ทำไมการทดสอบ Kolmogorov-Smirnov ถึงใช้งานได้?

ในการอ่านเกี่ยวกับการทดสอบ KS 2 ตัวอย่างผมเข้าใจว่าสิ่งที่ทำแต่ผมไม่เข้าใจว่าทำไมมันทำงาน

กล่าวอีกนัยหนึ่งฉันสามารถทำตามทุกขั้นตอนเพื่อคำนวณฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ค้นหาความแตกต่างสูงสุดระหว่างทั้งสองเพื่อค้นหา D-statistic คำนวณค่าวิกฤตเปลี่ยนค่า D-statistic เป็น p-value เป็นต้น

แต่ฉันไม่รู้ว่าทำไมสิ่งนี้จริง ๆ บอกอะไรฉันเกี่ยวกับการแจกแจงสองอย่าง

บางคนอาจบอกฉันได้อย่างง่ายดายว่าฉันต้องกระโดดข้ามลาและนับว่ามันวิ่งเร็วแค่ไหนและถ้าความเร็วน้อยกว่า 2 กม. / ชม. ฉันก็ปฏิเสธสมมติฐานว่าง แน่ใจว่าฉันสามารถทำสิ่งที่คุณบอกให้ฉันทำ แต่สิ่งใดที่เกี่ยวข้องกับสมมติฐานว่าง?

เหตุใดการทดสอบ KS 2 ตัวอย่างทำงาน การคำนวณความแตกต่างสูงสุดระหว่าง ECDF นั้นเกี่ยวข้องกับการแจกแจงสองแบบที่แตกต่างกันอย่างไร

ความช่วยเหลือใด ๆ ที่ชื่นชม ฉันไม่ใช่นักสถิติดังนั้นให้สมมติว่าฉันเป็นคนงี่เง่าถ้าเป็นไปได้

— ดาร์ซี
แหล่งที่มา

ยินดีต้อนรับสู่ CV, Darcy! เป็นคำถามที่ดีมาก!

— Alexis

กระโดดข้ามลา ... :)

— Richard Hardy

คำตอบ:

โดยพื้นฐานแล้วการทดสอบมีความสอดคล้องซึ่งเป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบท Glivenko Cantelli ซึ่งเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดของกระบวนการเชิงประจักษ์และสถิติ

$n \rightarrow \infty$

นานแค่ไหน? Mmyyeeaa ฉันไม่รู้ พลังของการทดสอบนั้นค่อนข้างน่าสงสัย ฉันไม่เคยใช้มันในความเป็นจริง

http://www.math.utah.edu/~davar/ps-pdf-files/Kolmogorov-Smirnov.pdf

— Adamo
แหล่งที่มา

+1 สวัสดี AdamO! มีประโยคหนึ่งถึงสองประโยคที่บอกว่าพลังเป็นอะไรที่น่าสงสัย? ฉันจะรักมุมมองนั้น (ฉันรวบรวมว่าการทดสอบนั้นถือว่าง่าย "สู้")

— Alexis

F_{1}

$F_1$

F_{2}

$F_2$

p > 0.05

$p > 0.05$

p < 0.05

$p < 0.05$

F_{1} = F_{2}

$F_1 = F_2$

F_{1}

$F_{1}$

\neq F_{2}

$\ne F_{2}$

@ Alexis ไม่ฉันไม่มีข้อกังวลกับคณิตศาสตร์ของการทดสอบ ในความเป็นจริงฉันคิดว่ามันค่อนข้างหรูหราและผลลัพธ์ของทฤษฎีขีด จำกัด นั้นน่าประทับใจ

— AdamO

F_{1}

$F_1$

F_{2}

$F_2$

เรามีสองตัวอย่างที่แยกจากกันเป็นอิสระ:

\begin{aligned} X_{1}, X_{2}, . . ., X_{N} & \overset{i i d}{\sim} F \\ Y_{1}, Y_{2}, . . ., Y_{M} & \overset{i i d}{\sim} G, \end{aligned}

$\begin{align} X_1,\,X_2,\,...,\,X_N&\overset{iid}{\sim}F\\ Y_1,\,Y_2,\,...,\,Y_M&\overset{iid}{\sim}G, \end{align}$

G

$G$

F

$F$

\begin{aligned} H_{0} & : F (x) = G (x) for all x \in R \\ H_{1} & : F (x) \neq G (x) for some x \in R . \end{aligned}

$\begin{align} H_0&:F(x) = G(x)\quad\text{for all } x\in\mathbb{R}\\ H_1&:F(x) \neq G(x)\quad\text{for some } x\in\mathbb{R}. \end{align}$

{X_{i}}_{i = 1}^{N}

$\{X_i\}_{i=1}^N$

{Y_{j}}_{j = 1}^{M}

$\{Y_j\}_{j=1}^M$

X_{i}

$X_i$

Y_{j}

$Y_j$

F

$F$

G

$G$

x

$x$

F

$F$

G

$G$

F (x) \neq G (x)

$F(x)\neq G(x)$

x \in R

$x\in\mathbb{R}$

— jcz
แหล่งที่มา

ใช้ง่าย:

การทดสอบ Kolmogorov-Smirnov อาศัยพื้นฐานการเรียงลำดับของการสังเกตจากการแจกแจงค่อนข้างมาก เหตุผลก็คือว่าถ้าการแจกแจงพื้นฐานทั้งสองเหมือนกันดังนั้น - ขึ้นอยู่กับขนาดตัวอย่าง - การเรียงลำดับควรจะสับระหว่างสองอย่างดี

$Y$ $X$ $D$

$D$ $X$ $Y$

— อเล็กซิส
แหล่งที่มา