การอยู่ตรงกลางหมายถึงการลดความแปรปรวนร่วมหรือไม่?

สมมติว่าฉันมีตัวแปรสุ่มสองตัวที่ไม่ขึ้นกับตัวเองและฉันต้องการลดความแปรปรวนร่วมระหว่างพวกเขาให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้โดยไม่ต้องสูญเสีย "สัญญาณ" มากเกินไปหมายความว่าการช่วยเหลือจากศูนย์กลางหรือไม่ ฉันอ่านบางที่หมายถึงการอยู่ตรงกลางลดความสัมพันธ์โดยปัจจัยสำคัญดังนั้นฉันคิดว่ามันควรทำเช่นเดียวกันเพื่อความแปรปรวนร่วม

ถ้า$X$และ$Y$เป็นตัวแปรสุ่มและ$a$และ$b$เป็นค่าคงที่ดังนั้น

$$\begin{aligned} \operatorname{Cov}(X + a, Y + b) &= E[(X + a - E[X + a])(Y + b - E[Y + b])] \\ &= E[(X + a - E[X] - E[a])(Y + b - E[Y] - E[b])] \\ &= E[(X + a - E[X] - a)(Y + b - E[Y] - b)] \\ &= E[(X - E[X])(Y - E[Y])] \\ &= \operatorname{Cov}(X, Y). \end{aligned}$$ การจัดกึ่งกลางเป็นกรณีพิเศษ$a = -E[X]$และ$b = -E[Y]$ดังนั้นการอยู่ตรงกลางจะไม่ส่งผลต่อความแปรปรวนร่วม

---

นอกจากนี้เนื่องจากความสัมพันธ์ถูกกำหนดเป็น

$$\operatorname{Corr}(X, Y) = \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y)}},$$ เราจะเห็นว่า $$\begin{aligned} \operatorname{Corr}(X + a, Y + b) &= \frac{\operatorname{Cov}(X + a, Y + b)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X + a) \operatorname{Var}(Y + b)}} \\ &= \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y)}}, \end{aligned}$$ อื่น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งความสัมพันธ์ไม่ได้รับผลกระทบจากศูนย์กลางอย่างใดอย่างหนึ่ง

---

นั่นคือเรื่องราวของประชากร รุ่นตัวอย่างเหมือนกัน: ถ้าเราใช้

$$\widehat{\operatorname{Cov}}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(X_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j\right)\left(Y_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Y_j\right)$$ เป็นค่าประมาณความแปรปรวนร่วมระหว่าง$X$และ$Y$จากตัวอย่างที่จับคู่$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$, จากนั้น $$\begin{aligned} \widehat{\operatorname{Cov}}(X + a, Y + b) &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(X_i + a - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j + a)\right)\left(Y_i + b - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (Y_j + b)\right) \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(X_i + a - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j - \frac{n}{n} a\right)\left(Y_i + b - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Y_j - \frac{n}{n} b\right) \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(X_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j\right)\left(Y_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Y_j\right) \\ &= \widehat{\operatorname{Cov}}(X, Y) \end{aligned}$$ $a$$b$

The definition of the covariance of $X$ and $Y$ is $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$. The expression $X-E[X]$ in that formula is the centered version of $X$. So we already center $X$เมื่อเราใช้ความแปรปรวนร่วมและการอยู่ตรงกลางเป็นตัวดำเนิน idempotent; เมื่อตัวแปรอยู่กึ่งกลางการใช้กระบวนการจัดกึ่งกลางครั้งต่อไปจะไม่เปลี่ยน หากสูตรไม่ได้ใช้ตัวแปรรุ่นที่อยู่ตรงกลางแล้วจะมีลักษณะพิเศษแปลก ๆ เช่นความแปรปรวนร่วมระหว่างอุณหภูมิและตัวแปรอื่นที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับว่าเราวัดอุณหภูมิในเซลเซียสหรือเคลวิน

"ที่ไหนสักแห่ง" มีแนวโน้มที่จะเป็นแหล่งที่ไม่น่าเชื่อถือมากกว่า ...

แปรปรวน / ความสัมพันธ์จะถูกกำหนดด้วยตรงกลางอย่างชัดเจน หากคุณไม่ได้อยู่ตรงกลางของข้อมูลแสดงว่าคุณไม่ได้คำนวณความแปรปรวนร่วม / ความสัมพันธ์ (แม่นยำ: สหสัมพันธ์เพียร์สัน)

ความแตกต่างที่สำคัญคือไม่ว่าคุณจะมุ่งเน้นไปที่โมเดลเชิงทฤษฎี (เช่นค่าที่คาดหวังควรจะเป็น 0) หรือตามข้อมูล (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต) มันง่ายที่จะเห็นว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะให้ความแปรปรวนน้อยกว่าศูนย์อื่น

อย่างไรก็ตามความแปรปรวนร่วมที่น้อยกว่าไม่ได้บ่งบอกถึงความสัมพันธ์ที่มีขนาดเล็กลงหรือตรงกันข้าม สมมติว่าเรามีข้อมูล X = (1,2) และ Y = (2,1) มันง่ายที่จะเห็นว่าด้วยการคำนวณเลขศูนย์ซึ่งจะทำให้เกิดความสัมพันธ์เชิงลบอย่างสมบูรณ์แบบในขณะที่ถ้าเรารู้ว่ากระบวนการสร้างมีค่าเฉลี่ย 0 ข้อมูลนั้นมีความสัมพันธ์เชิงบวกจริง ๆ ดังนั้นในตัวอย่างนี้เรากำลังอยู่ตรงกลาง - แต่ด้วยค่าคาดหวังเชิงทฤษฎีที่ 0

สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้ง่าย พิจารณาว่าเรามีเซ็นเซอร์ขนาด 11x11 โดยมีหมายเลขเซลล์ -5 ถึง +5 แทนที่จะใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมันทำให้รู้สึกถึงการใช้ "ทางกายภาพ" หมายถึงอาร์เรย์เซ็นเซอร์ของเราที่นี่เมื่อมองหาความสัมพันธ์ของเหตุการณ์เซ็นเซอร์ (ถ้าเราแจกแจงเซลล์ 0 ถึง 10 เราจะใช้ 5 เป็นค่าคงที่, และเราจะได้ผลลัพธ์เหมือนกันดังนั้นตัวเลือกการจัดทำดัชนีจะหายไปจากการวิเคราะห์ - ดี)