ความสัมพันธ์เชิงประจักษ์ระหว่างค่าเฉลี่ยมัธยฐานและโหมด

สำหรับการกระจายแบบ unimodal ที่มีความเบ้ปานกลางเรามีความสัมพันธ์เชิงประจักษ์ระหว่างค่าเฉลี่ยมัธยฐานและโหมด: ความสัมพันธ์นี้เป็นอย่างไร มา?

$$\text{(Mean - Mode)}\sim 3\,\text{(Mean - Median)}$$

คาร์ลเพียร์สันได้พล็อตความสัมพันธ์เหล่านี้หลายพันรายการก่อนก่อให้เกิดข้อสรุปนี้หรือมีเหตุผลที่สมเหตุสมผลในความสัมพันธ์นี้หรือไม่?

แสดงว่าค่าเฉลี่ย (ค่าเฉลี่ย),ค่ามัธยฐาน,ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและโหมดในที่สุดให้เป็นตัวอย่างการสำนึกของการแจกแจง unimodal แบบต่อเนื่องซึ่งมีอยู่สองช่วงแรก≠ m σ M X $\mu$$\neq$$m$$\sigma$$M$$X$$F$

เป็นที่รู้จักกันดีว่า

$$|\mu-m|\leq\sigma\label{d}\tag{1}$$

นี่คือแบบฝึกหัดตำราเรียนที่พบบ่อย:

$$\begin{eqnarray} |\mu-m| &=& |E(X-m)| \\ &\leq& E|X-m| \\ &\leq& E|X-\mu| \\ &=& E\sqrt{(X-\mu)^2} \\ &\leq& \sqrt{E(X-\mu)^2} \\ &=& \sigma \end{eqnarray}$$ ตัวแรก ความเสมอภาคเกิดขึ้นจากคำจำกัดความของค่าเฉลี่ยที่สามเกิดขึ้นเนื่องจากค่ามัธยฐานเป็นตัวย่อขนาดที่ไม่ซ้ำกัน (ในบรรดาทั้งหมด) ของและอันที่สี่จากความไม่เท่าเทียมของเจนเซ่น (เช่นนิยามของฟังก์ชันนูน) ที่จริงแล้วความไม่เท่าเทียมนี้สามารถทำให้แน่นขึ้นได้ ในความเป็นจริงสำหรับใด ๆ ที่พอใจเงื่อนไขข้างต้นก็สามารถแสดงให้เห็นว่า [3]E | X - c | $c$$E|X-c|$$F$

$$|m-\mu|\leq \sqrt{0.6}\sigma\label{f}\tag{2}$$

แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นความจริง ( Abadir, 2005 ) ว่าการแจกแจงแบบ unimodal ใด ๆ จะต้องตอบสนองอย่างใดอย่างหนึ่งของ มันยังสามารถแสดงให้เห็นว่า ความไม่เสมอภาค

$$M\leq m\leq\mu\textit{ or }M\geq m\geq \mu$$

$$|\mu-M|\leq\sqrt{3}\sigma\label{e}\tag{3}$$

เก็บไว้สำหรับการกระจาย unimodal ใด ๆ , สี่เหลี่ยมจัตุรัส integrable (โดยไม่คำนึงถึงความเอียง) สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์อย่างเป็นทางการในJohnson และ Rogers (1951)ถึงแม้ว่าการพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับบทแทรกเสริมมากมายที่ยากที่จะทำให้พอดี ไปดูกระดาษต้นฉบับ

---

มีเงื่อนไขเพียงพอสำหรับการแจกแจงเพื่อตอบสนองใน [2] ถ้า :μ ≤ เมตร≤ M $F$$\mu\leq m\leq M$$F$

$$F(m−x)+F(m+x)\geq 1 \text{ for all }x\label{g}\tag{4}$$

แล้วM ยิ่งกว่านั้นถ้าดังนั้นความไม่เท่าเทียมนั้นก็เข้มงวด Pearson Type I to XII distributions เป็นหนึ่งในตัวอย่างของตระกูลการแจกแจงที่พอใจ [4] (ตัวอย่างเช่น Weibull คือการแจกแจงทั่วไปที่หนึ่งที่ไม่ถือดู [5])μ ≠ เมตร( 4 ) ( 4 $\mu\leq m\leq M$$\mu\neq m$$(4)$$(4)$

ตอนนี้สมมติว่าถืออย่างเคร่งครัดและ wlog ที่เรามี σ = 1 3 ( m - μ ) ∈ ( 0 , 3 $(4)$$\sigma=1$

$$3(m-\mu)\in(0,3\sqrt{0.6}] \mbox{ and } M-\mu\in(m-\mu,\sqrt{3}]$$

และเนื่องจากช่วงที่สองของช่วงสองช่วงนี้ไม่ว่างจึงเป็นไปได้ที่จะพบการแจกแจงที่การยืนยันเป็นจริง (เช่นเมื่อ ) ช่วงของค่าของการกระจายบางพารามิเตอร์ แต่มันไม่เป็นความจริงสำหรับการกระจายและไม่ได้สำหรับการกระจายความพึงพอใจทั้งหมด(4)(4$0<m-\mu<\frac{\sqrt{3}}{3}<\sigma=1$$(4)$

• [0]: ปัญหาเวลาสำหรับการแจกจ่ายแบบ Unimodal NL Johnson และ CA Rogers พงศาวดารของสถิติคณิตศาสตร์ฉบับที่ 22, ลำดับที่ 3 (ก.ย. , 1951), หน้า 433-439
• [1]: ความไม่เท่าเทียมกันของค่ามัธยฐานโหมด: คู่ตัวอย่าง Karim M. Abadir ทฤษฎีเศรษฐมิติ, ฉบับที่ 1 21, ฉบับที่ 2 (เม.ย. , 2005), หน้า 477-482
• [2]: WR van Zwet, ค่าเฉลี่ย, มัธยฐาน, โหมด II, Statist Neerlandica, 33 (1979), pp. 1--5
• [3]: ความหมาย, ค่ามัธยฐานและโหมดการแจกแจงแบบ Unimodal: การอธิบายลักษณะ S. Basu และ A. DasGupta (1997) ทฤษฎี Probab Appl., 41 (2), 210–223
• [4]: ข้อสังเกตบางอย่างเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยมัธยฐานโหมดและความเบ้ Michikazu Sato วารสารสถิติออสเตรเลีย เล่มที่ 39 ฉบับที่ 2 หน้า 219–224 มิถุนายน 1997
• [5]: PT von Hippel (2005) Mean, Median และ Skew: การแก้ไขกฎของตำราเรียน วารสารสถิติการศึกษาเล่มที่ 13, หมายเลข 2.

กระดาษ chl ชี้ให้ข้อมูลที่สำคัญบางอย่าง - แสดงให้เห็นว่ามันไม่ได้อยู่ใกล้กับกฎทั่วไป (แม้สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง, ราบรื่น, "มีพฤติกรรมที่ดี" เช่น Weibull) ดังนั้นแม้ว่ามันอาจจะเป็นจริงโดยประมาณ แต่ก็ไม่บ่อยนัก

เพียร์สันมาจากไหน เขามาถึงที่ประมาณนี้ได้อย่างไร

โชคดีที่เพียร์สันบอกเราด้วยคำตอบของตัวเอง

การใช้คำว่า "เอียง" ครั้งแรกในแง่ที่เรากำลังใช้ดูเหมือนจะเป็นเพียร์สัน, 1895 [1] (มันปรากฏในชื่อเรื่อง) บทความนี้ดูเหมือนจะเป็นที่ที่เขาแนะนำโหมดคำศัพท์(เชิงอรรถ, p345):

ฉันพบว่ามันสะดวกที่จะใช้โหมดคำศัพท์สำหรับ abscissa ที่สอดคล้องกับการกำหนดความถี่สูงสุด "ค่าเฉลี่ย" โหมด "" และ "ค่ามัธยฐาน" มีอักขระที่แตกต่างกันสำคัญสำหรับนักสถิติ

นอกจากนี้ยังดูเหมือนจะเป็นจริงครั้งแรกของเขาที่มีรายละเอียดของของระบบการทำงานของเส้นโค้งความถี่

ดังนั้นในการหารือเกี่ยวกับการประมาณค่าพารามิเตอร์รูปร่างในการแจกแจงเพียร์สันType III (สิ่งที่เราเรียกตอนนี้ว่าการเปลี่ยนแปลง - และอาจพลิก - แกมม่า) เขาพูด (p375):

$p$$^\dagger$

$>1$

$\dagger$$x$

และถ้าเราดูอัตราส่วนของ (ค่าเฉลี่ยโหมด) ต่อ (ค่าเฉลี่ยมัธยฐาน) สำหรับการแจกแจงแกมม่าเราจะสังเกตสิ่งนี้:

(ส่วนสีน้ำเงินเป็นเครื่องหมายของพื้นที่ Pearson บอกว่าการประมาณนั้นสมเหตุสมผล)

$\alpha$$\beta$

$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}=k$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}=c$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$

$\alpha>10$

$e^{\mu-\sigma^2}, e^{\mu}$$e^{\mu+\sigma^2/2}$

$e^{\mu}$$\frac{e^{\sigma^2/2}-e^{-\sigma^2}}{e^{\sigma^2/2}-1}$$\sigma^2$$\frac{3}{2}\sigma^2$$\frac{1}{2}\sigma^2$$\sigma^2$

มีจำนวนพอสมควรของการแจกแจงที่รู้จักกันดี - หลายแห่งซึ่งเพียร์สันคุ้นเคย - ซึ่งใกล้เคียงกับจริงสำหรับค่าพารามิเตอร์ที่หลากหลาย เขาสังเกตเห็นว่ามันมีการแจกแจงแกมม่า แต่จะมีความคิดยืนยันเมื่อเขามาดูการกระจายอื่น ๆ ที่เขาน่าจะพิจารณา

[1]: เพียร์สัน, K. (1895),
"การมีส่วนร่วมกับทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของการวิวัฒนาการ, II: การเปลี่ยนแปลงเอียงในวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกัน,"
ธุรกรรมทางปรัชญาของราชสมาคม, ซีรี่ส์ A, 186, 343-414
[หมดลิขสิทธิ์ มีอิสระที่นี่ ]

ความสัมพันธ์นี้ไม่ได้มา มันก็สังเกตเห็นประมาณยึดมั่นในการแจกแจงแบบสมมาตรซึ่งอยู่ใกล้กับสังเกตุ ดูนิทรรศการของเทศกาลคริสต์มาสในบทนำสู่ทฤษฎีสถิติ (1922), หน้า 121, บทที่เจ็ดมาตรา 20 เขานำเสนอตัวอย่างเชิงประจักษ์