การวิเคราะห์พลังงานสำหรับข้อมูลทวินามเมื่อสมมติฐานว่างคือ

ฉันต้องการทำการวิเคราะห์พลังงานสำหรับตัวอย่างเดียวจากข้อมูลทวินามด้วย , กับโดยที่คือสัดส่วนของความสำเร็จในประชากร ถ้าฉันสามารถใช้การประมาณแบบปกติกับทวินามหรือทดสอบ แต่ด้วยทั้งคู่จะล้มเหลว ฉันชอบที่จะรู้ว่าหากมีวิธีการวิเคราะห์นี้ ฉันขอขอบคุณข้อเสนอแนะความคิดเห็นหรือการอ้างอิงใด ๆ ขอบคุณมาก! $H_0: p = 0$ $H_1: p = 0.001$ $p$ $0 < p <1$ $\chi^2$ $p =0$

— user765195
แหล่งที่มา

ดังนั้นทำไมคุณไม่ใช้การทดสอบ Clopper-Pearson ที่แน่นอน

— Stéphane Laurent

ฉันหวังว่าคุณจะมีตัวอย่างที่ยิ่งใหญ่จริงๆ ! มันจะยากที่จะทดสอบ

— Peter Flom

คำตอบ:

คุณมีด้านเดียวสมมติฐานทางเลือกที่แน่นอนที่และ0 $p_{1} > p_{0}$ $p_{1} = 0.001$ $p_{0} = 0$

ขั้นตอนแรกคือการระบุขีด จำกัดสำหรับจำนวนความสำเร็จเช่นว่าโอกาสที่จะได้รับความสำเร็จอย่างน้อยในตัวอย่างของขนาดต่ำมากภายใต้สมมติฐานว่าง (ตามอัตภาพ ) ในกรณีของคุณโดยไม่คำนึงถึงในการเลือกของคุณโดยเฉพาะสำหรับและ0 $c$ $c$ $n$ $\alpha = 0.05$ $c=1$ $n \geqslant 1$ $\alpha > 0$
ขั้นตอนที่สองคือการหาความน่าจะเป็นที่จะได้รับความสำเร็จอย่างน้อยในตัวอย่างขนาดภายใต้สมมติฐานทางเลือก - นี่คือพลังของคุณ ที่นี่คุณต้องมีคงที่ซึ่งการแจกแจงแบบทวินามถูกระบุไว้อย่างสมบูรณ์ $c$ $n$ $n$ $\mathcal{B}(n, p_{1})$

ขั้นตอนที่สองใน R กับ : $n = 500$

> n  <- 500                 # sample size
> p1 <- 0.001               # success probability under alternative hypothesis
> cc <- 1                   # threshold
> sum(dbinom(cc:n, n, p1))  # power: probability for cc or more successes given p1
[1] 0.3936211

เพื่อให้ทราบว่าการเปลี่ยนแปลงพลังงานกับขนาดตัวอย่างคุณสามารถวาดฟังก์ชันพลังงานได้: ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

nn   <- 10:2000                 # sample sizes
pow  <- 1-pbinom(cc-1, nn, p1)  # corresponding power
tStr <- expression(paste("Power for ", X>0, " given ", p[1]==0.001))
plot(nn, pow, type="l", xaxs="i", xlab="sample size", ylab="power",
     lwd=2, col="blue", main=tStr, cex.lab=1.4, cex.main=1.4)

หากคุณต้องการทราบขนาดตัวอย่างที่คุณต้องการเพื่อให้ได้พลังงานอย่างน้อยที่กำหนดไว้ล่วงหน้าคุณสามารถใช้ค่าพลังงานที่คำนวณได้ข้างต้น สมมติว่าคุณต้องการพลังงานอย่างน้อย0.5 $0.5$

> powMin <- 0.5
> idx    <- which.min(abs(pow-powMin))  # index for value closest to 0.5
> nn[idx]     # sample size for that index
[1] 693

> pow[idx]    # power for that sample size
[1] 0.5000998

ดังนั้นคุณจึงจำเป็นต้องมีขนาดของกลุ่มตัวอย่างอย่างน้อยเพื่อให้บรรลุอำนาจของ0.5 $693$ $0.5$

— Caracal
แหล่งที่มา

ตามpwr.p.testกำลัง 0.5 คุณต้องมีการสังเกตอย่างน้อย 677 ครั้ง แต่พลังงาน = 0.5 ต่ำมาก!

— เจสสิก้า

@caracal คุณใช้การประมาณแบบปกติเพื่อให้ได้กราฟพลังงานของคุณหรือไม่? ฟังก์ชั่นพลังงานทวินามที่แน่นอนจะไม่ราบรื่น มันคือฟันเลื่อยซึ่งคุณสามารถดูได้ว่าแกนขนาดตัวอย่างนั้นถูกขยายหรือไม่ ฉันคุยเรื่องนี้ในบทความปี 2002 ของฉันใน American Statisticsian ซึ่งได้รับอนุญาตจาก Christine Liu นอกจากนี้ทวินามยังเอียงอย่างมากที่ p ต่ำมากซึ่ง n ต้องมีขนาดใหญ่เพื่อให้การประมาณค่าปกติทำงานได้ดี

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick ไม่นี่มาจากการแจกแจงทวินามไม่ใช่จากการประมาณปกติ แน่นอนว่าคุณพูดถูก - โดยทั่วไป - พลังสำหรับการทดสอบทวินามคือฟังก์ชั่นฟันเลื่อยที่ไม่ใช่แบบโมโนโทนิก แต่ทราบว่าเรามีกรณีพิเศษที่นี่กับ0 ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ได้รับการยอมรับสำหรับสมมติฐานทางเลือกที่จะเริ่มต้นวันที่ 1 โดยไม่คำนึงถึงnด้วยเกณฑ์คง , คงอำนาจเป็นฟังก์ชัน inreasing อย่างเคร่งครัดของn

p_{0} = 0

$p_{0} = 0$

n

$n$

c = 1

$c = 1$

p_{1} = 0.001

$p_{1} = 0.001$

n

$n$

— caracal

@Jessica โปรดทราบว่าpwr.p.test()ใช้การประมาณปกติไม่ใช่การแจกแจงทวินามที่แน่นอน เพียงพิมพ์pwr.p.testเพื่อดูซอร์สโค้ด คุณจะพบการโทรเพื่อpnorm()แสดงว่ามีการใช้การประมาณ

— caracal

@caracal ดังนั้นฉันสามารถดูได้ด้วยวิธีนี้: ภายใต้สมมติฐานว่างความน่าจะเป็นของความสำเร็จคือ 0 ดังนั้นถ้าคุณเคยเห็นความสำเร็จคุณสามารถปฏิเสธสมมติฐานว่างได้ นั่นคือเหตุผลที่คุณพูดว่า threshold เป็น 1 เพราะหากผลรวมทวินามเคยเป็น 1 คุณสามารถปฏิเสธด้วยข้อผิดพลาดประเภท 2 ที่ 0! ตอนนี้ภายใต้ทางเลือกความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จครั้งแรกในการทดลองที่ n คือ (1-p) p ความน่าจะเป็นนี้จะเป็น 0 เมื่อ n ไปที่อนันต์ ดังนั้นกฎต่อเนื่องจะหยุดเมื่อ S = 1 มีกำลัง 1 สำหรับ p> 0

^{n}

$^n$

^{-}

$^-$

^{1}

$^1$

_{n}

$_n$

— Michael R. Chernick

คุณสามารถตอบคำถามนี้ได้อย่างง่ายดายด้วยpwrแพ็คเกจในอาร์

คุณจะต้องกำหนดระดับนัยสำคัญกำลังไฟและขนาดเอฟเฟกต์ โดยทั่วไประดับนัยสำคัญถูกตั้งไว้ที่ 0.05 และตั้งค่ากำลังเป็น 0.8 พลังงานที่สูงขึ้นจะต้องมีการสังเกตเพิ่มเติม ระดับนัยสำคัญที่ต่ำกว่าจะลดพลังงาน

ขนาดของเอฟเฟกต์สำหรับสัดส่วนที่ใช้ในแพ็คเกจนี้คือ h ของโคเฮน ทางลัดสำหรับเอชขนาดเล็กมักจะเป็น 0.20 ทางลัดที่เกิดขึ้นจริงแตกต่างกันไปตามการใช้งานและอาจมีขนาดเล็กในกรณีของคุณ h ที่เล็กกว่าหมายถึงต้องมีการสังเกตเพิ่มเติม คุณบอกว่าทางเลือกของคุณคือ0.001 นั่นเล็กมาก $p = 0.001$

> ES.h(.001, 0)
[1] 0.0632561

แต่เรายังคงสามารถดำเนินการต่อไปได้

 > pwr.p.test(sig.level=0.05, power=.8, h = ES.h(.001, 0), alt="greater", n = NULL)

 proportion power calculation for binomial distribution (arcsine transformation) 

          h = 0.0632561
          n = 1545.124
  sig.level = 0.05
      power = 0.8
alternative = greater

เมื่อใช้ค่าเหล่านี้คุณต้องมีการสังเกตการณ์อย่างน้อย 1,546 ครั้ง

— เจสสิก้า
แหล่งที่มา

ในกรณีเฉพาะของคุณมีวิธีแก้ไขปัญหาอย่างง่าย ๆ :

ภายใต้สมมติฐานว่างเฉพาะคุณไม่ควรสังเกตความสำเร็จ ดังนั้นทันทีที่คุณสังเกตหนึ่งความสำเร็จที่คุณสามารถมั่นใจได้ว่าP $H_0: p=0$ $p\neq0$

ภายใต้ทางเลือกจำนวนการทดลองที่ต้องใช้เพื่อสังเกตความสำเร็จอย่างน้อย 1 ครั้งเป็นไปตามการกระจายทางเรขาคณิต ดังนั้นเพื่อให้ได้ขนาดตัวอย่างขั้นต่ำเพื่อให้ได้พลังงานคุณต้องหา k ที่เล็กที่สุดเช่นนั้น $H_1: p=0.001$ $1-\beta$

1 - β \leq 1 - (1 - p)^{(k - 1)}

$1-\beta \leq 1-(1-p)^{(k-1)}$

ดังนั้นด้วยเพื่อให้ได้พลังงานคุณต้องมีอย่างน้อย 1610 ตัวอย่าง $p=0.001$ $80%$

— ลอย
แหล่งที่มา

ในการอ่านความคิดเห็นต่อโซลูชันที่ 1 ฉันรู้ว่านี่เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวกับที่คุณได้รับหากเกาะติดเพื่อตอบคำถาม อย่างไรก็ตามมันไม่เคยเป็นอันตรายที่จะสะกดออกผลลัพธ์ทฤษฎีความน่าจะเป็นพื้นฐานบางอย่างโดยไม่จำเป็นต้องมาถึงที่นี่โดยสัญชาตญาณ

— ลอย