ช่วงความมั่นใจมีประโยชน์หรือไม่?

ในสถิติที่ใช้บ่อยช่วงความมั่นใจ 95% เป็นขั้นตอนการสร้างช่วงเวลาซึ่งหากทำซ้ำจำนวนครั้งไม่สิ้นสุดจะมีพารามิเตอร์ที่แท้จริง 95% ของเวลา ทำไมถึงมีประโยชน์

ช่วงความเชื่อมั่นมักเข้าใจผิด พวกเขาไม่ใช่ช่วงเวลาที่เราสามารถมั่นใจได้ 95% ว่าพารามิเตอร์นั้นอยู่ใน (ยกเว้นว่าคุณกำลังใช้ช่วงความน่าเชื่อถือแบบเบย์ที่คล้ายกัน) ช่วงเวลาความมั่นใจรู้สึกเหมือนเป็นเหยื่อและสลับมาที่ฉัน

กรณีการใช้งานอย่างหนึ่งที่ฉันคิดได้ก็คือกำหนดช่วงของค่าที่เราไม่สามารถปฏิเสธสมมติฐานว่างได้ว่าพารามิเตอร์คือค่านั้น ค่า p จะไม่ให้ข้อมูลนี้ แต่จะดีกว่าไหม โดยไม่ทำให้เข้าใจผิด?

ในระยะสั้น: ทำไมเราต้องมีช่วงความมั่นใจ? เมื่อตีความอย่างถูกต้องมีประโยชน์อย่างไร?

$1-\alpha$$\theta$$L(\mathbf{x}) \leqslant U(\mathbf{x})$

การย้ายออกนอกกรอบความคิดที่พบบ่อยและการทำให้เกิดความแตกต่างเหนือสำหรับการแจกแจงก่อนหน้านี้จะให้ผลลัพธ์ความน่าจะเป็นที่ขอบ (อ่อนกว่า) ที่สอดคล้องกัน:$\theta$

เมื่อเราแก้ไขขอบเขตของช่วงความมั่นใจโดยแก้ไขข้อมูลเป็นเราจะไม่สนใจคำแถลงความน่าจะเป็นนี้อีกต่อไปเพราะตอนนี้เราได้แก้ไขข้อมูลแล้ว อย่างไรก็ตามถ้าช่วงความเชื่อมั่นได้รับการปฏิบัติเป็นช่วงเวลาแบบสุ่มเราสามารถสร้างข้อความสั่งความน่าจะเป็นนี้ได้เช่นกับความน่าจะเป็นพารามิเตอร์จะอยู่ภายในช่วง (สุ่ม)$\mathbf{X} = \mathbb{x}$ 1 - อัลฟ่าθ$1-\alpha$$\theta$

ภายในสถิติผู้ใช้บ่อยๆข้อความสั่งความน่าจะเป็นคือข้อความเกี่ยวกับความถี่สัมพัทธ์ของการทดลองซ้ำหลายครั้ง แต่นั่นเป็นความจริงของคำแถลงความน่าจะเป็นทุกอย่างในกระบวนทัศน์ของผู้ใช้บ่อยดังนั้นหากคำคัดค้านของคุณคือคำสั่งความถี่สัมพัทธ์นั่นไม่ใช่คำคัดค้านที่เฉพาะเจาะจงสำหรับช่วงความมั่นใจ หากเราย้ายออกนอกกรอบความคิดแบบบ่อยๆเราสามารถพูดได้อย่างถูกต้องว่าช่วงความเชื่อมั่นนั้นมีพารามิเตอร์เป้าหมายที่มีความน่าจะเป็นที่ต้องการตราบใดที่เราสร้างคำสั่งความน่าจะเป็นแบบนี้เล็กน้อย (นั่นคือ ในความรู้สึกแบบสุ่ม

ฉันไม่รู้เกี่ยวกับคนอื่น แต่ดูเหมือนว่าฉันจะเป็นผลลัพธ์ความน่าจะเป็นที่ทรงพลังและเหตุผลที่สมเหตุสมผลสำหรับช่วงเวลานี้ ฉันเป็นส่วนหนึ่งของวิธีการแบบเบย์เอง แต่ความน่าจะเป็นที่ได้รับการสนับสนุนช่วงความเชื่อมั่น (ในแง่ของการสุ่ม) เป็นผลลัพธ์ที่ทรงพลังที่ไม่ควรดมกลิ่น

ฉันเห็นด้วยกับ @Ben ด้านบนและฉันคิดว่าฉันจะให้ตัวอย่างง่ายๆว่าที่ Bayesian เมื่อเทียบกับช่วงเวลา Frequentist จะมีค่าในสถานการณ์เดียวกัน

ลองนึกภาพโรงงานที่มีไลน์ประกอบแบบขนาน มีค่าใช้จ่ายสูงในการหยุดสายและในเวลาเดียวกันพวกเขาต้องการผลิตสินค้าที่มีคุณภาพ พวกเขามีความกังวลเกี่ยวกับทั้งบวกเท็จและเชิงลบเท็จเมื่อเวลาผ่านไป สำหรับโรงงานมันเป็นกระบวนการเฉลี่ย: ทั้งกำลังและการรับประกันการป้องกันเรื่องที่ผิดพลาด ช่วงความเชื่อมั่นเช่นเดียวกับช่วงความอดทนมีความสำคัญต่อโรงงาน อย่างไรก็ตามเครื่องจักรจะออกไปนอกแนวซึ่งก็คือ$\theta\ne\Theta$และอุปกรณ์ตรวจจับจะสังเกตเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจริง ผลลัพธ์โดยเฉลี่ยนั้นสำคัญในขณะที่ผลลัพธ์เฉพาะคือรายละเอียดการดำเนินงาน

ฝั่งตรงข้ามของสิ่งนี้คือลูกค้ารายเดียวที่ซื้อผลิตภัณฑ์เดียวหรือผลิตภัณฑ์จำนวนมาก พวกเขาไม่สนใจคุณสมบัติการทำซ้ำของสายการประกอบ พวกเขาสนใจเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์หนึ่งที่พวกเขาซื้อ เราลองนึกภาพของลูกค้าเป็นนาซาและพวกเขาต้องการผลิตภัณฑ์เพื่อตอบสนองข้อกำหนดพูด$\gamma\le\Gamma.$ พวกเขาไม่สนใจเกี่ยวกับคุณภาพของชิ้นส่วนที่พวกเขาไม่ได้ซื้อ พวกเขาต้องการช่วงเวลาแบบเบย์บางรูปแบบ นอกจากนี้ความล้มเหลวเพียงครั้งเดียวสามารถฆ่านักบินอวกาศจำนวนมากและค่าใช้จ่ายพันล้านดอลลาร์ พวกเขาจำเป็นต้องรู้ว่าทุกส่วนที่ซื้อตรงตามข้อกำหนด ค่าเฉลี่ยจะเป็นอันตรายถึงตาย สำหรับจรวดแซทเทิร์นวีอัตราข้อบกพร่องหนึ่งเปอร์เซ็นต์จะมีชิ้นส่วนที่บกพร่อง 10,000 ชิ้นในระหว่างเที่ยวบิน Apollo พวกเขาต้องการข้อบกพร่อง 0% ในทุกภารกิจ

คุณกังวลเกี่ยวกับการมีช่วงความมั่นใจเมื่อคุณทำงานในพื้นที่ตัวอย่างขณะที่โรงงานกำลังทำอยู่ มันกำลังสร้างพื้นที่ตัวอย่าง คุณกังวลเกี่ยวกับช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือเมื่อคุณกำลังทำงานในพื้นที่พารามิเตอร์เช่นลูกค้าจะทำ หากคุณไม่สนใจเกี่ยวกับการสังเกตภายนอกของคุณแสดงว่าคุณเป็นชาวเบย์ หากคุณสนใจตัวอย่างที่ไม่ได้เห็น แต่เห็นได้แสดงว่าคุณเป็นผู้ใช้บ่อย

คุณมีความกังวลกับการหาค่าเฉลี่ยระยะยาวหรือเหตุการณ์เฉพาะหรือไม่?

โปรดทราบว่าตามคำจำกัดความที่เข้มงวดของช่วงความมั่นใจอาจเป็นไปได้ว่ามันไม่มีความหมายอย่างสมบูรณ์นั่นคือไม่ใช่ข้อมูลเกี่ยวกับพารามิเตอร์ของดอกเบี้ย อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติโดยทั่วไปมีความหมายมาก

$[0,1]$$U_{min}$$U_{max}$$U_{min}, U_{max}$$U_{min} < U_{max}$$[0.01, 0.011]$$p$$p$

ในขณะที่ช่วงความมั่นใจส่วนใหญ่ถูกสร้างขึ้นในแบบที่มีประโยชน์มากขึ้น ตัวอย่างเช่นถ้าฉันบอกคุณว่ามันถูกสร้างขึ้นโดยใช้ขั้นตอน Wald ช่วงเราก็รู้ว่า

$\hat p \text{ } \dot\sim \text{ } N(p, s_e)$

$s_e$$\hat p$$p$

ช่วงความเชื่อมั่นไม่เพียงมีประโยชน์ แต่จำเป็นในบางสาขาเช่นฟิสิกส์ น่าเสียดายที่เสียงส่วนใหญ่ที่เกี่ยวกับ CIs นั้นมาจาก Bayesians ที่ถูกถกเถียงกันในเรื่องการถกเถียงกันจริงกับผู้ถี่ถ้วนซึ่งมักจะอยู่ในบริบทของ "วิทยาศาสตร์" ทางสังคมและสาขาวิชาอื่น ๆ ที่คล้ายวิทยาศาสตร์

สมมติว่าฉันวัดปริมาณในสาขาฟิสิกส์เช่นค่าไฟฟ้า ฉันมักจะจัดหาด้วยการวัดความไม่แน่นอนของค่าซึ่งมักจะเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน เนื่องจากในข้อผิดพลาดทางฟิสิกส์มักเป็นแบบเกาส์ซึ่งแปลตรงนี้เป็น CI อย่างไรก็ตามเมื่อข้อผิดพลาดไม่ใช่แบบเกาส์มันจะซับซ้อนเล็กน้อยอินทิกรัลบางส่วนจำเป็นต้องได้รับการประเมินและอื่น ๆ ไม่มีอะไรลึกลับเหมือนปกติ

นี่คือการนำเสนอสั้น ๆ เกี่ยวกับ CI ในฟิสิกส์ของอนุภาคและคำจำกัดความ:

คำแถลงเชิงปริมาณเกี่ยวกับส่วนของเวลาที่ช่วงเวลาดังกล่าวจะมีค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์ในการทดลองซ้ำจำนวนมาก

โปรดทราบว่าในทางฟิสิกส์ "การทดลองซ้ำ ๆ " มักจะมีความหมายตามตัวอักษร: โดยถือว่าคุณสามารถทำการทดลองซ้ำในกระดาษได้และจะสังเกตเศษส่วนนั้น ดังนั้น CI จึงมีความหมายที่แท้จริงสำหรับคุณและเป็นเพียงวิธีในการแสดงข้อมูลเกี่ยวกับความไม่แน่นอนของการวัด ไม่ใช่การทดลองทางความคิดไม่ใช่ความคิดส่วนตัวไม่ใช่ของคุณหรือความรู้สึกของฉันเกี่ยวกับความเป็นไปได้ ฯลฯ นั่นคือสิ่งที่คุณสามารถคิดค้นจากการทดลองและสิ่งที่ฉันควรสังเกตเมื่อทำซ้ำการทดลองของคุณ

หัวข้อนี้ได้กลายเป็นประเด็นถกเถียงกันบ่อยครั้งในการอภิปรายประจำเบส์และไม่สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดาย คณิตศาสตร์ในทั้งสองวิธีนั้นมีความมั่นคงดังนั้นมันจึงเป็นเรื่องที่ชอบตามหลักปรัชญาเสมอ การตีความความน่าจะเป็นแบบบ่อยๆตามขีด จำกัด ของความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์นั้นได้รับการพิสูจน์โดยกฎหมายที่แข็งแกร่งของคนจำนวนมาก ความถี่สัมพัทธ์ของกิจกรรมจะมาบรรจบกันกับความน่าจะเป็นโดยความน่าจะเป็น 1

ช่วงความเชื่อมั่นบ่อยครั้งนั้นยากที่จะตีความมากกว่าช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือแบบเบย์ โดยการรักษาปริมาณที่ไม่รู้จักเป็นตัวแปรสุ่ม Bayesians สามารถยืนยันว่าช่วงเวลาหนึ่งมีปริมาณนั้นด้วยความน่าจะเป็นบางส่วน บ่อยครั้งที่ปฏิเสธที่จะรักษาปริมาณบางอย่างเป็นตัวแปรสุ่มและสมการใด ๆ ที่มีค่าคงที่เท่านั้นที่สามารถเป็นจริงหรือเท็จได้ ดังนั้นเมื่อประเมินค่าคงที่ที่ไม่รู้จักผู้ใช้บ่อยต้องผูกด้วยช่วง RANDOM เพื่อให้มีความน่าจะเป็น แทนที่จะมีหนึ่งช่วงเวลาที่มีตัวแปรสุ่มที่มีความน่าจะเป็นบางอย่างวิธีการของนักเล่นสร้างช่วงเวลาที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันจำนวนมากซึ่งบางส่วนมีค่าคงที่ที่ไม่รู้จัก หากความน่าจะเป็นของการครอบคลุมสูงพอสมควรมันเป็นความเชื่อที่ก้าวกระโดดที่สมเหตุสมผลที่จะยืนยันว่าช่วงเวลาหนึ่งมีค่าคงที่ที่ไม่รู้จัก (หมายเหตุไม่ใช่ "

ชาว Bayesian จะชะงักงันด้วยความเชื่อเช่นเดียวกับการหยุดชะงักในการปฏิบัติที่ไม่ทราบจำนวนซึ่งเป็นตัวแปรสุ่ม วิธีการก่อสร้าง Neyman บ่อยครั้งในความเป็นจริงเปิดเผยปัญหาที่น่าอายกับการกระโดดศรัทธา หากไม่มีการป้องกันอย่างแข็งขัน (ดูเฟลด์แมนและลูกพี่ลูกน้อง 1997 ในแนวทางเดียว) ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ยากอาจสร้างช่วงความเชื่อมั่นที่ว่างเปล่าสำหรับพารามิเตอร์การกระจาย การก้าวกระโดดของศรัทธาเช่นนี้จะไม่มีเหตุผลมากนัก! ฉันเคยเห็น Bayesians สองสามคนใช้ตัวอย่างนั้นเพื่อเยาะเย้ยวิธีการของนักเล่นแร่แปรธาตุในขณะที่ผู้เล่นบ่อย ๆ ตอบโต้ด้วย "ดีฉันยังคงได้รับช่วงเวลาที่ถูกต้องเกือบตลอดเวลา ฉันจะชี้ให้เห็นว่าอับจน / เบย์ประจำไม่สำคัญสำหรับคนส่วนใหญ่ที่ใช้วิธีการของพวกเขา