ค่าที่คาดหวังของลอการิทึมธรรมชาติ

22

ฉันรู้ว่ากับ ค่าคงที่ดังนั้นเมื่อได้รับมันง่ายที่จะแก้ ฉันก็รู้ว่าคุณไม่สามารถใช้สิ่งนั้นได้เมื่อฟังก์ชั่นไม่เชิงเส้นเช่นในกรณีนี้และเพื่อแก้ปัญหานั้นฉันต้องทำการประมาณ กับเทย์เลอร์ ดังนั้นคำถามของฉันคือฉันจะแก้ปัญหา ? ฉันจะประมาณเทย์เลอร์ด้วยหรือไม่ $E(aX+b) = aE(X)+b$ $a,b$ $E(X)$ $E(1/X) \neq 1/E(X)$ $E(\ln(1+X))$

mathematical-statistics

— ด้าน
แหล่งที่มา

4

ใช่คุณสามารถใช้วิธีเดลต้าในกรณีนี้

— Michael R. Chernick

5

คุณควรดูความไม่เท่าเทียมกันของเซ่นด้วย

— kjetil b halvorsen

27

ในกระดาษ

YW Teh, D. Newman และ M. Welling (2006), อัลกอริทึมการอนุมานแบบเบส์แบบยุบสำหรับการจัดสรร Dirichlet แบบแฝง , NIPS 2006 , 1353–1360

ลำดับที่สองของการขยายตัวเทย์เลอร์ $x_0=\mathbb{E}[x]$ ถูกใช้เพื่อประมาณ $\mathbb{E}[\log(x)]$ :

E [\log (x)] \approx \log (E [x]) - \frac{V [x]}{2 E [x]^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(x)]\approx\log(\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2\mathbb{E}[x]^2} \>.$

การประมาณนี้ดูเหมือนว่าจะทำงานได้ดีสำหรับแอปพลิเคชันของพวกเขา

การปรับเปลี่ยนนี้เล็กน้อยเพื่อให้พอดีกับคำถามที่อัตราผลตอบแทนมือตามเส้นตรงของความคาดหวัง

E [\log (1 + x)] \approx \log (1 + E [x]) - \frac{V [x]}{2 (1 + E [x])^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(1+x)]\approx\log(1+\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2(1+\mathbb{E}[x])^2} \>.$

อย่างไรก็ตามมันอาจเกิดขึ้นได้ว่าทางด้านซ้ายหรือด้านขวาไม่ได้อยู่ในขณะที่คนอื่นทำและดังนั้นควรใช้ความระมัดระวังเมื่อใช้การประมาณนี้

— user1149913
แหล่งที่มา

3

ที่น่าสนใจสามารถใช้เพื่อรับฟังก์ชั่น digamma ได้

— ความน่าจะเป็นทางการ

6

นอกจากนี้หากคุณไม่ต้องการนิพจน์ที่แน่นอนสำหรับบ่อยครั้งที่ขอบเขตที่กำหนดโดยความไม่เท่าเทียมของ Jensen นั้นดีพอ: $\text{E}[\log(X + 1)]$

\log [E (X) + 1] \geq E [\log (X + 1)]

$\log [\text{E}(X) + 1] \geq\text{E}[\log(X + 1)]$

— dsaxton
แหล่งที่มา

แค่อยากจะเพิ่ม: ถ้าไม่สามารถคำนวณได้โดยตรงและคุณมองตัวแปรตัวเดียวความไม่เท่าเทียมของเซ่นเป็นเพียงทางเลือกเดียวของคุณที่จะได้รับผลลัพธ์ที่มีประโยชน์ ในขณะที่การประมาณค่าเทย์เลอร์ที่แนะนำอาจทำงานได้จริงในแพรคซิสไม่มีเหตุผลทางทฤษฎีที่สามารถนำมาใช้เพื่อกระตุ้นการลบคำศัพท์ที่เหลือ (ที่ถูกกล่าว: โปรดจำไว้ว่าชุดเทย์เลอร์ของ ln (1 + x) มาบรรจบกันในรัศมี | x | <1) ต่อไปเท่านั้น)

X

$X$

— chRrr

ฉันคิดว่ามันน่าจะเป็นเนื่องจากเว้าลง

\geq

$\ge$

\log

$\log$

— Deep North

5

สมมติว่ามีความหนาแน่น Xก่อนที่คุณจะเริ่มประมาณให้จำไว้ว่าสำหรับฟังก์ชันใด ๆ ที่วัดได้คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่า $X$ $f_X$ $g$ ในแง่ที่ว่าถ้าหนึ่งเป็นครั้งแรกที่มีอยู่จึงไม่สองและพวกเขามีค่าเท่ากัน

E [g (X)] = \int g (X) d P = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X} (x) d x,

$E[g(X)]=\int g(X)\,dP = \int_{-\infty}^\infty g(x)\,f_X(x)\,dx \, ,$

— เซน
แหล่งที่มา

1

หากอินทิกรัลที่สองมีอยู่ มันไม่จำเป็นต้อง ใช้ Cauchy กระจายและ

2

g (x) = x^{2}

$g(x)=x^2$

— mpiktas

E [| g (X) |] < \infty

$E[|g(X)|]<\infty$

2

g (x) = x

$g(x)=x$

2

@prob: ไม่คุณไม่จำเป็นต้องมีเงื่อนไขนั้นในความคิดเห็นแรกของคุณและแม้แต่ในสถานการณ์ที่อาจเกี่ยวข้องกับคำถามนี้มาก! (+1 ที่คุณสองแสดงความคิดเห็นแม้ว่าซึ่งเป็นสิ่งที่ผมได้รับหมายที่จะแสดงความคิดเห็นในเช่นกัน.)

— พระคาร์ดินัล

2

@prob: มันเพียงพอแต่ถ้าคุณเปรียบเทียบความคิดเห็นแรกของคุณกับความคิดเห็นที่สองของคุณคุณจะเห็นว่าทำไมมันไม่จำเป็น ! :-)

— พระคาร์ดินัล

4

มีสองวิธีปกติ:

$X$ $\ln(1+X)$ $\ln(1+x) f_{X}(x)$ $x$
ตามที่คุณแนะนำถ้าคุณรู้ว่าสักครู่แรกคุณสามารถคำนวณการประมาณเทย์เลอร์

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา