การกระจายตัวของฟังก์ชั่นคืออะไร?

ฉันกำลังอ่านตำราGaussian Process สำหรับการเรียนรู้ของเครื่องโดย CE Rasmussen และ CKI Williams และฉันมีปัญหาในการทำความเข้าใจว่าการกระจายตัวของฟังก์ชั่นนั้นมีความหมายว่าอย่างไร ในหนังสือเรียนยกตัวอย่างให้ใครคิดว่าฟังก์ชั่นเป็นเวกเตอร์ที่ยาวมาก ๆ (อันที่จริงแล้วมันควรจะยาวไม่สิ้นสุด?) ดังนั้นผมจึงจินตนาการว่าการกระจายตัวของฟังก์ชันจะเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบ "เหนือ" ค่าเวกเตอร์เช่นนั้น มันจะเป็นความน่าจะเป็นที่ฟังก์ชันจะใช้ค่านี้หรือไม่? หรือเป็นความน่าจะเป็นที่ฟังก์ชันจะใช้ค่าที่อยู่ในช่วงที่กำหนดหรือไม่? หรือการกระจายตัวของฟังก์ชั่นคือความน่าจะเป็นที่กำหนดให้กับทั้งฟังก์ชัน?

คำพูดจากตำราเรียน:

บทที่ 1: บทนำหน้า 2

กระบวนการเกาส์เซียนเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบเกาส์ ในขณะที่การแจกแจงความน่าจะเป็นอธิบายตัวแปรสุ่มซึ่งเป็นสเกลาร์หรือเวกเตอร์ (สำหรับการแจกแจงหลายตัวแปร) กระบวนการสโทคาสติกจะควบคุมคุณสมบัติของฟังก์ชัน ออกจากความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์กันเราสามารถคิดฟังก์ชั่นเป็นเวกเตอร์ที่ยาวมาก ๆ อย่างอิสระแต่ละรายการในเวกเตอร์ที่ระบุค่าฟังก์ชัน f (x) ที่อินพุตเฉพาะ x ปรากฎว่าแม้ว่าความคิดนี้จะไร้เดียงสาเพียงเล็กน้อย แต่ก็ใกล้เคียงกับสิ่งที่เราต้องการ อันที่จริงคำถามของวิธีที่เราจัดการกับวัตถุมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุดเหล่านี้มีความละเอียดที่น่าพอใจมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้: ถ้าคุณถามคุณสมบัติของฟังก์ชั่นที่มีจำนวน จำกัด เท่านั้น

บทที่ 2: การถดถอยหน้า 7

มีหลายวิธีในการตีความโมเดลการถดถอยแบบเกาส์กระบวนการ (GP) เราสามารถคิดถึงกระบวนการเกาส์เซียนในการกำหนดการกระจายผ่านฟังก์ชั่นและการอนุมานที่เกิดขึ้นโดยตรงในพื้นที่ของฟังก์ชั่นมุมมองพื้นที่ฟังก์ชั่น

จากคำถามแรก:

ฉันทำภาพแนวคิดนี้เพื่อลองนึกภาพสิ่งนี้ด้วยตัวเอง ฉันไม่แน่ใจว่าคำอธิบายที่ฉันทำเพื่อตัวเองนั้นถูกต้องหรือไม่

หลังจากการอัพเดต:

หลังจากคำตอบของGijsฉันได้อัปเดตรูปภาพให้เป็นแนวคิดมากกว่านี้:

แนวคิดนี้มีความเป็นนามธรรมมากกว่าการแจกแจงแบบปกติ ปัญหาคือเราคุ้นเคยกับแนวคิดของการแจกแจง$\mathbb{R}$โดยทั่วไปแล้วจะแสดงเป็นเส้นแล้วขยายมันไปยังพื้นผิว$\mathbb{R}^2$และอื่น ๆ เพื่อการกระจายตัว$\mathbb{R}^n$ n แต่ไม่สามารถแสดงพื้นที่ของฟังก์ชันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือเส้นหรือเวกเตอร์ได้ มันไม่ได้เป็นความผิดทางอาญาที่จะคิดว่ามันเป็นอย่างนั้นเหมือนที่คุณทำ แต่ทฤษฎีที่ทำงานใน$\mathbb{R}^n$ , ต้องทำอย่างไรกับระยะละแวกใกล้เคียงและเช่น (ซึ่งเป็นที่รู้จักกันเป็นโครงสร้างของพื้นที่) จะไม่เหมือนกันใน พื้นที่ของฟังก์ชั่น ดังนั้นการวาดมันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถให้ความรู้ผิดเกี่ยวกับพื้นที่นั้นได้

คุณสามารถนึกถึงพื้นที่ของฟังก์ชั่นเป็นชุดใหญ่ของฟังก์ชั่นอาจจะเป็นสิ่งที่ถ้าคุณจะ การกระจายที่นี่จะให้ความน่าจะเป็นในการวาดเซตย่อยของสิ่งเหล่านั้น การกระจายจะบอกว่า: ความน่าจะเป็นที่การวาดครั้งถัดไป (ของฟังก์ชัน) ของคุณอยู่ในชุดย่อยนี้ตัวอย่างเช่น 10% ในกรณีของกระบวนการ Gaussian เกี่ยวกับฟังก์ชั่นในสองมิติคุณอาจถามรับx-coordinate และช่วงเวลาของy- ค่านี่คือส่วนของเส้นแนวตั้งขนาดเล็กความน่าจะเป็นที่ฟังก์ชัน (สุ่ม) จะผ่านเส้นเล็ก ๆ นี้เป็นเท่าใด นั่นจะเป็นความน่าจะเป็นในเชิงบวก ดังนั้นกระบวนการแบบเกาส์ระบุการแจกแจง (ของความน่าจะเป็น) เหนือช่องว่างของฟังก์ชัน ในตัวอย่างนี้ชุดย่อยของพื้นที่ของฟังก์ชั่นเป็นชุดย่อยที่ผ่านส่วนของเส้น

คอนแวนต์การตั้งชื่อที่น่าสับสนอีกอย่างที่นี่ก็คือการกระจายตัว$\mathbb{R}$

คำถามของคุณถูกถามและตอบอย่างสวยงามในเว็บไซต์ Mathematics SE:

/math/2297424/extending-a-distribution-over-samples-to-a-distribution-over-functions

ดูเหมือนคุณจะไม่คุ้นเคยกับแนวคิดของการวัดแบบเกาส์เกี่ยวกับช่องว่างแบบไม่ จำกัด มิติฟังก์ชันเชิงเส้นการวัดแบบผลักดันเป็นต้นดังนั้นฉันจะพยายามทำให้มันง่ายที่สุดเท่าที่จะทำได้

$L^2([0,1])$$I=[0,1]$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}^n$$L^2$

อย่างไรก็ตามยังมี "เคล็ดลับ" อย่างง่ายที่อิงตามทฤษฎีบทการขยาย Kolmogorovซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะมีการนำวิธีการสโทแคสติกมาใช้ในหลักสูตรความน่าจะเป็นส่วนใหญ่ซึ่งไม่ได้วัดตามทฤษฎีอย่างหนัก ตอนนี้ฉันกำลังจะเป็นมากมือหยักและไม่เข้มงวดและ จำกัด ตัวเองกับกรณีของกระบวนการเกาส์ หากคุณต้องการคำจำกัดความทั่วไปคุณสามารถอ่านคำตอบข้างต้นหรือค้นหาลิงก์ Wikipedia ทฤษฎีบทส่วนขยายของ Kolmogorov นำไปใช้กับกรณีการใช้งานเฉพาะของคุณระบุมากหรือน้อยดังต่อไปนี้:

• $S_n=\{ t_1, \dots ,t_n\} \subset I$$\mathbf{x}_n=(x(t_1),\dots,x(t_n))$มีการกระจายแบบเกาส์หลายตัวแปร
• $S_n, S_m, \enspace S_n\subset S_m$$f_{S_n}(x_1,\dots,x_n)$$f_{S_m}(x_1,\dots,x_{n},x_{n+1},\dots,x_m)$$f_{S_m}$$S_m$$S_n$$f_{S_n}$

• $X$$L^2$$S_n$$n$

ทฤษฎีบททั่วไปนั้นกว้างกว่า แต่ฉันคิดว่านี่คือสิ่งที่คุณกำลังมองหา