ค่าสัมประสิทธิ์เชิงลบในการถดถอยโลจิสติกสั่ง

สมมติว่าเรามีการตอบสนองลำดับ$y:\{\text{Bad, Neutral, Good}\} \rightarrow \{1,2,3\}$และชุดของตัวแปร$X:=[x_1,x_2,x_3]$ที่เราคิดว่าจะอธิบายYจากนั้นเราจะทำการถดถอยโลจิสติกสั่งของ (เมทริกซ์การออกแบบ) ใน (การตอบสนอง)$y$$X$$y$

สมมติว่าค่าสัมประสิทธิ์ประมาณ$x_1$เรียกว่าเบต้า 1ในสั่งการถดถอยโลจิสติกคือ- 0.5 ฉันจะตีความอัตราเดิมพัน (OR) ของe - 0.5 = 0.607 ได้อย่างไร$\hat{\beta}_1$$-0.5$$e^{-0.5} = 0.607$

ฉันพูดว่า "สำหรับการเพิ่มขึ้น 1 หน่วยใน$x_1$ , ceteris paribus ต่อรองในการสังเกต$\text{Good}$เป็นครั้งต่อรองในการสังเกตและเปลี่ยนแปลงเดียวกันในที่ โอกาสของการสังเกต\ text {เป็นกลาง} \ cup \ text {ดี}คือ0.607เท่าของการสังเกต\ text {Bad} "$0.607$$\text{Bad}\cup \text{Neutral}$$x_1$$\text{Neutral} \cup \text{Good}$$0.607$$\text{Bad}$

ฉันไม่พบตัวอย่างของการตีความสัมประสิทธิ์เชิงลบในหนังสือเรียนหรือ Google

คุณกำลังติดตามถูกต้อง แต่มักจะดูเอกสารของซอฟต์แวร์ที่คุณใช้เพื่อดูว่าแบบจำลองใดเหมาะสม สมมติสถานการณ์ที่มีความเด็ดขาดตัวแปรตามกับหมวดหมู่สั่งซื้อ1 , ... , กรัม, ... , kและทำนายX 1 , ... , X J , ... , Xพี$Y$$1, \ldots, g, \ldots, k$$X_{1}, \ldots, X_{j}, \ldots, X_{p}$

"ในธรรมชาติ" คุณสามารถพบกับสามตัวเลือกที่เทียบเท่ากันสำหรับการเขียนแบบจำลองสัดส่วนการต่อรองเชิงทฤษฎีที่มีความหมายพารามิเตอร์โดยนัยแตกต่างกัน:

1. $\text{logit}(p(Y \leqslant g)) = \ln \frac{p(Y \leqslant g)}{p(Y > g)} = \beta_{0_g} + \beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p} \quad(g = 1, \ldots, k-1)$
2. $\text{logit}(p(Y \leqslant g)) = \ln \frac{p(Y \leqslant g)}{p(Y > g)} = \beta_{0_g} - (\beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p}) \quad(g = 1, \ldots, k-1)$
3. $\text{logit}(p(Y \geqslant g)) = \ln \frac{p(Y \geqslant g)}{p(Y < g)} = \beta_{0_g} + \beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p} \quad(g = 2, \ldots, k)$

(รุ่นที่ 1 และ 2 มีข้อ จำกัด ที่ว่าในแยกต่างหากถดถอยโลจิสติกไบนารีที่β เจไม่แตกต่างกันกับกรัมและβ 0 1 < ... < β 0 กรัม < ... < β 0 k - 1รุ่น 3 มี ข้อ จำกัด เดียวกันเกี่ยวกับβ jและต้องการβ 0 2 > … > β 0 g > … > β 0 k )$k-1$$\beta_{j}$$g$$\beta_{0_1} < \ldots < \beta_{0_g} < \ldots < \beta_{0_k-1}$$\beta_{j}$$\beta_{0_2} > \ldots > \beta_{0_g} > \ldots > \beta_{0_k}$

• ในรูปแบบที่ 1 เป็นบวกหมายความว่าการเพิ่มขึ้นของการทำนายX เจมีความเกี่ยวข้องกับการต่อรองเพิ่มขึ้นสำหรับต่ำกว่าประเภทในY$\beta_{j}$$X_{j}$$Y$
• แบบที่ 1 นั้นค่อนข้างใช้งานง่ายดังนั้นแบบที่ 2 หรือ 3 จึงเป็นที่ต้องการในซอฟต์แวร์ นี่เป็นบวกหมายความว่าการเพิ่มขึ้นของการทำนายX เจมีความเกี่ยวข้องกับการต่อรองเพิ่มขึ้นสำหรับสูงประเภทในY$\beta_{j}$$X_{j}$$Y$
• รุ่นที่ 1 และ 2 นำไปสู่การประมาณการเหมือนกันสำหรับแต่ประมาณการของพวกเขาสำหรับβ เจมีสัญญาณตรงข้าม$\beta_{0_g}$$\beta_{j}$
• Models 2 and 3 lead to the same estimates for the $\beta_{j}$, but their estimates for the $\beta_{0_g}$ have opposite signs.

Assuming your software uses model 2 or 3, you can say "with a 1 unit increase in $X_1$, ceteris paribus, the predicted odds of observing '$Y = \text{Good}$' vs. observing '$Y = \text{Neutral OR Bad}$' change by a factor of $e^{\hat{\beta}_{1}} = 0.607$.", and likewise "with a 1 unit increase in $X_1$, ceteris paribus, the predicted odds of observing '$Y = \text{Good OR Neutral}$' vs. observing '$Y = \text{Bad}$' change by a factor of $e^{\hat{\beta}_{1}} = 0.607$." Note that in the empirical case, we only have the predicted odds, not the actual ones.

Here are some additional illustrations for model 1 with $k = 4$ categories. First, the assumption of a linear model for the cumulative logits with proportional odds. Second, the implied probabilities of observing at most category $g$. The probabilities follow logistic functions with the same shape.

For the category probabilities themselves, the depicted model implies the following ordered functions:

P.S. To my knowledge, model 2 is used in SPSS as well as in R functions MASS::polr() and ordinal::clm(). Model 3 is used in R functions rms::lrm() and VGAM::vglm(). Unfortunately, I don't know about SAS and Stata.