ลอการิทึมของแกมม่าตามที่ระบุไว้ นั่นหมายความว่า

ψ (z) = Γ^{'} (z) / Γ (z) .

$\psi(z) = \Gamma^\prime(z)/\Gamma(z).$

— whuber

คำตอบของ @whuber นั้นค่อนข้างดี ฉันจะเน้นย้ำคำตอบของเขาในรูปแบบทั่วไปซึ่งเชื่อมโยง (ในความคิดของฉัน) ได้ดีขึ้นด้วยทฤษฎีทางสถิติและทำให้ชัดเจนถึงพลังของเทคนิคโดยรวม

พิจารณาครอบครัวของการแจกแจงซึ่งเป็นที่ยอมรับของครอบครัวชี้แจงซึ่งหมายความว่าพวกเขายอมรับความหนาแน่น ด้วยความเคารพต่อมาตรการที่ใช้กันทั่วไป (โดยทั่วไปคือ Lebesgue หรือการนับจำนวน) การแยกความแตกต่างของ ด้วยความเคารพเราไปถึงสมการคะแนน โดยที่เป็นฟังก์ชันคะแนน $\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$

f_{θ} (x) = \exp {s (x) θ - A (θ) + h (x)}

$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$

\int f_{θ} (x) d x = 1

$\int f_\theta(x) \ dx = 1$

θ

$\theta$

\begin{matrix} (†) & \int f_{θ}^{'} (x) = \int \frac{f_{θ}^{'} (x)}{f_{θ} (x)} f_{θ} (x) = \int u_{θ} (x) f_{θ} (x) d x = 0 \end{matrix}

$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$

u_{θ} (x) = \frac{d}{d θ} \log f_{θ} (x)

$u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$ และเราได้กำหนดไว้(x) ในกรณีของตระกูลเอ็กซ์โปเนนเชียลเรามี โดยที่ ; บางครั้งเรียกว่าฟังก์ชัน cumulantเนื่องจากมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชัน cumulant มันดังต่อไปในขณะนี้จากที่theta)

f_{θ}^{'} (x) = \frac{d}{d θ} f_{θ} (x)

$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$

u_{θ} (x) = s (x) - A^{'} (θ)

$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$

A^{'} (θ) = \frac{d}{d θ} A (θ)

$A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$

(†)

$(\dagger)$

E_{θ} [s (X)] = A^{'} (θ)

$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$

ตอนนี้เราแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถคำนวณความต้องการที่คาดหวังได้ เราสามารถเขียนความหนาแน่นของแกมม่าด้วยคงที่เป็นตระกูลเลขชี้กำลัง นี้เป็นครอบครัวที่ชี้แจงในคนเดียวกับและ\ ตอนนี้จะติดตามทันทีโดยการคำนวณที่ $\beta$

f_{θ} (x) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x} = \exp {\log (x) α + α \log β - \log Γ (α) - β x} .

$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$ $\alpha$

s (x) = \log x

$s(x) = \log x$

A (α) = \log Γ (α) - α \log β

$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$

\frac{d}{d α} A (α)

$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$

E [\log X] = ψ (α) - \log β .

$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$

— ผู้ชาย
แหล่งที่มา

+1 ขอบคุณที่ชี้ให้เห็นถึงลักษณะทั่วไปที่ดีนี้

— whuber