จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าไม่มีพื้นที่ จำกัด สำหรับเคอร์เนล Gaussian RBF?

วิธีการพิสูจน์ว่าสำหรับฟังก์ชันพื้นฐานของรัศมีไม่มีคุณลักษณะพื้นที่ จำกัด มิติHดังกล่าวว่าสำหรับบางΦ:Rn→Hเรามีk(x,Y)=⟨Φ(x),Φ(Y)⟩?$k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$$H$$\Phi: \text{R}^n \to H$$k(x, y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$

มัวร์-Aronszajn ทฤษฎีบทรับประกันว่าสมมาตรเคอร์เนลที่ชัดเจนในเชิงบวกมีความเกี่ยวข้องกับการทำซ้ำที่ไม่ซ้ำกันเคอร์เนลพื้นที่ Hilbert (โปรดทราบว่าแม้ว่า RKHS จะไม่ซ้ำกัน แต่การทำแผนที่เองไม่ได้เป็นเช่นนั้น)

ดังนั้นคำถามของคุณสามารถตอบได้โดยแสดง RKHS แบบไม่ จำกัด มิติที่สอดคล้องกับเคอร์เนล Gaussian (หรือ RBF) คุณสามารถค้นหาการศึกษาในเชิงลึกของเรื่องนี้ใน " คำอธิบายที่ชัดเจนของการทำซ้ำเคอร์เนลช่องว่างของฮิลแบร์ตของเมล็ดเกาส์เซียน RBF ", Steinwart et al.

$k(x, y)$$X \times X$$X$$x_1, ..., x_m \in X$$(k(x_i, x_j))_{m \times m}$$\mathrm\Phi(x_1), ..., \mathrm\Phi(x_m)$ are linearly independent. Thus, a feature space $H$ for the kernel $k$ cannot have a finite number of dimensions.