การกระจายในส่วนย่อยของหรือไม่

ฉันสงสัยว่าถ้ามีทุกประเภทของการกระจายมาตรฐานในส่วนย่อยของจำนวนเต็มใด ๆ\} เท่าที่เราจะได้แสดงนี้เป็นการกระจายบนเป็นเวกเตอร์ความยาวของผลไบนารีเช่นถ้าแล้วสอดคล้องกับเวกเตอร์1)$\{1, 2, ..., J\}$$J$$J = 5$$\{1, 3, 5\}$$(1, 0, 1, 0, 1)$

สิ่งที่ฉันกำลังมองหาคือการกระจายตัวซึ่งมาจากครอบครัวที่จัดทำดัชนีโดยพารามิเตอร์มิติ จำกัดที่จะกระจายมวลของมันในวิธีที่เวกเตอร์ไบนารีสองและจะมีความคล้ายคลึงกัน ความน่าจะเป็นถ้าพวกเขา "ปิด" ด้วยกันเช่นและมีความน่าจะเป็นที่คล้ายกัน จริงๆสิ่งที่ผมมุ่งมั่นที่จะทำหวังว่าจะใส่ก่อนในเช่นว่าถ้าฉันรู้ว่าที่มีขนาดใหญ่พอสมควรแล้วเป็นญาติอาจจะมีขนาดใหญ่เพื่อเวกเตอร์ห่างไกลจากr_1$\nu_\theta (\cdot)$$\theta$$r_1$$r_2$$r_1 = (0, 0, 1, 0, 1)$$r_2 = (0, 0, 1, 1, 1)$$\theta$$\nu_\theta (r_1)$$\nu_\theta (r_2)$$r_1$

กลยุทธ์อย่างหนึ่งที่อยู่ในใจก็คือการวางมาตรวัดหรือการวัดการกระจายตัวอื่น ๆ บนบนจากนั้นใช้หรืออะไรที่คล้ายกัน ตัวอย่างที่ชัดเจนจะเป็นในการเปรียบเทียบกับการแจกแจงแบบปกติ ไม่เป็นไร แต่ฉันหวังว่าจะมีสิ่งที่เป็นมาตรฐานและคล้อยตามการวิเคราะห์แบบเบย์ ด้วยสิ่งนี้ฉันไม่สามารถเขียนค่าคงที่ normalizing ได้$d_\theta$$\{0, 1\}^J$$\nu_\theta (r) \propto \exp (-d_\theta (r, \mu))$$\exp\left\{-\|r - \mu\|^2 / (2 \sigma^2)\right\}$

คุณอาจให้ความสำคัญกับสถานที่ตั้งตามระยะทางของแฮมมิงเนื่องจากความร่ำรวยความยืดหยุ่นและความสามารถในการคำนวณได้

สัญลักษณ์และคำจำกัดความ

จำได้ว่าในขอบเขตมิติโมดูลฟรีที่มีพื้นฐานที่Hamming ระยะระหว่างสองเวกเตอร์และคือ จำนวนสถานที่ที่ที่w_i$V$$\left(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_J\right)$ $\delta_H$$\mathbf{v}=v_1 \mathbf{e}_1 + \cdots + v_J\mathbf{e}_J$$\mathbf{w}=w_1 \mathbf{e}_1 + \cdots + w_J\mathbf{e}_J$$i$$v_i \ne w_i$

รับต้นกำเนิด , ฮามมิงระยะทางพาร์ติชันเป็นทรงกลม , , ที่\} เมื่อวงแหวนกราวด์มีองค์ประกอบ ,มีองค์ประกอบและมีองค์ประกอบ (สิ่งนี้ตามมาทันทีจากการสังเกตว่าองค์ประกอบของแตกต่างจากในสถานที่ที่แน่นอนของ - ซึ่งมี$\mathbf{v}_0\in V$$V$$S_i(\mathbf{v}_0)$$i=0, 1, \ldots, J$$S_i(\mathbf{v}_0) = \{\mathbf{w}\in V\ |\ \delta_H(\mathbf{w}, \mathbf{v}_0) = i\}$$n$$V$$n^J$$S_i(\mathbf{v})$$\binom{J}{i}\left(n-1\right)^i$$S_i(\mathbf{v})$$\mathbf{v}$$i$$\binom{J}{i}$ความเป็นไปได้ - และมีตัวเลือกสำหรับแต่ละสถานที่อย่างอิสระ)$n-1$

เลียนแบบการแปลในทำหน้าที่ตามธรรมชาติในการแจกแจงเพื่อให้ตระกูลสถานที่ตั้ง โดยเฉพาะเมื่อคือการแจกจ่ายใด ๆ ใน (ซึ่งหมายถึงน้อยกว่า ,สำหรับและ ) และเป็นองค์ประกอบของแล้วยังเป็นการกระจาย ที่ไหน$V$$f$$V$$f:V\to [0,1]$$f(\mathbf{v})\ge 0$$\mathbf{v} \in V$$\sum_{\mathbf{v}\in V}f(\mathbf{v})=1$$\mathbf{w}$$V$$f^{(\mathbf{w})}$

สำหรับทั้งหมด ครอบครัวตั้งของการกระจายเป็นค่าคงที่อยู่ภายใต้การดำเนินการนี้:นัยสำหรับทุกวี$\mathbf{v}\in V$ $\Omega$$f\in \Omega$$f^{(\mathbf{v})}\in \Omega$$\mathbf{v}\in V$

การก่อสร้าง

สิ่งนี้ทำให้เราสามารถกำหนดครอบครัวที่น่าสนใจและเป็นประโยชน์ของการแจกแจงโดยการระบุรูปร่างของพวกเขาในหนึ่งเวกเตอร์คงที่ซึ่งฉันจะใช้เพื่อเป็นและแปลเหล่านี้ "ที่ก่อให้เกิดการกระจาย" ภายใต้การกระทำของที่จะได้รับครอบครัวเต็ม\เพื่อให้ได้คุณสมบัติที่ต้องการซึ่งควรมีค่าเทียบเคียง ณ จุดใกล้เคียงเพียงต้องการคุณสมบัติของการแจกแจงทั้งหมดที่สร้างขึ้น$\mathbf{v}$$\mathbf{0} = (0,0,\ldots,0)$$V$$\Omega$$f$

หากต้องการดูวิธีการทำงานของนี้เราจะสร้างตระกูลตำแหน่งที่ตั้งของการแจกแจงทั้งหมดที่ลดลงตามระยะทางที่เพิ่มขึ้น เพราะเพียงระยะทางที่เป็นไปได้ Hamming พิจารณาลำดับใด ๆ ลดลงของจำนวนจริงที่ไม่ใช่เชิงลบ =0 ชุด$J+1$$\mathbf{a}$$0 \ne a_0 \ge a_1 \ge \cdots \ge a_J \ge 0$

และกำหนดฟังก์ชันโดย$f_\mathbf{a}:V\to [0,1]$

จากนั้นเป็นตรงไปตรงมาเพื่อตรวจสอบคือการกระจายบนVนอกจากนี้ถ้าหากเป็นผลคูณบวกของ (เป็นเวกเตอร์ใน ) ดังนั้นหากเราชอบเราอาจมาตรฐานเพื่อ 1$f_\mathbf{a}$$V$$f_\mathbf{a} = f_{\mathbf{a}'}$$\mathbf{a}'$$\mathbf{a}$$\mathbb{R}^{J+1}$$\mathbf{a}$$a_0=1$

ดังนั้นการก่อสร้างนี้จึงมีการกำหนดพารามิเตอร์ที่ชัดเจนของการแจกแจงตำแหน่ง - คงที่ทั้งหมดที่ลดลงด้วยระยะทาง Hamming: การแจกแจงแบบใด ๆ อยู่ในรูปแบบสำหรับลำดับและบางเวกเตอร์วี$f_\mathbf{a}^{(\mathbf{v})}$$\mathbf{a} = 1 \ge a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_J \ge 0$$\mathbf{v}\in V$

parameterization นี้อาจอนุญาตให้มีสเปคที่สะดวกในการไพรเออร์: ปัจจัยที่พวกเขาเข้าไปก่อนที่สถานที่ตั้งและก่อนกับรูปร่าง{a} (แน่นอนว่าเราสามารถพิจารณาชุดนักบวชที่มีขนาดใหญ่กว่าซึ่งมีที่ตั้งและรูปร่างและไม่เป็นอิสระ แต่สิ่งนี้จะเป็นงานที่ซับซ้อนมากขึ้น)$\mathbf{v}$$\mathbf{a}$

การสร้างค่าสุ่ม

วิธีหนึ่งในการสุ่มตัวอย่างจาก เป็นขั้นตอนโดยแยกตัวประกอบเข้าสู่การกระจายตัวของดาวฤกษ์และเงื่อนไขการกระจายในแต่ละวงทรงกลม:$f_\mathbf{a}^{(\mathbf{v})}$

1. วาดดัชนีจากการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องบนกำหนดโดยความน่าจะเป็นโดยที่ถูกกำหนดไว้ก่อน .$i$$\{0,1,\ldots,J\}$$\binom{J}{i}(n-1)^i a_i / A$$A$

2. ดัชนีสอดคล้องกับชุดของเวกเตอร์ที่แตกต่างกันจากในตรงตำแหน่ง ดังนั้นให้เลือกที่เหล่านั้นออกจากเซ็ตย่อยที่เป็นไปได้ซึ่งให้แต่ละความน่าจะเป็นที่เท่ากัน (นี่เป็นเพียงตัวอย่างของห้อยออกมาจากโดยไม่ต้องทดแทน.) ให้เซตนี้ของสถานที่จะเขียนฉัน$i$$\mathbf{v}$$i$$i$$\binom{J}{i}$$i$$J$ $i$$I$

3. วาดองค์ประกอบโดยอิสระเลือกค่าสม่ำเสมอจากชุดของสเกลาไม่เท่ากับสำหรับทุกและการตั้งค่าอย่างอื่นw_jเท่ากันสร้างเวกเตอร์โดยการเลือกสม่ำเสมอโดยการสุ่มจากภัณฑ์เกลาเมื่อและอื่น ๆ การตั้งค่า 0 ชุด{u}$\mathbf{w}$$w_j$$v_j$$j\in I$$w_j=v_j$$\mathbf{u}$$u_j$$j\in I$$u_j=0$$\mathbf{w} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$

ขั้นตอนที่ 3 ไม่จำเป็นในกรณีไบนารี

ตัวอย่าง

นี่คือการRดำเนินการเพื่อแสดงให้เห็นถึง

rHamming <- function(N=1, a=c(1,1,1), n=2, origin) {
  # Draw N random values from the distribution f_a^v where the ground ring
  # is {0,1,...,n-1} mod n and the vector space has dimension j = length(a)-1.
  j <- length(a) - 1
  if(missing(origin)) origin <- rep(0, j)

  # Draw radii `i` from the marginal distribution of the spherical radii.
  f <- sapply(0:j, function(i) (n-1)^i * choose(j,i) * a[i+1])
  i <- sample(0:j, N, replace=TRUE, prob=f)

  # Helper function: select nonzero elements of 1:(n-1) in exactly i places.
  h <- function(i) {
    x <- c(sample(1:(n-1), i, replace=TRUE), rep(0, j-i))
    sample(x, j, replace=FALSE)
  }

  # Draw elements from the conditional distribution over the spheres
  # and translate them by the origin.
  (sapply(i, h) + origin) %% n
}

เป็นตัวอย่างของการใช้งาน:

test <- rHamming(10^4, 2^(11:1), origin=rep(1,10))
hist(apply(test, 2, function(x) sum(x != 0)))

สิ่งนี้ใช้เวลาวินาทีในการดึงอิลิเมนต์iidจากการแจกแจงโดยที่ , (กรณีไบนารี),และจะลดลงแบบทวีคูณ$0.2$$10^4$$f_{\mathbf{a}}^{(\mathbf{v})}$$J=10$$n=2$$\mathbf{v}=(1,1,\ldots,1)$$\mathbf{a}=(2^{11},2^{10},\ldots,2^1)$

(อัลกอริทึมนี้ไม่ต้องการให้ลดลงดังนั้นมันจะสร้างความแตกต่างแบบสุ่มจากตระกูลที่ตั้งใด ๆไม่ใช่เฉพาะที่ unimodal)$\mathbf{a}$

ตัวอย่างจากกระบวนการจุด k- ดีเทอแรนทาลโมเดลจำลองการกระจายข้ามเซ็ตย่อยที่ส่งเสริมความหลากหลายเช่นว่าไอเท็มที่คล้ายกันมีโอกาสน้อยที่จะเกิดขึ้นพร้อมกันในตัวอย่าง อ้างถึงการสุ่มตัวอย่างกระบวนการกำหนดระดับ K โดย Alex Kulesza, Ben Taskar