วิธีการจำลองจากแบบเกาส์เกาส์?

สมมติว่าฉันมีการแจกแจงมาร์จิ้นที่ไม่แปรผันสองค่ากล่าวว่า$F$และ$G$ซึ่งฉันสามารถจำลองได้ ตอนนี้สร้างร่วมกันจำหน่ายของตนโดยใช้เชื่อม Gaussianชี้แนะ$C(F,G;\Sigma)$ ) ทราบพารามิเตอร์ทั้งหมด

มีวิธีการที่ไม่ใช่ MCMC สำหรับการจำลองจาก copula นี้หรือไม่?

มีวิธีง่าย ๆ ในการจำลองจากแบบเกาส์เกาส์ซึ่งมีพื้นฐานมาจากคำจำกัดความของการแจกแจงแบบหลายตัวแปรแบบธรรมดาและแบบเกาส์

ฉันจะเริ่มต้นด้วยการให้คำจำกัดความที่จำเป็นและคุณสมบัติของการแจกแจงแบบหลายตัวแปรปกติตามด้วย copula Gaussian จากนั้นฉันจะให้อัลกอริทึมในการจำลองจาก Copula Gauss

การแจกแจงปกติหลายตัวแปร
เวกเตอร์สุ่มมีการแจกแจงปกติหลายตัวแปรถ้า X d = μ + A Z โดย ที่Zเป็นเวกเตอร์มิติk ของมิติอิสระอิสระของตัวแปรสุ่มมาตรฐานμคือd-มิติเวกเตอร์ของค่าคงที่และAคือเมทริกซ์d × kของค่าคงที่ สัญกรณ์d$X = (X_1, \ldots, X_d)'$

$$X \stackrel{\mathrm{d}}{=} \mu + AZ,$$ $Z$$k$$\mu$$d$$A$$d\times k$$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$หมายถึงความเท่าเทียมกันในการจัดจำหน่าย ดังนั้นองค์ประกอบแต่ละส่วนของจึงเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของตัวแปรสุ่มมาตรฐานแบบอิสระ จากคุณสมบัติของเวกเตอร์เฉลี่ยและเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเรามี E ( X ) = μและc o v ( X ) = Σ , ด้วยΣ = A A ′ , นำไปสู่สัญกรณ์ธรรมชาติX ∼ N d ( μ , Σ $X$
${\rm E}(X) = \mu$${\rm cov}(X) = \Sigma$$\Sigma = AA'$$X \sim {\rm N}_d(\mu, \Sigma)$ )

Gauss เชื่อมGauss เชื่อมถูกกำหนด implicitely จากการกระจายปกติหลายตัวแปรที่เป็นเชื่อมเกาส์เป็นตัวเชื่อมที่เกี่ยวข้องกับการกระจายปกติหลายตัวแปร โดยเฉพาะจากทฤษฎีบทของ Sklar สโคคูลเกาส์คือ C P ( u 1 , … , u d ) = Φ P ( Φ - 1 ( u 1 ) , … , Φ - 1 ( u d ) ) โดย ที่Φ

$$C_P(u_1, \ldots, u_d) = \boldsymbol{\Phi}_P(\Phi^{-1}(u_1), \ldots, \Phi^{-1}(u_d)),$$ $\Phi$หมายถึงฟังก์ชั่นการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานและหมายถึงฟังก์ชั่นการแจกแจงปกติแบบมาตรฐานหลายตัวแปรที่มีเมทริกซ์สหสัมพันธ์ P ดังนั้นโคคูล่าเกาส์นั้นเป็นการแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปรมาตรฐานที่การแปลงความน่าจะเป็นหนึ่ง$\boldsymbol{\Phi}_P$ถูกนำไปใช้ในแต่ละอัตรากำไรขั้นต้น

อัลกอริธึมการจำลอง
ในมุมมองข้างต้นวิธีธรรมชาติในการจำลองจากขั้วเกาส์คือการจำลองจากการแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปรมาตรฐานด้วยเมทริกซ์สหสัมพันธ์ที่เหมาะสมและการแปลงแต่ละระยะขอบโดยใช้การแปลงความน่าจะเป็นอินทิกรัล ในขณะที่การจำลองจากการแจกแจงปกติหลายตัวแปรด้วยความแปรปรวนร่วมเมทริกซ์Σเป็นหลักลงไปทำผลรวมถ่วงน้ำหนักของตัวแปรสุ่มมาตรฐานที่เป็นอิสระมาตรฐานซึ่งเมทริกซ์ "น้ำหนัก" Aสามารถรับได้โดยการสลายตัว Choleskyของเมทริกซ์แปรปรวนร่วม$P$$\Sigma$$A$$\Sigma$ Σ

ดังนั้นอัลกอริทึมในการจำลองตัวอย่างจากโคอาซ์เกาส์ที่มีเมทริกซ์สหสัมพันธ์Pคือ:$n$$P$

1. ทำการสลายตัว Cholesky ของและตั้งค่าAเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมที่ได้$P$$A$
2. ทำซ้ำขั้นตอนต่อไปนี้ครั้ง $n$
   1. สร้างเวกเตอร์ของตัวแปรมาตรฐานอิสระอิสระ$Z = (Z_1, \ldots, Z_d)'$
   2. ตั้ง$X = AZ$
   3. ย้อนกลับ '$U = (\Phi(X_1), \ldots, \Phi(X_d))'$

รหัสต่อไปนี้ในตัวอย่างการใช้อัลกอริทึมนี้โดยใช้ R:

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
P <- matrix(c(1, 0.1, 0.8,               # Correlation matrix
              0.1, 1, 0.4,
              0.8, 0.4, 1), nrow = 3)
d <- nrow(P)                             # Dimension
n <- 200                                 # Number of samples

## Simulation (non-vectorized version)
A <- t(chol(P))
U <- matrix(nrow = n, ncol = d)
for (i in 1:n){
    Z      <- rnorm(d)
    X      <- A%*%Z
    U[i, ] <- pnorm(X)
}

## Simulation (compact vectorized version) 
U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))

## Visualization
pairs(U, pch = 16,
      labels = sapply(1:d, function(i){as.expression(substitute(U[k], list(k = i)))}))

แผนภูมิต่อไปนี้แสดงข้อมูลที่เป็นผลมาจากรหัส R ด้านบน