ถ้าเป็น IID ให้คำนวณโดยที่

คำถาม

หากมี IID แล้วคำนวณที่x_i$X_1,\cdots,X_n \sim \mathcal{N}(\mu, 1)$$\mathbb{E}\left( X_1 \mid T \right)$$T = \sum_i X_i$

---

ความพยายาม : โปรดตรวจสอบว่าด้านล่างถูกต้องหรือไม่

สมมติว่าเราใช้ผลรวมของความคาดหวังตามเงื่อนไขเหล่านั้น หมายความว่าแต่ละตั้งแต่คือ IID

$$\begin{align} \sum_i \mathbb{E}\left( X_i \mid T \right) = \mathbb{E}\left( \sum_i X_i \mid T \right) = T . \end{align}$$ $\mathbb{E}\left( X_i \mid T \right) = \frac{T}{n}$$X_1,\ldots,X_n$

ดังนั้น$\mathbb{E}\left( X_1 \mid T \right) = \frac{T}{n}${n} ถูกต้องหรือไม่

ความคิดถูกต้อง - แต่มีคำถามที่แสดงให้เห็นว่ามันเข้มงวดขึ้นเล็กน้อย ดังนั้นฉันจะมุ่งเน้นไปที่สัญกรณ์และการเปิดเผยสาระสำคัญของความคิด

---

เริ่มจากความคิดเรื่องการแลกเปลี่ยนกันเถอะ:

ตัวแปรสุ่ม$\mathbf X=(X_1, X_2, \ldots, X_n)$สามารถแลกเปลี่ยนได้เมื่อการแจกแจงของตัวแปรที่เปลี่ยนรูปแบบ$\mathbf{X}^\sigma=(X_{\sigma(1)}, X_{\sigma(2)}, \ldots, X_{\sigma(n)})$ทุกคนเหมือนกันสำหรับทุกการเปลี่ยนแปลงที่เป็นไปได้σ$\sigma$

iidอย่างชัดเจนหมายถึงการแลกเปลี่ยน

เป็นเรื่องของสัญกรณ์เขียน$X^\sigma_i = X_{\sigma(i)}$สำหรับ$i^\text{th}$ส่วนประกอบของและให้$\mathbf{X}^\sigma$

$$T^\sigma = \sum_{i=1}^n X^\sigma_i = \sum_{i=1}^n X_i = T.$$

ปล่อยให้เป็นดัชนีใด ๆ และให้เปลี่ยนรูปของดัชนีที่ส่งถึง (เช่นมีอยู่เพราะเราสามารถสลับและ ) การแลกเปลี่ยนของหมายถึง$j$$\sigma$$1$$j = \sigma(1).$$\sigma$$1$J$j.$$\mathbf X$

$$E[X_1\mid T] = E[X^\sigma_1\mid T^\sigma] = E[X_j\mid T],$$

เพราะ (ในความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรก) เราเพิ่งแทนที่ด้วย vectorกระจาย นี่คือปมของเรื่อง$\mathbf X$$\mathbf X^\sigma.$

ดังนั้น

$$T = E[T \mid T] = E[\sum_{i=1}^n X_i\mid T] = \sum_{i=1}^n E[X_i\mid T] = \sum_{i=1}^n E[X_1\mid T] = n E[X_1 \mid T],$$

จากไหน

$$E[X_1\mid T] = \frac{1}{n} T.$$

$\newcommand{\one}{\mathbf 1}$นี่ไม่ใช่ข้อพิสูจน์ (และ +1 ถึง @ คำตอบของ whuber) แต่มันเป็นวิธีเรขาคณิตในการสร้างสัญชาตญาณว่าทำไม คือ คำตอบที่สมเหตุสมผล$E(X_1 | T) = T/n$

ให้และดังนั้น\ จากนั้นเราจะปรับเงื่อนไขในเหตุการณ์ที่สำหรับบางดังนั้นนี่จึงเหมือนกับการวาดเกาส์หลายตัวแปรที่รองรับในแต่ดูเฉพาะที่จบลงด้วยการเลียนแบบ พื้นที่\} จากนั้นเราต้องการทราบค่าเฉลี่ยของพิกัดของจุดที่ที่ดินในพื้นที่เลียนแบบนี้ (ไม่เป็นไรหรอกว่าเป็นหน่วยย่อยเป็นศูนย์)$X = (X_1,\dots,X_n)^T$$\one = (1,\dots,1)^T$$T = \one^TX$$\one^TX = t$$t \in \mathbb R$$\mathbb R^n$$\{x \in \mathbb R^n : \one^Tx = t\}$$x_1$

เรารู้ ดังนั้นเราจึงมีทรงกลมเกาส์เซียนที่มีค่าเฉลี่ยคงที่เวกเตอร์และเวกเตอร์เฉลี่ยอยู่ในบรรทัดเดียวกับเวกเตอร์ปกติของไฮเพอร์เพลน0

$$X \sim \mathcal N(\mu \one, I)$$ $\mu\one$$x^T\one = 0$

สิ่งนี้ทำให้เรามีสถานการณ์เหมือนภาพด้านล่าง:

แนวคิดสำคัญ: ครั้งแรกจินตนาการความหนาแน่นมากกว่าสเปซเลียนแบบ\} ความหนาแน่นของสมมาตรรอบตั้งแต่\ ความหนาแน่นนอกจากนี้ยังจะได้ส่วนบนเป็นยังเป็นสมมาตรผ่านสายเดียวกันและจุดที่อยู่รอบ ๆ ซึ่งมันเป็นสมมาตรเป็นจุดตัดของเส้นและx_2 นี้เกิดขึ้นสำหรับ2)$H_t := \{x : x^T\one = t\}$$X$$x_1 = x_2$$E(X) \in \text{span } \one$$H_t$$H_t$$x_1 + x_2 = t$$x_1 = x_2$$x = (t/2, t/2)$

ไปที่รูปภาพเราสามารถจินตนาการการสุ่มตัวอย่างซ้ำแล้วซ้ำอีกและเมื่อใดก็ตามที่เราได้คะแนนเป็นเราจะใช้พิกัดและบันทึกไว้ จากสมมาตรของความหนาแน่นที่กระจายของพิกัดยังจะสมมาตรและมันจะมีจุดศูนย์กลางเดียวกันของ 2 ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแบบสมมาตรคือจุดศูนย์กลางของสมมาตรดังนั้นนี่หมายความว่าและตั้งแต่และสามารถถูก excahnged ได้โดยไม่มีผลกระทบ สิ่งใด$E(X_1 | T)$$H_t$$x_1$$H_t$$x_1$$t/2$$E(X_1 | T) = T/2$$E(X_1| T) = E(X_2 | T)$$X_1$$X_2$

ในมิติที่สูงขึ้นสิ่งนี้ยาก (หรือเป็นไปไม่ได้) ที่จะมองเห็นได้อย่างชัดเจน แต่แนวคิดเดียวกันนี้นำไปใช้: เรามี Gaussian ทรงกลมที่มีค่าเฉลี่ยในช่วงและเรากำลังดูพื้นที่ย่อยเลียนแบบที่ตั้งฉากกับมัน . จุดสมดุลของการแจกแจงในพื้นที่ย่อยจะยังคงเป็นจุดตัดของและซึ่งอยู่ที่และความหนาแน่นยังคงสมมาตรดังนั้นจุดสมดุลนี้คือค่าเฉลี่ยอีกครั้ง$\one$$\text{span }\one$$\{x : x^T\one = t\}$$x=(t/n, \dots, t/n)$

อีกครั้งนั่นไม่ใช่ข้อพิสูจน์ แต่ฉันคิดว่ามันให้ความคิดที่ดีว่าทำไมคุณถึงคาดหวังพฤติกรรมนี้ตั้งแต่แรก

---

นอกเหนือจากนี้เนื่องจากบางคนเช่น @StubbornAtom ได้ระบุไว้ว่าสิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องใช้ในการเป็นเกาส์เซียน ใน 2-D ให้สังเกตว่าถ้าสามารถแลกเปลี่ยนได้แล้ว (โดยทั่วไปแล้ว ) ดังนั้นfจะต้องสมมาตรอยู่เหนือเส้นx 1 = x 2 นอกจากนี้เรายังมีE ( X ) ∈ ขยาย  1ดังนั้นทุกอย่างที่ฉันพูดเกี่ยวกับ "ความคิดหลัก" ในภาพแรกยังคงอยู่ นี่คือตัวอย่างที่X iเป็น iid จากแบบจำลองการผสมแบบเกาส์เซียน ทุกบรรทัดมีความหมายเหมือนเมื่อก่อน$X$$X$$f(x_1, x_2) = f(x_2, x_1)$$f(x) = f(x^\sigma)$$f$$x_1 = x_2$$E(X) \in \text{span }\one$$X_i$

ฉันคิดว่าคำตอบของคุณถูกต้องแม้ว่าฉันจะไม่แน่ใจเกี่ยวกับบรรทัดนักฆ่าในบทพิสูจน์ของคุณ แต่มันก็เป็นเรื่องจริง "เพราะพวกเขาเป็น iid" อีกวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหาแบบเดียวกันนี้มีดังต่อไปนี้:

คิดเกี่ยวกับสิ่ง$\mathbb{E}(x_{i}|T)$จริง ๆ แล้วหมายถึง คุณรู้ว่าคุณมีตัวอย่างที่มีการอ่านค่า N และค่าเฉลี่ยของพวกเขาคือ T ความหมายนี้คืออะไรในตอนนี้การแจกแจงพื้นฐานที่พวกเขาถูกสุ่มตัวอย่างจากเรื่องอื่น ๆ อีกต่อไป (คุณจะสังเกตเห็นว่า ตัวอย่างจาก Gaussian ในหลักฐานของคุณ)

$\mathbb{E}(x_{i}|T)$คือคำตอบสำหรับคำถามหากคุณสุ่มตัวอย่างจากตัวอย่างของคุณโดยมีการแทนที่หลายครั้งสิ่งที่จะเป็นค่าเฉลี่ยที่คุณได้รับ นี่คือผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด, คูณด้วยความน่าจะเป็นหรือ$\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{N}x_{i}$ซึ่งเท่ากับ T