ฉันจะทดสอบได้อย่างไรว่าการประมาณการพารามิเตอร์ทั้งสองในรูปแบบเดียวกันนั้นแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่

ฉันมีรูปแบบ

$$y=x^a \times z^b + e$$

โดยที่คือตัวแปรที่ขึ้นต่อกันและเป็นตัวแปรอธิบายและเป็นพารามิเตอร์และเป็นคำผิดพลาด ฉันมีการประมาณพารามิเตอร์ของและและเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของการประมาณเหล่านี้ ฉันจะทดสอบว่าและแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญได้อย่างไร$y$$x$$z$$a$$b$$e$$a$$b$$a$$b$

การประเมินสมมติฐานว่า และต่างกันเทียบเท่ากับการทดสอบสมมติฐานว่าง$a$$b$$a - b = 0$ (เทียบกับทางเลือกที่ )$a-b\ne 0$

การวิเคราะห์ต่อไปนี้สันนิษฐานว่ามันสมเหตุสมผลสำหรับคุณที่จะประมาณเป็น นอกจากนี้ยังยอมรับการกำหนดโมเดลของคุณ (ซึ่งมักจะเป็นเหตุผลที่เหมาะสม) ซึ่ง - เนื่องจากข้อผิดพลาดนั้นเป็นสารเติมแต่ง (และอาจทำให้ค่าที่สังเกตได้เป็นลบของ ) - ไม่อนุญาตให้เราสร้างเส้นตรงโดยการลอการิทึมของทั้งสองฝ่าย$a-b$

$$U = \hat a - \hat b.$$ $y$

ความแปรปรวนของสามารถแสดงออกในแง่ของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของเป็น$U$$(c_{ij})$$(\hat a, \hat b)$

$$\operatorname{Var}(U) = \operatorname{Var}(\hat a - \hat b) = \operatorname{Var}(\hat a) + \operatorname{Var}(\hat b) - 2 \operatorname{Cov}(\hat a, \hat b) = c_{11} + c_{22} - 2c_{12}^2.$$

เมื่อมีค่าประมาณกำลังสองน้อยที่สุดหนึ่งมักใช้ "t test;" นั่นคือการกระจายตัวของ เป็นค่าประมาณโดยการแจกแจงของนักเรียน tด้วยองศาอิสระ (โดยที่คือจำนวนข้อมูลและนับจำนวนสัมประสิทธิ์ ) โดยไม่คำนึงถึงมักเป็นพื้นฐานของการทดสอบใด ๆ คุณอาจทำการทดสอบ Z (เมื่อมีขนาดใหญ่หรือเมื่อเหมาะสมกับโอกาสสูงสุด) หรือบูตมันตัวอย่างเช่น$(\hat a, \hat b)$

$$t = U / \sqrt{\operatorname{Var(U)}}$$ $n-2$$n$$2$$t$$n$

หากต้องการเจาะจงค่า p ของการทดสอบ t จะถูกกำหนดโดย

$$p = 2t_{n-2}(-|t|)$$

โดยที่เป็นฟังก์ชันการแจกแจง Student t (แบบสะสม) มันเป็นนิพจน์เดียวสำหรับ "พื้นที่หาง:" โอกาสที่ตัวแปร t นักเรียน (ขององศาอิสระ) เท่ากับหรือเกินกว่าขนาดของสถิติทดสอบ$t_{n-2}$$n-2$$|t|.$

---

โดยทั่วไปสำหรับตัวเลขและคุณสามารถใช้วิธีการเดียวกันเพื่อทดสอบสมมติฐานใด ๆ$c_1,$ $c_2,$$\mu$

$$H_0: c_1 a + c_2 b = \mu$$

กับทางเลือกสองด้าน (สิ่งนี้ครอบคลุมกรณีพิเศษ แต่แพร่หลายของ"ความแตกต่าง" ) ใช้เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม - ความแปรปรวนร่วมเพื่อประเมินความแปรปรวนของและสร้างสถิติ$(c_{ij})$$U = c_1 a + c_2 b$

$$t = (c_1 \hat a + c_2 \hat b - \mu) / \sqrt{\operatorname{Var}(U)}.$$

ที่กล่าวมาคือกรณีและ$(c_1,c_2) = (1,-1)$$\mu=0.$

---

หากต้องการตรวจสอบว่าคำแนะนำนี้ถูกต้องฉันวิ่งต่อไปนี้Rรหัสในการสร้างข้อมูลตามรูปแบบนี้ (ที่มีข้อผิดพลาดปกติกระจายe) พอดีกับพวกเขาและคำนวณค่าของหลายต่อหลายครั้ง ตรวจสอบว่าพล็อตความน่าจะเป็นของ (ขึ้นอยู่กับการแจกแจงของนักเรียน t) ตามแนวทแยงมุม นี่คือโครงเรื่องในการจำลองขนาดโดยที่ (ชุดข้อมูลขนาดเล็กมากเลือกเนื่องจากการแจกแจงอยู่ไกลจากปกติ) และ$t$$t$$500$$n=5$$t$$a=b=-1/2.$

ในตัวอย่างนี้อย่างน้อยกระบวนการทำงานได้อย่างสวยงาม ลองเรียกใช้การจำลองใหม่อีกครั้งโดยใช้พารามิเตอร์ (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อผิดพลาด) และที่สะท้อนถึงสถานการณ์ของคุณ$a,$ $b,$ $\sigma$$n$

นี่คือรหัส

#
# Specify the true parameters.
#
set.seed(17)
a <- -1/2
b <- -1/2
sigma <- 0.25 # Variance of the errors
n <- 5        # Sample size
n.sim <- 500  # Simulation size
#
# Specify the hypothesis.
#
H.0 <- c(1, -1) # Coefficients of `a` and `b`.
mu <- 0 
#
# Provide x and z values in terms of their logarithms.
#
log.x <- log(rexp(n))
log.z <- log(rexp(n))
#
# Compute y without error.
#
y.0 <- exp(a * log.x + b * log.z)
#
# Conduct a simulation to estimate the sampling distribution of the t statistic.
#
sim <- replicate(n.sim, {
  #
  # Add the errors.
  #
  e <- rnorm(n, 0, sigma)
  df <- data.frame(log.x=log.x, log.z=log.z, y.0, y=y.0 + e)
  #
  # Guess the solution.
  #
  fit.ols <- lm(log(y) ~ log.x + log.z - 1, subset(df, y > 0))
  start <- coefficients(fit.ols) # Initial values of (a.hat, b.hat)
  #
  # Polish it using nonlinear least squares.
  #
  fit <- nls(y ~ exp(a * log.x + b * log.z), df, list(a=start[1], b=start[2]))
  #
  # Test a hypothesis.
  #
  cc <- vcov(fit)
  s <- sqrt((H.0 %*% cc %*% H.0))
  (crossprod(H.0, coef(fit)) - mu) / s
})
#
# Display the simulation results.
#
summary(lm(sort(sim) ~ 0 + ppoints(length(sim))))
qqplot(qt(ppoints(length(sim)), df=n-2), sim, 
       pch=21, bg="#00000010", col="#00000040",
       xlab="Student t reference value", 
       ylab="Test statistic")
abline(0:1, col="Red", lwd=2)