ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงแกมม่ากับการแจกแจงแบบปกติ

ฉันเพิ่งพบว่าจำเป็นต้องได้รับ PDF สำหรับสแควร์ของตัวแปรสุ่มปกติที่มีค่าเฉลี่ย 0 ไม่ว่าด้วยเหตุผลใดก็ตามฉันเลือกที่จะไม่ทำให้ค่าความแปรปรวนเป็นปกติก่อน ถ้าฉันทำอย่างถูกต้องแล้วไฟล์ PDF นี้เป็นดังนี้:

N^{2} (x; σ^{2}) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π} \sqrt{x}} e^{\frac{- x}{2 σ^{2}}}

$N^2(x; \sigma^2) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi} \sqrt{x}} e^{\frac{-x}{2\sigma^2}}$

ฉันสังเกตเห็นว่านี่เป็นความจริงเพียงแค่การกระจายตัวของแกมม่า:

N^{2} (x; σ^{2}) = Gamma (x; \frac{1}{2}, 2 σ^{2})

$N^2(x; \sigma^2) = \operatorname{Gamma}(x; \frac{1}{2}, 2 \sigma^2)$

และจากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของ gammas สองตัว (ที่มีพารามิเตอร์มาตราส่วนเดียวกัน) เท่ากับแกมม่าอีกอันหนึ่งมันก็จะบอกว่าแกมม่านั้นเทียบเท่ากับผลรวมของตัวแปรสุ่มปกติ $k$ กำลังสอง

N_{Σ}^{2} (x; k, σ^{2}) = Gamma (x; \frac{k}{2}, 2 σ^{2})

$N^2_\Sigma(x; k, \sigma^2) = \operatorname{Gamma}(x; \frac{k}{2}, 2 \sigma^2)$

ฉันรู้สึกประหลาดใจเล็กน้อย แม้ว่าฉันจะรู้ว่าการแจกแจง $\chi^2$ - การกระจายของผลรวมของRVs มาตรฐานแบบธรรมดา - เป็นกรณีพิเศษของแกมม่า, ฉันไม่ได้ตระหนักว่าแกมม่านั้นเป็นเพียงลักษณะทั่วไปที่อนุญาตให้ใช้ผลรวมของตัวแปรสุ่มปกติ ของความแปรปรวนใด ๆ สิ่งนี้นำไปสู่ลักษณะอื่น ๆ ที่ฉันไม่เคยพบมาก่อนเช่นการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเทียบเท่ากับผลรวมของการแจกแจงแบบปกติสองกำลังสอง

ทั้งหมดนี้ค่อนข้างลึกลับสำหรับฉัน การกระจายตัวแบบพื้นฐานเป็นพื้นฐานของการกระจายตัวของแกมม่าหรือไม่ในลักษณะที่ฉันอธิบายไว้ข้างต้น? ทรัพยากรส่วนใหญ่ที่ฉันตรวจสอบไม่ได้เอ่ยถึงว่าการแจกแจงสองอย่างนั้นมีความเกี่ยวข้องกันภายในเช่นนี้หรือแม้กระทั่งสำหรับเรื่องนั้นอธิบายว่าแกมม่าได้รับมาอย่างไร สิ่งนี้ทำให้ฉันคิดว่าความจริงระดับต่ำกว่าอยู่ที่การเล่นที่ฉันได้เน้นเพียงวิธีที่ซับซ้อน?

normal-distribution gamma-distribution

— timxyz
แหล่งที่มา

หนังสือระดับปริญญาตรีจำนวนมากเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นที่กล่าวถึงผลลัพธ์ข้างต้นทั้งหมด แต่บางทีตำราสถิติไม่ครอบคลุมความคิดเหล่านี้? ในกรณีใด ๆ

ตัวแปรสุ่ม

เป็นเพียง

ที่

เป็นมาตรฐานตัวแปรปกติแบบสุ่มและอื่น ๆ (สำหรับตัวแปร IID)

เป็นเพียงแค่ปรับขนาด

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$

Y_{i}

$Y_i$

σ X_{i}

$\sigma X_i$

X_{i}

$X_i$

\sum_{i} Y_{i}^{2} = σ^{2} \sum_{i} X_{i}^{2}

$\sum_i Y_i^2 = \sigma^2 \sum_i X_i^2$

χ^{2}

$\chi^2$ ตัวแปรสุ่มไม่น่าแปลกใจสำหรับผู้ที่ศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็น

— Dilip Sarwate

ฉันมาจากพื้นหลังของคอมพิวเตอร์วิสัยทัศน์ดังนั้นโดยปกติไม่พบทฤษฎีความน่าจะเป็น ไม่มีตำราของฉัน (หรือ Wikipedia) ที่พูดถึงการตีความนี้ ฉันคิดว่าฉันยังถามว่ามีอะไรพิเศษเกี่ยวกับผลรวมของการแจกแจงปกติสองรูปแบบที่ทำให้เป็นแบบจำลองที่ดีสำหรับเวลารอ (เช่นการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล) มันยังคงรู้สึกเหมือนฉันคิดถึงอะไรบางอย่างที่ลึกล้ำ

— timxyz

ตั้งแต่วิกิพีเดียกำหนดการกระจายไคสแควร์เป็นผลรวมของกำลังสอง Normals ที่en.wikipedia.org/wiki/Chi-squared_distribution#Definitionและกล่าวถึงไคสแควร์เป็นกรณีพิเศษของรังสี (ที่en.wikipedia.org/wiki / Gamma_distribution # อื่น ๆ ) เราสามารถอ้างว่าความสัมพันธ์เหล่านี้แทบจะไม่เป็นที่รู้จักกันดี ความแปรปรวนเองเพียงแค่สร้างหน่วยของการวัด (พารามิเตอร์มาตราส่วน) ในทุกกรณีและดังนั้นจึงไม่มีความยุ่งยากเพิ่มขึ้นเลย

— whuber

ในขณะที่ผลลัพธ์เหล่านี้เป็นที่รู้จักกันดีในด้านความน่าจะเป็นและสถิติทำได้ดีสำหรับคุณ @timxyz สำหรับการค้นพบใหม่ในการวิเคราะห์ของคุณเอง

— Reinstate Monica

การเชื่อมต่อนั้นไม่ลึกลับเป็นเพราะพวกเขาเป็นสมาชิกของตระกูลการแจกแจงแบบเลขชี้กำลังสมบัติสำคัญซึ่งพวกมันสามารถมาถึงได้โดยการแทนที่ตัวแปรและ / หรือพารามิเตอร์ ดูคำตอบอีกต่อไปด้านล่างพร้อมตัวอย่าง

— Carl

คำตอบ:

ดังที่ความเห็นของศ. Sarwate ได้กล่าวไว้ความสัมพันธ์ระหว่างกำลังสองปกติกับไคสแควร์นั้นเป็นข้อเท็จจริงที่แพร่หลายอย่างกว้างขวางซึ่งควรเป็นข้อเท็จจริงที่ว่าไคสแควร์เป็นเพียงกรณีพิเศษของการกระจายแกมม่า:

X \sim N (0, σ^{2}) \Rightarrow X^{2} / σ^{2} \sim χ_{1}^{2} \Rightarrow X^{2} \sim σ^{2} χ_{1}^{2} = Gamma (\frac{1}{2}, 2 σ^{2})

$X \sim N(0,\sigma^2) \Rightarrow X^2/\sigma^2 \sim \mathcal \chi^2_1 \Rightarrow X^2 \sim \sigma^2\mathcal \chi^2_1= \text{Gamma}\left(\frac 12, 2\sigma^2\right)$

ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายตามมาจากคุณสมบัติการขยายของแกมมา

สำหรับความสัมพันธ์กับเลขชี้กำลังจะถูกต้องมันคือผลรวมของสองบรรทัดฐานศูนย์ - หมายความว่าสองเฉลี่ยแต่ละขนาดโดยความแปรปรวนของอื่น ๆที่นำไปสู่การแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชีย:

X_{1} \sim N (0, σ_{1}^{2}), X_{2} \sim N (0, σ_{2}^{2}) \Rightarrow \frac{X_{1}^{2}}{σ_{1}^{2}} + \frac{X_{2}^{2}}{σ_{2}^{2}} \sim χ_{2}^{2} \Rightarrow \frac{σ_{2}^{2} X_{1}^{2} + σ_{1}^{2} X_{2}^{2}}{σ_{1}^{2} σ_{2}^{2}} \sim χ_{2}^{2}

$X_1 \sim N(0,\sigma^2_1),\;\; X_2 \sim N(0,\sigma^2_2) \Rightarrow \frac{X_1^2}{\sigma^2_1}+\frac{X_2^2}{\sigma^2_2} \sim \mathcal \chi^2_2 \Rightarrow \frac{\sigma^2_2X_1^2+ \sigma^2_1X_2^2}{\sigma^2_1\sigma^2_2} \sim \mathcal \chi^2_2$

\Rightarrow σ_{2}^{2} X_{1}^{2} + σ_{1}^{2} X_{2}^{2} \sim σ_{1}^{2} σ_{2}^{2} χ_{2}^{2} = Gamma (1, 2 σ_{1}^{2} σ_{2}^{2}) = Exp (\frac{1}{2 σ_{1}^{2} σ_{2}^{2}})

$\Rightarrow \sigma^2_2X_1^2+ \sigma^2_1X_2^2 \sim \sigma^2_1\sigma^2_2\mathcal \chi^2_2 = \text{Gamma}\left(1, 2\sigma^2_1\sigma^2_2\right) = \text{Exp}( {1\over {2\sigma^2_1\sigma^2_2}})$

$e$

$f(x) = x$ $[-2,\,2]$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

... หรือวาดกราฟมาตรฐานความหนาแน่นปกติเทียบกับความหนาแน่นไคสแควร์: พวกมันสะท้อนและแสดงพฤติกรรมสุ่มแตกต่างกันโดยสิ้นเชิงแม้ว่าพวกมันจะเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิดตั้งแต่ที่สองคือความหนาแน่นของตัวแปรที่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรก ปกติอาจเป็นเสาหลักที่สำคัญมากของระบบทางคณิตศาสตร์ที่เราพัฒนาขึ้นเพื่อจำลองพฤติกรรมแบบสุ่ม - แต่เมื่อคุณยกกำลังสองมันจะกลายเป็นสิ่งอื่นโดยสิ้นเชิง

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

ขอบคุณที่พูดถึงคำถามในย่อหน้าสุดท้ายของฉันโดยเฉพาะ

— timxyz

ยินดีต้อนรับคุณ ฉันต้องยอมรับว่าฉันดีใจที่คำตอบของฉันมาถึง OP ดั้งเดิม 26 เดือนหลังจากที่โพสต์คำถาม

— Alecos Papadopoulos

ให้เราตอบคำถามที่โพสต์ทั้งหมดนี้ค่อนข้างลึกลับสำหรับฉัน การกระจายตัวแบบปกติเป็นพื้นฐานของการกระจายตัวของแกมม่าหรือไม่? ไม่มีความลึกลับจริงๆมันเป็นเพียงแค่การแจกแจงแบบปกติและการแจกแจงแกมมาเป็นสมาชิกในหมู่คนอื่น ๆ ของครอบครัวของการแจกแจงชี้แจงครอบครัวที่ถูกกำหนดโดยความสามารถในการแปลงระหว่างรูปแบบ Equational โดยการทดแทนของพารามิเตอร์และ / หรือตัวแปร เป็นผลให้มีหลายแปลงโดยเปลี่ยนตัวระหว่างการกระจายมีไม่กี่แห่งที่มีการสรุปในภาพด้านล่าง

LEEMIS, Lawrence M .; Jacquelyn T. MCQUESTON (กุมภาพันธ์ 2551) "Univariate การกระจายความสัมพันธ์" (PDF) นักสถิติชาวอเมริกัน 62 (1): 45–53 ดอย: 10.1198 / 000313008x270448 อ้างอิง

ต่อไปนี้เป็นความสัมพันธ์การแจกแจงแบบปกติและแกมม่าสองแบบโดยละเอียดยิ่งขึ้น

GD (z; a, b) = \begin{array}{cc} {\begin{cases} \frac{b^{- a} z^{a - 1} e^{- \frac{z}{b}}}{Γ (a)} & z > 0 \\ 0 & other \end{cases} . \end{array}

$\text{GD}(z;a,b)=\begin{array}{cc} & \begin{cases} \dfrac{b^{-a} z^{a-1} e^{-\dfrac{z}{b}}}{\Gamma (a)} & z>0 \\ 0 & \text{other} \\ \end{cases} \,. \\ \end{array}$

$a\rightarrow \infty$ $a$ $(a-1) \sqrt{\dfrac{1}{a}} k$ $b$ $\sqrt{\dfrac{1}{a}}$

$k$ $b=\sqrt{\dfrac{1}{a}} k$ $z=(a-1) \sqrt{\dfrac{1}{a}} k+x\ .$

GD ((a - 1) \sqrt{\frac{1}{a}} k + x; a, \sqrt{\frac{1}{a}} k) = \begin{array}{cc} {\begin{cases} \frac{{(\frac{k}{\sqrt{a}})}^{- a} e^{- \frac{\sqrt{a} x}{k} - a + 1} {(\frac{(a - 1) k}{\sqrt{a}} + x)}^{a - 1}}{Γ (a)} & x > \frac{k (1 - a)}{\sqrt{a}} \\ 0 & other \end{cases} \end{array} .

$\text{GD}\left((a-1) \sqrt{\frac{1}{a}} k+x;\ a,\ \sqrt{\frac{1}{a}} k\right)=\begin{array}{cc} & \begin{cases} \dfrac{\left(\dfrac{k}{\sqrt{a}}\right)^{-a} e^{-\dfrac{\sqrt{a} x}{k}-a+1} \left(\dfrac{(a-1) k}{\sqrt{a}}+x\right)^{a-1}}{\Gamma (a)} & x>\dfrac{k(1-a)}{\sqrt{a}} \\ 0 & \text{other} \\ \end{cases} \\ \end{array}\,.$

$a\rightarrow\infty$ $x$ $\rightarrow -\infty$ $a\rightarrow \infty$

lim_{a \to \infty} \frac{{(\frac{k}{\sqrt{a}})}^{- a} e^{- \frac{\sqrt{a} x}{k} - a + 1} {(\frac{(a - 1) k}{\sqrt{a}} + x)}^{a - 1}}{Γ (a)} = \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2 k^{2}}}}{\sqrt{2 π} k} = ND (x; 0, k^{2})

$\lim_{a\to \infty } \, \frac{\left(\frac{k}{\sqrt{a}}\right)^{-a} e^{-\frac{\sqrt{a} x}{k}-a+1} \left(\frac{(a-1) k}{\sqrt{a}}+x\right)^{a-1}}{\Gamma (a)}=\dfrac{e^{-\dfrac{x^2}{2 k^2}}}{\sqrt{2 \pi } k}=\text{ND}\left(x;0,k^2\right)$

กราฟิกสำหรับและ GD เป็นสีน้ำเงินและ จำกัดอยู่ใน สีส้มด้านล่าง $k=2$ $a=1,2,4,8,16,32,64$ $\text{ND}\left(x;0,\ 2^2\right)$

ข้อที่สองให้เราชี้ให้เห็นว่าเนื่องจากความคล้ายคลึงกันของรูปแบบระหว่างการแจกแจงเหล่านี้เราสามารถพัฒนาความสัมพันธ์ระหว่างแกมม่าและการแจกแจงแบบปกติโดยดึงพวกมันออกมาจากอากาศบาง ๆ เราจะพัฒนาวิธีการกระจายแกมม่าแบบ "กางออก" ต่อไปของการแจกแจงแบบปกติ

โปรดทราบก่อนว่ามันเป็นการสนับสนุนแบบกึ่งไม่มีที่สิ้นสุดของการแจกแจงแกมม่าที่ขัดขวางความสัมพันธ์โดยตรงกับการแจกแจงแบบปกติ อย่างไรก็ตามสิ่งกีดขวางนั้นสามารถลบออกได้เมื่อพิจารณาการกระจายแบบครึ่งปกติซึ่งมีการสนับสนุนแบบกึ่งอนันต์ ดังนั้นเราสามารถสรุปการแจกแจงแบบปกติ (ND) โดยการพับครึ่งแรกให้เป็นครึ่งธรรมดา (HND) ซึ่งเกี่ยวข้องกับการแจกแจงแกมม่าทั่วไป (GD) จากนั้นสำหรับแรงเดอทัวร์ของเราเรา "แฉ" ทั้ง (HND และ GD) เพื่อสร้าง ND ทั่วไป (GND) ดังนั้น

การกระจายแกมม่าทั่วไป

GD (x; α, β, γ, μ) = \begin{array}{cc} {\begin{cases} \frac{γ e^{- {(\frac{x - μ}{β})}^{γ}} {(\frac{x - μ}{β})}^{α γ - 1}}{β Γ (α)} & x > μ \\ 0 & other \end{cases} \end{array},

$\text{GD}\left(x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\mu \right)=\begin{array}{cc} & \begin{cases} \dfrac{\gamma e^{-\left(\dfrac{x-\mu }{\beta }\right)^{\gamma }} \left(\dfrac{x-\mu }{\beta }\right)^{\alpha \gamma -1}}{\beta \,\Gamma (\alpha )} & x>\mu \\ 0 & \text{other} \\ \end{cases} \\ \end{array}\,,$

สามารถ reparameterized จะเป็นการกระจายครึ่งปกติ ,

GD (x; \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{π}}{θ}, 2, 0) = \begin{array}{cc} {\begin{cases} \frac{2 θ e^{- \frac{θ^{2} x^{2}}{π}}}{π} & x > 0 \\ 0 & other \end{cases} \end{array} = HND (x; θ)

$\text{GD}\left(x;\frac{1}{2},\frac{\sqrt{\pi }}{\theta },2,0 \right)=\begin{array}{cc} & \begin{cases} \dfrac{2 \theta e^{-\dfrac{\theta ^2 x^2}{\pi }}}{\pi } & x>0 \\ 0 & \text{other} \\ \end{cases} \\ \end{array}\,\,\,=\text{HND}(x;\theta)$

โปรดทราบว่าดังนั้น $\theta=\frac{\sqrt{\pi}}{\sigma\sqrt{2}}.$

ND (x; 0, σ^{2}) = \frac{1}{2} HND (x; θ) + \frac{1}{2} HND (- x; θ) = \frac{1}{2} GD (x; \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{π}}{θ}, 2, 0) + \frac{1}{2} GD (- x; \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{π}}{θ}, 2, 0),

$\text{ND}\left(x;0,\sigma^2\right)=\frac{1}{2}\text{HND}(x;\theta)+\frac{1}{2}\text{HND}(-x;\theta)=\frac{1}{2}\text{GD}\left(x;\frac{1}{2},\frac{\sqrt{\pi }}{\theta },2,0 \right)+\frac{1}{2}\text{GD}\left(-x;\frac{1}{2},\frac{\sqrt{\pi }}{\theta },2,0 \right)\,,$

ซึ่งหมายความว่า

\begin{aligned} GND (x; μ, α, β) & = \frac{1}{2} GD (x; \frac{1}{β}, α, β, μ) + \frac{1}{2} GD (- x; \frac{1}{β}, α, β, μ) \\ = \frac{β e^{- {(\frac{| x - μ |}{α})}^{β}}}{2 α Γ (\frac{1}{β})} \end{aligned},

$\begin{align} \text{GND}(x;\mu,\alpha,\beta) &= \frac{1}{2}\text{GD}\left(x;\frac{1}{\beta},\alpha,\beta,\mu \right)+\frac{1}{2}\text{GD}\left(-x;\frac{1}{\beta},\alpha,\beta,\mu \right)\\ &= \frac{\beta e^{-\left(\dfrac{\left|x-\mu\right|}{\alpha }\right)^{\mathrm{\Large{\beta}}}}}{2 \alpha \Gamma \left(\dfrac{1}{\beta }\right)}\\ \end{align} \,,$

เป็นการวางหลักเกณฑ์ทั่วไปของการแจกแจงปกติโดยที่คือที่ตั้งคือมาตราส่วนและคือรูปร่างและที่ให้การแจกแจงแบบปกติ ซึ่งจะรวมถึงการกระจาย Laplace เมื่อ 1 ในฐานะที่เป็น , ลู่หนาแน่น pointwise จะมีความหนาแน่นเครื่องแบบalpha) ด้านล่างคือรูปแบบการแจกแจงปกติแบบทั่วไปสำหรับสีน้ำเงินในกรณีปกติสีส้ม $\mu$ $\alpha>0$ $\beta>0$ $\beta=2$ $\beta=1$ $\beta\rightarrow\infty$ $(\mu-\alpha,\mu+\alpha)$ $\alpha =\frac{\sqrt{\pi} }{2}\,,\beta=1/2,1,4$ $\alpha =\frac{\sqrt{\pi} }{2},\,\beta=2$

ดังกล่าวข้างต้นจะเห็นได้ว่าการกระจายปกติทั่วไป1 รุ่นและใน parameterizations ที่แตกต่างกันเป็นที่รู้จักกันกระจายอำนาจชี้แจงและกระจายความผิดพลาดทั่วไปซึ่งอยู่ในหนึ่งหันของอื่น ๆ อีกหลายแจกแจงปกติทั่วไป

— คาร์ล
แหล่งที่มา

การได้มาของการแจกแจงแบบไคสแควร์จากการแจกแจงแบบปกตินั้นคล้ายคลึงกับการกระจายตัวแบบแกมม่าจากการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

เราควรจะสามารถสรุปสิ่งนี้:

ถ้าเป็นตัวแปรอิสระจากการแจกแจงปกติทั่วไปด้วยสัมประสิทธิ์พลังงานดังนั้นสามารถเกี่ยวข้องกับการแจกแจงไคสแควร์ที่ปรับขนาดได้บางส่วน (กับ "ดีกรีอิสระ" เท่ากับ ) $X_i$ $m$ $Y = \sum_{i}^n {X_i}^m$ $n/m$

การเปรียบเทียบมีดังต่อไปนี้:

การแจกแจงแบบปกติและการแจกแจงแบบไคสแควร์สัมพันธ์กับผลรวมของกำลังสอง

การกระจายความหนาแน่นร่วมของตัวแปรอิสระที่แจกแจงแบบมาตรฐานหลายมาตรฐานขึ้นอยู่กับ $\sum x_i^2$
$f(x_1, x_2, ... ,x_n) = \frac{\exp \left( {-0.5\sum_{i=1}^{n}{x_i}^2}\right)}{(2\pi)^{n/2}}$
ถ้า $X_i \sim N(0,1)$

ดังนั้น $\sum_{i=1}^n {X_i}^2 \sim \chi^2(\nu)$

การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลและแกมม่าเกี่ยวข้องกับผลรวมปกติ

การกระจายความหนาแน่นของรอยต่อของตัวแปรอิสระแบบเอ็กซ์โปแนนเชียลหลายตัวนั้นขึ้นอยู่กับ $\sum x_i$

$f(x_1, x_2, ... ,x_n) = \frac{\exp \left( -\lambda\sum_{i=1}^{n}{x_i} \right)}{\lambda^{-n}}$
ถ้า $X_i \sim Exp(\lambda)$

ดังนั้น $\sum_{i=1}^n X_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$

การสืบทอดมาสามารถทำได้โดยการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรที่รวมกันไม่เกินแต่แทนเฉพาะในระยะรวม (นี่คือสิ่งที่เพียร์สันได้ทำในปี 1900) สิ่งนี้จะคล้ายกันมากในทั้งสองกรณี $x_1,x_2,...x_n$

สำหรับการ : $\chi^2$

\begin{array}{rcl} f_{χ^{2} (n)} (s) d s & = & \frac{e^{- s / 2}}{{(2 π)}^{n / 2}} \frac{d V}{d s} d s \\ = & \frac{e^{- s / 2}}{{(2 π)}^{n / 2}} \frac{π^{n / 2}}{Γ (n / 2)} s^{n / 2 - 1} d s \\ = & \frac{1}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} s^{n / 2 - 1} e^{- s / 2} d s \end{array}

$\begin{array}{rcl} f_{\chi^2(n)}(s) ds &=& \frac{e^{-s/2}}{\left( 2\pi \right)^{n/2}} \frac{dV}{ds} ds\\ &=& \frac{e^{-s/2}}{\left( 2\pi \right)^{n/2}} \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}s^{n/2-1} ds \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}s^{n/2-1}e^{-s/2} ds \\ \end{array}$

โดยที่คือปริมาตร n-ball ของ n-ball ที่มีรัศมีกำลังสอง . $V(s) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}s^{n/2}$ $s$

สำหรับการแจกแจงแกมม่า:

\begin{array}{rcl} f_{G (n, λ)} (s) d s & = & \frac{e^{- λ s}}{λ^{- n}} \frac{d V}{d s} d s \\ = & \frac{e^{- λ s}}{λ^{- n}} n \frac{s^{n - 1}}{n!} d s \\ = & \frac{λ^{n}}{Γ (n)} s^{n - 1} e^{- λ s} d s \end{array}

$\begin{array}{rcl} f_{G(n,\lambda)}(s) ds &=& \frac{e^{-\lambda s}}{\lambda^{-n}} \frac{dV}{ds} ds\\ &=& \frac{e^{-\lambda s}}{\lambda^{-n}} n \frac{s^{n-1}}{n!}ds \\ &=& \frac{\lambda^{n}}{ \Gamma(n)} s^{n-1} e^{-\lambda s} ds \\ \end{array}$

ที่ไหนเป็น n มิติปริมาตรของ n-polytope กับ<s $V(s) = \frac{s^n}{n!}$ $\sum x_i < s$

การกระจายของรังสีแกมมาสามารถมองเห็นได้เป็นเวลาที่รอคอยสำหรับเหตุการณ์ -th ในกระบวนการ Poisson ซึ่งเป็นกระจายเป็นผลรวมของตัวแปรกระจายชี้แจง $Y$ $n$ $n$

ดังที่ Alecos Papadopoulos ได้กล่าวไว้แล้วว่าไม่มีการเชื่อมต่อที่ลึกกว่าซึ่งทำให้ผลรวมของตัวแปรปกติกำลังสองเป็น 'แบบจำลองที่ดีสำหรับเวลารอคอย' การแจกแจงแกมม่าเป็นการกระจายของผลรวมของตัวแปรการแจกแจงแบบปกติทั่วไป นั่นคือวิธีที่ทั้งสองมารวมกัน

แต่ชนิดของผลรวมและชนิดของตัวแปรอาจแตกต่างกัน ในขณะที่การแจกแจงแกมม่าเมื่อได้รับมาจากการแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียล (p = 1) ได้รับการตีความการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล (เวลารอ) คุณไม่สามารถย้อนกลับและย้อนกลับไปหาตัวแปร Gaussian

การแจกแจงความหนาแน่นสำหรับเวลาที่รอซึ่งลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียลและการแจกแจงความหนาแน่นสำหรับข้อผิดพลาดแบบเกาส์เซียนจะลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล นั่นเป็นอีกวิธีหนึ่งที่จะเห็นทั้งสองเชื่อมต่อกัน

— Sextus Empiricus
แหล่งที่มา